區域轉換模型的建模合理性研究
——以呼和浩特市為例

王莉梅，劉克英

(華北水利水電大學 數學與統計學院,河南 鄭州 450046)

0 引言

天氣衍生品是金融衍生品的一種,但是它與傳統的金融衍生品不同,天氣衍生品的基礎產品是一類基礎指數,比如說氣溫指數﹑降雨指數﹑降雪指數﹑風力指數等.雖然對天氣指數衍生品的研發比較早,但是市場對指數產品并沒有充分的認識,對現金交割也有所懷疑.與發達國家相比,我國尚未開展標準化的天氣期貨交易,但隨著我國農業﹑旅游﹑能源﹑零售等天氣敏感行業的逐步發展,國民經濟運行中對天氣風險規避的需求持續增長.一些保險和再保險公司通過天氣保險產品為市場提供天氣風險對沖工具,但仍然不能完全滿足市場需求.天氣指數期貨的研究和推出,可以在現有天氣保險產品的基礎上,為實體經濟提供另一種有效﹑高效的天氣風險規避手段.

Türkvatan A等[1]改進了傳統的區域轉換模型,并比較提出的模型與傳統模型的性能，結果表明,該模型在短時間預測范圍內優于現有模型,而在長時間預測范圍內與現有模型基本一致.Wang Zhiliang等[2]建立了天氣衍生產品統一的定價方法,利用鄭州市62年的歷史氣溫數據建立隨機模型,并利用蒙特卡羅方法對HDD看漲期權進行定價.Elias等[3]首次討論了氣溫的區域轉換模型的基本原理,并研究了用區域轉換方法建立加拿大多倫多市的氣溫動力學模型,結果表明用一個均值回復和一個布朗運動模型可以更好地模擬多倫多市的氣溫變化.

本文基于Elias的結論，利用一個均值回復和一個布朗運動的區域轉換模型對呼和浩特市的氣溫數據進行統計模擬,并用EM(期望最大化)算法對模型參數進行估計[4-6],選取HDD和CDD指數做誤差分析,結果表明區域轉換模型是可以用于天氣衍生品的定價.

1 樣本數據的選取與統計分析

研究使用的氣溫數據為呼和浩特市2016年7月1日到2020年6月30日的日平均氣溫T(t)數據(去除閏年2月29日的氣溫數據),數據均來源于中國天氣網,對于缺失的數據采用均值替補法插補,共1460項數據.

用MATLAB軟件對1460項氣溫數據進行統計分析,得到呼和浩特市日平均氣溫的描述性統計數據，如表1所列.

表1 日平均氣溫的描述性統計數據

在進行詳細的建模之前，對日平均氣溫數據有一個全面的了解是很有必要的.利用MATLAB作出呼和浩特市2016年7月1日至2020年6月30日的日平均氣溫平化圖及描述日平均氣溫的概率分布直方圖，如圖1、圖2所示.

圖1 呼和浩特市日平均氣溫變化圖

圖2 呼和浩特市日平均氣溫分布直方圖

從圖1和圖2可以看出,呼和浩特市日平均氣溫并不服從正態分布,但日平均溫度存在明顯的周期性,季節效應明顯，類似于正弦函數.此外，由于受到全球變暖和溫室效應的影響，溫度還呈現出逐年上升的微弱趨勢，可假設該趨勢是線性的，用a+bt表示.參考Xiong等[7]的工作,周期性和趨勢性的函數為

(1)

其中：a、bt、ck、dk均為未知參數，k=1,2,3,4.

利用MATLAB軟件對日平均氣溫歷史數據應用最小二乘法進行參數估計，得出各個參數估計結果如下:

a=5.7298，b=0.0014，c1=16.4923，c2=2.2477，c3=6.5817，c4=6.0590，d1=-80.0461，d2=-219.3431，d3=-140.8643，d4=277.1958.

因此在t時刻,日平均氣溫歷史T(t)去除周期性和趨勢性函數S(t)后,日平均氣溫殘差yt可以表示為

yt=T(t)-S(t).

