對稱馬氏過程對應梯度型算子的弱(1,1)有界性

周博文，張龍騰

(1.福建師范大學 數學與統計學院，福建 福州 350007； 2.福建師范大學 協和學院，福建 福州 350007)

馬氏半群的分析性質是隨機過程與隨機分析的主要研究內容之一，詳見著作[1,2].這其中，對稱馬氏過程生成元的Riesz變換是一個非?；钴S的研究課題.例如，在假定空間滿足體積倍增條件下，文獻[3,4,5]討論了具有高斯型熱核估計的對稱擴散算子的Riesz變換；文獻[6]在給定次高斯型熱核估計情形下，建立了黎曼流形和圖上Riesz變換的Lp有界性.上述四篇文獻的證明方法強烈依賴于梯度算子的弱(1,1)有界性。然而，軌道不連續馬氏過程對應非局部算子的Riesz變換至今仍未系統研究，部分結果可參見文獻[7]中關于分數Laplace算子的研究。本文在狄氏型理論框架下，基于現有熱核估計相關結果，建立了一般度量測度空間中對稱馬氏過程對應梯度型算子的弱(1,1)有界性.

1 預備知識與主要結論

本文在度量測度空間(M,ρ,μ)上討論問題，其中μ是M上非負Radon測度且支撐為M.記B(x,r)={z∈M:ρ(x,z)0，使得對任意x∈M，0

(1)

其中V(x,r)=μ(B(x,r)).

特別地，由(1)可知，對任意x,y∈M，r>0，有

(2)

記R+=[0,+∞)，令φ為R+上嚴格單調增函數，滿足φ(0)=0，φ(1)=1及如下scaling性質：

(3)

其中C1,C2>0為常數.

假設存在R+上有界遞減正函數S，滿足

(4)

其中d,α1,C1由(1)與(3)給出.

設(Pt)t≥0為L2(M,μ)上的對稱馬氏半群，其密度函數(亦稱熱核)為pt(x,y)，即

(5)

其中Lp(M,μ)表示M上Lp-空間，其范數定義為

(6)

只需

〈f,(-L)f〉L2(M,μ),

定理1假設條件(A)，(B)成立，其中

(A)熱核pt(x,y)滿足如下上界條件：

(7)

(B)(i)T具有次可加性且L2有界；

(ii)存在(0,∞)上有界正函數F，使得

(8)

且

(9)

則算子T是弱(1,1)有界的，即對任意λ>0，f∈L1(M,μ)∩L2(M,μ)，有

(10)

注1顯然，若T滿足弱(1,1)有界，則T是Lp有界的，這里p∈(1,2).

2 定理證明

在給出定理1的證明之前，為便于論述先給出兩個關鍵引理.

引理1對任意f∈L2(M,μ)，t>0，

(11)

其中：

進一步，若滿足假設條件(B)- (ii)，則

(12)

證明根據定義(6)，對任意f∈L2(M,μ)，

即有

即式(11)得證.

進一步，根據(8)可得

一方面，根據(9)可得

另一方面，利用F的有界性可知，

從而式(12)得證.

引理2存在常數c>0，使對任意t>0，x∈M，非負可測函數φ，有

其中:M為非中心Littlewood-Paley極大算子；

(13)

一方面，由(7)，S的有界性和體積倍增條件，對任意y∈B，有

(14)

另一方面，根據(7)與函數φ和S的單調性可知，對任意y∈B，j≥2，z∈Cj(B)，

這樣，

(15)

其中，最后一個不等號利用 (2)和(4).

結合(13)及估計(14)、(15)，有

由y與z的任意性可得所要的結論.

下面給出定理1的證明.

證明要證T滿足弱(1,1)有界性，即需證明對任意λ>0，f∈L1(M,μ)∩L2(M,μ)，有

根據著名的Calderón-Zygmund分解定理可知f=g+b[11].由T的次可加性可知，對任意λ>0，

μ({x:|Tf(x)|>λ})≤μ({x:|Tg(x)|>λ/2})+μ({x:|Tb(x)|>λ/2}).

根據切比雪夫不等式、T的有界性及文獻[11]可得

下面只要證明，對任意λ>0，

(16)

‖bi‖1≤2n+1λμ(Bi)

和

記ti=φ(ri)，則bi=etiLbi+(I-etiL)bi.由T的次可加性可知

(17)

注意到

(18)

由體積倍增條件及文獻[11]定理可知

(19)

利用切比雪夫不等式及T的次可加性可得

為簡單起見，省略下標i，記kt(x,y)為T(I-etiL)的熱核.由supp(b)?B可知

再由引理1可得

從而

(20)

結合(18)、(19)和(20)可知

(21)

下面估計式(17)右邊第二項.由切比雪夫不等式，對任意λ>0，有

(22)

根據對偶性和supp(bi)?Bi，有

(23)

進一步根據引理2及文獻[11]定理可得

又利用Cauchy-Schwarz不等式，得

其中第一個不等式是根據上文構造球序列{Bi}i≥1所述M中每個點至多包含在2n+1個球Bi中這一事實.

(24)

結合(22)、(23)和(24)估計，得

(25)

最后，根據(17)、(21)及(25)，定理得證.

注2定理1的證明主要參考文獻[10]命題3的證明，其思路源于文獻[3,6]的討論.文獻[3,6]分別建立具有高斯、次高斯熱核估計對稱擴散算子對應Riesz變換的有界性.文獻[10]命題3表明高斯或次高斯估計對建立Riesz變換的有界性是非必要的，即存在緊流形，在不具有高斯或次高斯估計條件下，其對應的Riesz變換是Lp有界的，其中1≤p<2.