分數階微分發展方程非局部問題溫和解的存在性

豆 靜, 周文學, 吳玉翠

(蘭州交通大學 數理學院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

隨著科學研究的深入, 學者們在處理很多問題的時候, 發現整數階微分方程已不能滿足研究現狀,因而很多學者們將研究方向從整數階微分方程轉向分數階微分方程.分數階微分方程廣泛運用于流體力學、物理學、自動控制、信號處理等[1-4].越來越多的實踐證明，分數階微分方程的實用性優于整數階微分方程，對分數階微分方程的研究多數集中于其解的存在性和唯一性、可控性、分數階建模等,且大多研究是在Riemann-Liouville和Caputo定義下進行的.近年來, 有學者提出新的分數階導數定義, 如一致分數階導數，參見文獻[5].

2008年, 文獻[6]研究了分數階非線性初值問題：

溫和解的存在性和唯一性, 此處u(α)(t)為經典的Caputo分數階導數.

非局部問題由Byszewski最早提出,其作用相當于將局部的某些性質推廣至整體[7],是古典初值問題的推廣,它能更好地表達物理現象,如電磁波傳導、優化控制、氣體的擴散現象等用非局部問題來描述時契合度更高.

2016年,文獻[7]研究了以下分數階積分-微分方程非局部問題：

2019年，文獻[8]研究了非局部條件下分數階半線性Cauchy問題：

解的存在性和唯一性.其中：Dα表示階數為0<α<1的一致分數階導數；A(t)是Banach空間中的有界線性算子；ti滿足0

鑒于上述考慮,本文主要研究以下Banach空間X中分數階發展方程非局部問題：

(1)

溫和解的存在性和唯一性.式中：Tα是指階數為0<α<1的一致分數階導數；

D={(t,s)∈R2:0≤s≤t≤T}；

D0={(t,s)∈R2:0≤t,s≤T},

A:D(A)?X→X是一致有界強連續半群T(t)(t≥0)的無窮小生成元,I=[0,c].

1 預備知識

設Br={u∈C(I,X):‖u‖C≤r,r>0}

是C(I,X)中的有界凸閉集,且記

G1=max{‖g(u)‖:t∈I},

定義1[5]令α∈(0,1),給定函數f:[0,∞)→R,則f的一致分數階導數定義為

引理1[5]令α∈(0,1),且函數f和g在t>0上α次可微,則

(1)Tα(af+bg)=aTα(f)+bTα(g),?a,b∈R;

(2)Tα(tp)=ptp-1,?p∈R;

(3)Tα(fg)=fTα(g)+gTα(f);

引理2[8](Schaefer不動點定理)設X是一個Banach空間,F:X→X是一個緊算子,若集E(F)={y∈X:y=λFy,λ∈[0,1]}是有界的,則F至少有一個不動點.

定義2[9]設X是Banach空間,T(t)(0≤t<∞)是映X到X內的有界線性算子的單參數族，稱T(t)(0)≤(t<∞)是X上的有界線性算子半群,若

(1)T(0)=I(I是X上的恒等算子);

(2)T(t+s)=T(t)T(s),?t,s≥0.

定義3[9]設T(t)(0≤t<∞)是X中的有界線性算子半群.定義線性算子A如下:令

且對于X∈D(A),

稱A是半群T(t)(0≤t<∞)的無窮小生成元,D(A)是A的定義域.

定義4[9]一個X上的有界線性算子半群T(t)(0≤t<∞)稱為有界線性算子強連續半群或C0半群,如果

引理3[9](指數有界性)設T(t)(t≥0)為X中的強連續半群,則存在常數M≥1,ω≥0，使得

‖T(t)‖≤Meωt,t≥0.

若ω=0,則T(t)(t≥0)為X中一致有界強連續半群.

引理4[10](Gronwall不等式) 令f是區間I=[a,b]上一個非負連續函數,δ,λ是非負常數,使得

則對?t∈I,有

引理5[11]設f∈C(I,R),I=[0,c], 分數階發展方程初值問題

存在溫和解：

2 主要結果

下面給出本文將要用到的假設條件.

(H1)設f:I×X×X×X→X連續,N=max{‖f(t,0,0,0)‖:t∈I}, 且存在函數L1(t),L2(t),L3(t)∈L1(I), 使得

‖f(t,u(t),Gu(t),Su(t))-f(t,v(t),Gv(t),Sv(t))‖≤L1(t)‖u-v‖+L2(t)‖Gu-Gv‖+L3(t)‖Su-Sv‖，t∈I,u,v∈X;

(H2)函數g:C(I,X)→X連續,且存在非負常數G2,使得

‖g(u)-g(v)‖≤G2‖u-v‖,

?u,v∈C(I,X).

