四維時空表示定理與閔可夫斯基空間

王海東

摘要：四維時空表示定理與狹義相對論具有十分密切的理論聯(lián)系。四維時空表示定理是狹義相對論的理論依據(jù)。狹義相對論是四維時空表示定理的理論表述。雖然愛因斯坦從未公開表述過四維時空表示定理，但是愛因斯坦不僅已經(jīng)意識到了四維時空表示定理的存在，而且還用四維時空表示定理證明了四維時空的洛倫茲變換。從四維時空表示定理來看，閔可夫斯基空間是一個存在理論缺陷的幾何空間。只有根據(jù)四維時空表示定理加以修改之后，才能將這個幾何空間應(yīng)用于四維時空的表示過程。

關(guān)鍵詞：四維時空表示定理;狹義相對論;洛倫茲變換;閔可夫斯基空間

愛因斯坦在狹義相對論中提出了四維時空的幾何概念。愛因斯坦認為，四維時空就是以某個持有坐標時鐘的觀察者作為形成條件的、可以通過其觀察過程使一維時間與三維空間產(chǎn)生幾何關(guān)系的幾何空間。坐標時鐘就是以某個坐標系的坐標原點作為時間原點、以某個坐標系的坐標位置作為時間位置、只能根據(jù)光信號的傳遞過程校準時間、并能產(chǎn)生狹義相對論效應(yīng)的時鐘。狹義相對論效應(yīng)就是在光速不變的假設(shè)條件下、通過四維時空的洛倫茲變換形成的、符合狹義相對論的理論預(yù)言的時空效應(yīng)。根據(jù)這一認識，愛因斯坦將四維時空的時空距離定義為光速與坐標時間的乘積。坐標時間就是通過坐標時鐘的時間位置形成的時間。從這個定義來看，愛因斯坦將一維時間視為一個不能獨立存在的幾何維度。這個幾何維度只能同時存在于構(gòu)成某個坐標系的三個坐標軸上。由于愛因斯坦將一維時間視為一個不能獨立存在的幾何維度，所以愛因斯坦也將一維時間視為一個自由度為零的幾何維度。對于愛因斯坦來說，雖然四維時空具有四個幾何維度，但是這四個幾何維度卻只有三個自由度。這三個自由度分別屬于構(gòu)成某個坐標系的三個坐標軸。由于構(gòu)成某個坐標系的三個坐標軸代表三維空間，所以這三個自由度也分別屬于構(gòu)成三維空間的三個幾何維度。

根據(jù)以上分析，我們可以推出一個十分重要的數(shù)學定理：如果將四維時空的時空距離定義為光速與坐標時間的乘積，就可以將三維空間定義為同時包含一維時間的三個幾何維度，并用表示三維空間的幾何方法來表示四維時空的幾何關(guān)系。這個數(shù)學定理就是四維時空表示定理。

我們不難發(fā)現(xiàn)：這個證明過程的最后一個數(shù)學公式來自于愛因斯坦。從這個發(fā)現(xiàn)來看，雖然愛因斯坦從未公開表述過四維時空表示定理，但是愛因斯坦不僅已經(jīng)意識到了四維時空表示定理的存在，而且還用四維時空表示定理證明了四維時空的洛倫茲變換。

由此可見，四維時空表示定理與狹義相對論具有十分密切的理論聯(lián)系。四維時空表示定理是狹義相對論的理論依據(jù)。狹義相對論是四維時空表示定理的理論表述。符合四維時空表示定理就意味著符合狹義相對論。不符合四維時空表示定理就意味著不符合狹義相對論。

閔可夫斯基將四維時空的時空距離定義為虛數(shù)與光速和坐標時間的乘積，并且根據(jù)這個新的定義方法提出了閔可夫斯基空間的幾何概念。愛因斯坦曾經(jīng)認為閔可夫斯基空間符合四維時空表示定理。但是，愛因斯坦在形成這一認識的時候顯然有些考慮不周。因為他沒有認識到：將虛數(shù)引進表示四維時空的時空距離的定義之后，不僅會使四維時空的時空距離從正數(shù)變成負數(shù)，而且會使四維時空的洛倫茲變換遭到破壞。從這兩個角度來看，閔可夫斯基空間并不符合四維時空表示定理。

除了存在上述理論缺陷，閔可夫斯基空間還存在著一個理論缺陷。這個理論缺陷來自于閔可夫斯基空間的數(shù)學表達式。

令t代表坐標時間，x代表坐標位置，p代表系統(tǒng)動量，xμ和xμ代表協(xié)變四矢量和逆變四矢量，pμ和pμ代表協(xié)變四動量和逆變四動量，gμν和gμν代表協(xié)變度規(guī)張量和逆變度規(guī)張量，?μ和?μ代表協(xié)變微分算符和逆變微分算符，?代表向量微分算子，d4 x代表坐標積分測度，d4 p代表動量積分測度，閔可夫斯基空間的數(shù)學表達式為：

這個數(shù)學表達式的理論缺陷在于：既然已經(jīng)將表示四維時空的時空距離定義為虛數(shù)與光速和坐標時間的乘積，就已經(jīng)將四維時空的幾何關(guān)系用表示三維空間的幾何方法表示出來了。因此，只有將四維時空的幾何空間定義為一維時間不能獨立存在的三維空間，才不會使幾何空間的定義與時空距離的定義產(chǎn)生矛盾。如果將四維時空的幾何空間定義為一維時間可以獨立存在的四維空間，就一定會使幾何空間的定義與時空距離的定義產(chǎn)生矛盾。其結(jié)果不僅會將實際存在的三矢量和三動量定義為四矢量和四動量，而且會在四維時空的表示過程中導(dǎo)致重復(fù)計算的出現(xiàn)。

下面，我們就用這個數(shù)學表達式的有關(guān)規(guī)定來證明這個理論缺陷：

從這個證明過程來看，閔可夫斯基空間屬于不可解空間。不可解空間就是不能通過其數(shù)學表達式求解的幾何空間。

雖然閔可夫斯基空間屬于不可解空間，但是這種情況并非不可改變。只要將閔可夫斯基空間從四維空間轉(zhuǎn)變成為三維空間，就可以將閔可夫斯基空間從不可解空間轉(zhuǎn)變成為可解空間。可解空間就是可以通過其數(shù)學表達式求解的幾何空間。不過，即使將閔可夫斯基空間從不可解空間轉(zhuǎn)變成為可解空間，也不會通過這個可解空間求出符合狹義相對論的解。要想通過這個可解空間求出符合狹義相對論的解，就必須將虛數(shù)從四維時空的時空距離的定義中排除出去。為了達到上述目的，我們應(yīng)當對閔可夫斯基空間的數(shù)學表達式做出以下修改：

顯然，這個經(jīng)過修改的數(shù)學表達式消除了閔可夫斯基空間的所有理論缺陷。它不僅可以將閔可夫斯基空間從不可解空間轉(zhuǎn)變成為可解空間，而且可以通過這個可解空間求出符合狹義相對論的解。

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