(2)

利用MATLAB軟件得到每日平均氣溫殘差yt并做出日平均氣溫殘差的概率分布直方圖，如圖3所示.

圖3 呼和浩特市日平均氣溫殘差的分布直方圖

從圖3可知日平均氣溫殘差較為接近正態分布.

2 區域轉換模型對氣溫變化模擬的 實證分析

2.1 模型的構建

由于日平均氣溫殘差近似服從正態分布,參考Elias[3]的結論,考慮使用一個均值回復和一個布朗運動過程來構建區域轉換氣溫模型:

(3)

其中：yt,1和yt,2分別表示區域1(均值回復過程)和區域2(布朗運動過程)的每日平均氣溫殘差,yt位于區域1的概率為π1,yt位于區域2的概率為π2,且π1+π2=1；β1∈R表示均值回復速度；μ1和μ2分別表示均值回復和布朗運動的均值；σ1和σ2分別表示均值回復和布朗運動的波動率；Wt表示維納過程的增量.

為得到隨機微分方程式(3)的解,需要分別對式(3)的兩個區域進行積分.利用伊藤引理,可以推導出模型的顯式解為

(4)

結合式(2)和式(4),得到日平均氣溫T(t)的解為

(5)

2.2 模型參數估計

使用日平均氣溫殘差數據,利用MATLAB軟件編寫EM算法的迭代計算程序估計模型參數,其參數估計結果如下：

π1=0.61，π2=0.39，β1=0.42, μ1=-1.51,μ2=0.87,σ1=2.62, σ2=1.12.

2.3 誤差分析

氣溫是天氣衍生品交易中使用最廣泛的天氣指數,關于氣溫常見的指數有:取暖指數(HDD)和制冷指數(CDD).在一段時間〈t1,t2〉內,根據美國CME交易所的相關界定,HDD和CDD的計算公式分別為

(6)

(7)

其中K是基準溫度,取K=18℃.

模擬誤差計算公式為

(8)

本文主要選擇HDD和CDD兩種指數做誤差分析,根據呼和浩特市氣溫的實際情況,由于HDD指數大多集中在1～4月份和10～12月份,CDD指數大多集中在6～8月份,有時也包括5月和9月.使用Elias[3]的網格分析法并用MATLAB軟件編寫程序,計算出2019年7月1日～2020年6月30日的主要月份氣溫的實際指數值和模擬指數值,并對其進行誤差分析,結果見表2和表3.

表2 HDD的實際值和模擬值與相對誤差

表3 CDD的實際值和模擬值與相對誤差

從表2和表3可知,在基準溫度K=18℃下,HDD指數的實際值和模擬值差別不大,模擬HDD指數對實際HDD指數的誤差絕對值最大為0.17,最小為0.01.CDD指數的實際值和模擬值差距比CDD指數的稍微明顯一些,模擬CDD指數對實際CDD指數的誤差絕對值最大為0.23,最小為0.15.

總體來說,具有一個均值回復和一個布朗運動的區域轉換模型很好地模擬了呼和浩特市氣溫的變化,模型穩定性較好,可以用于天氣衍生品的定價.

3 結語

本文基于呼和浩特市4年的氣溫數據進行統計分析,利用一個均值回復和一個布朗運動的區域轉換模型模擬氣溫的動態變化,但由于使用的模型是直接參考Elias[2]的結論,并沒有做詳細的多個模型實證對比分析,可能存在一些誤差,但由于全球氣候的多樣性,地區不同,必然會有不同的天氣模型.為了更加準確地描述氣溫的隨機特征,在未來的研究中,應該首先在定價時對當地氣溫數據進行實證對比分析,選擇能夠描述氣溫最佳的模型.本文的研究只是對天氣衍生品進行了初步探討,并沒有涉及到具體的定價研究,仍然有需要完善之處.

天氣衍生品可以幫助企業管理特定的天氣風險,因此具有重大的經濟意義.雖然天氣期貨和期權合約目前在整個衍生品市場中所占的比重相對較小,但隨著越來越多的企業開始認識到天氣風險與企業利潤之間的關系,天氣衍生品的交易量將實現快速的增長.