先考慮分數階發展方程初值問題

(2)

定理1設X為Banach空間,A生成X中一致有界的強連續半群T(t)(t>0),若f:I×X×X×X→X滿足假設條件(H1), 則問題(2)至少存在一個溫和解.

證明定義算子P:C(I,X)→C(I,X)，滿足

(3)

分四步來證明.

第一步:證明P連續.

設un,u∈C(I,X),{un}→u, 則對?t∈I,有

當n→∞時, 上述不等式右端趨于0,故P連續.

第二步: 證明P將有界集映為C(I,X)中的有界集.

令t∈I,u∈Br,且

則有

第三步:證明P將有界集映為C(I,X)中的等度連續集.

令t∈I,0≤t1≤t2≤c且u∈Br,由文獻[12]有

由已知條件及假設條件(H1)可得

當t2→t1時, 上述不等式右端趨于0, 因此{Pu}等度連續, 由Arzela-Ascoli定理,{Pu}相對緊, 且P是一個緊算子.

第四步:證明對?λ∈[0,1],E(P)={u∈C(I,X):λPu=u}有界.

令u∈E(P), 且存在λ∈[0,1]使得λPu=u,

因此,有

由引理4，得

故E(P)有界,因此由引理2知P至少有一個不動點,即為問題(2)的溫和解.

定理2設X為Banach空間,A生成X中一致有界的強連續半群T(t)(t>0),f:I×X×X×X→X滿足假設條件(H1), 若假設

‖L3‖L1H*)<1

成立, 則問題(2)存在唯一溫和解.

證明考慮由式(3)定義的算子P, 令u∈Br,

由式(3)并結合假設(H1), 得

因此

則P(Br)?Br,令u,v∈Br,由

有

因為

故P是壓縮算子, 因此存在唯一不動點u∈Br,即為(2)的溫和解.

接下來考慮非局部問題(1).由引理5, 得到以下結論.

引理6令u0∈D(A),若假設(H1),(H2)滿足, 則問題(1)等價于積分方程

(4)

證明類似于引理5的證明.

定理3設X為Banach空間,A生成X中一致有界的強連續半群T(t)(t>0),若f:I×X×X×X→X滿足假設條件(H1),g:C(I,X)→X滿足條件(H2),則非局部問題(1)至少存在一個溫和解.

證明定義算子F:C(I,X)→C(I,X)滿足

(5)

第一步:設{un}是一個序列, 且{un},u∈C(I,X),{un}→u, 則對任意t∈I,有

因此，

當n→∞時, 上述不等式右端趨于0, 故F是連續算子.

第二步:考慮非空有界凸閉集Br={u∈C(I,X):‖u‖≤r,r>0},t∈I,對任意t∈I,和u∈Br, 有

即

亦即對任意u∈Br, 存在ω>0, 使得‖Fu‖≤ω, 因此,F將有界集映為C(I,X)中的有界集.

第三步:類似于定理1的證明, 可證明{Fu}等度連續.由Arzela-Ascoli定理,{Fu}相對緊, 故F是緊算子.

第四步:證明對?λ∈[0,1], 集合E(F)={u∈C(I,X):u=λFu}是有界的.對u∈E(F), 有

因此

由Gronwall不等式, 得

故E(t)有界.因此,由Shaefer不動點定理知F至少有一個不動點,為非局部問題(1)的溫和解.

定理4設X為Banach空間,A生成X中一致有界的強連續半群T(t)(t>0),f:I×X×X×X→X滿足假設條件(H1),g:C(I,X)→X滿足條件(H2), 若假設

成立, 其中λ∈(0,1), 則非局部問題(1)存在唯一溫和解.

證明考慮由式(5)定義的算子F.

首先, 令u∈C([0,T],X), 則對?δ>0, 有

由假設條件(H1)、(H2)可得

當δ→0時, 上式右端趨于0, 因此對任意u∈C([0,T],X),有Fu∈C([0,T],X), 即對任意的u∈C(I,X), 有Fu∈C(I,X).

其次, 證明F是C(I,X)上的壓縮算子.

因此

因為

所以F是壓縮算子,故在C(I,X)上有唯一不動點, 可得非局部問題(1)有唯一溫和解.

3 例題

考慮下列非局部問題：

(6)

令X=L2[0,1]且Au=u″D(A)={u∈X:u,u′

絕對連續且u″∈X,u(0)=u(1)=0},由文獻[9]知,A在X上生成一致有界的強連續半群T(t)(t≥0),且對任意的t≥0,‖T(t)‖≤1,則

故

設u,v∈C([0,1],R),可得

即

因此,

由定理4知問題(6)有唯一溫和解.

4 結語

文中運用算子半群理論，結合不動點理論, 獲得一致分數階導數定義下微分發展方程初值問題溫和解的存在性和唯一性, 然后利用相同的方法考慮非局部問題溫和解的存在性和唯一性, 并舉出實例加以驗證.