S變換用于電能質量擾動特征提取分析的研究

張立鵬，劉曉倩，戴振，李建文，秦剛

S變換用于電能質量擾動特征提取分析的研究

張立鵬1，劉曉倩2，戴振3，李建文3，秦剛4

（1. 國網冀北電力有限公司 廊坊供電公司, 河北 廊坊 065000;2. 國網冀北電力有限公司 香河縣供電分公司, 河北 廊坊 065000;3. 華北電力大學 電力工程系, 河北 保定 071003;4. 國網江西省電力有限公司 九江供電分公司, 江西 九江 332000）

為了提升新能源電力系統中暫態擾動與高頻擾動的分析精度，對廣義S變換、多分辨率廣義S變換、多分辨率雙曲S變換、基于布萊克曼窗與窗寬比S變換以及基于凱澤窗與頻變參數S變換的時頻分辨率進行了對比分析。在提高電壓中斷、暫降、暫升、暫降等暫態擾動分析精度方面，發現相較于改變窗口參數，改變窗口類型可以更加明顯地提高S變換的時域分辨率。在提高高次諧波與暫態振蕩等高頻擾動分析精度方面，發現相較于多分辨率的方法，變換窗寬控制方式可以更加明顯地提高S變換的頻域分辨率。通過仿真實驗定量分析，改進窗口類型與窗口控制方式的基于凱澤窗S變換在分析暫態擾動與高頻擾動的時頻分辨率方面優勢最為明顯，可以給電能質量擾動分析應用提供一定指導。

S變換；窗口參數；窗口類型；時頻分辨率；窗口控制

0 引言

隨著高新科技與新能源發電技術的快速發展，用電負荷與供電電源趨于復雜多樣化。現代電力系統趨于電力電子化，這在帶來電能變換便利的同時，也引起寬頻帶諧波、電壓中斷、電壓閃變等復雜電能質量擾動問題。另一方面，高端制造業又對供電電能質量提出了更高的要求。裝設濾波裝置濾除諧波，裝設無功補償裝置支撐電壓，是提升電能質量的重要手段；但對諧波、無功精準補償治理的前提是精確分辨出復雜電力系統中寬頻帶諧波及暫態擾動的參數。

實現電能質量擾動信號的方法有很多，主要包括：快速傅里葉變換、短時傅里葉變換、小波變換、希爾伯特–黃變換與S變換（S-transform，ST）等。

快速傅里葉變換（fast Fourier transform，FFT）只能反映信號的頻域信息，對暫態信息的處理能力很弱，無法滿足電網擾動非平穩信號需進行快速準確分析的要求。短時傅里葉變換[1]（short time Fourier transform，STFT）雖同時具有時頻分析能力，但是由于其窗寬固定，不能充分描述瞬態信號。小波變換[2-4]（wavelet transform，WT）克服了STFT的缺點，具有對突變特性的非平穩信號的分析能力；但其易受噪聲影響，分類器設計復雜，不容易實現對以時頻特征變化為主的擾動信號的有效檢測。希爾伯特–黃變換[5]（Hilbert-Huang transform，HHT）存在端點效應、模態混疊等問題，辨識精度較差。由此可見，以上方法在分析電能質量擾動方面都存在種種缺陷。

S變換作為WT和STFT的一種拓展，具有良好的時頻分辨能力和特征提取特性：它無需滿足小波容許條件，提取的特征相較于WT直觀且明顯，給提取電能質量擾動信號特征工作帶來很大的幫助。S變換[6,7]采用了高斯窗口函數，并且使窗寬與頻率成反比，彌補了窗寬固定的缺點；但由于窗口寬度不能根據具體的應用場景與需求進行調整，也就不能很好地滿足電能擾動信號分析精度。廣義S變換[8]（generalized S-transform，GST）是基本的S變換的一種改進，其引入窗口調整因子，針對擾動中不同的頻率成分選擇合適的時頻分辨率，增加了時頻域精度。多分辨率廣義S變換[9,10]（multiresolution generalized S-transform，MGST）在不同的頻率范圍內使用了不同的窗口調整因子，可以更好地平衡不同頻率范圍內的時頻精度。多分辨率雙曲S變換[11,12]（multiresolution hyperbolic S-transform，MHST）采用了任意形狀的窗口，通過改變窗口參數來改變窗口的對稱性，提高了S變換的時頻精度。基于布萊克曼窗與窗寬比S變換[13]（Blackman window and window width ratio S transform，BST）從2個方面改進了S變換，分別是采用了布萊克曼窗提高了時域精度，與采用了窗寬比控制窗口寬度提高了頻域精度。基于凱澤窗與頻變參數的S變換[14]（S transform with frequency dependent Kaiser window，KST），其窗口的頻率相關性是通過調節因子來實現的，因此凱澤窗在時域和頻域上的寬度與高斯窗口幾乎相同，而主瓣比高斯窗口更窄。與S變換相比，其所提出的窗口可以增強信號的能量集中，提高了S變換的能量聚集性和時頻分辨率自適應能力。

本文對比分析了GST、MGST、HMST、BST與KST對電能質量擾動信號的分析精度。在時域分辨率分析上，分別對比GST與MGST采用改變窗口因子方法、HMST采用非對稱的偽高斯窗口的方法（雙曲窗口）、BST采用布萊克曼窗的方法以及KST采用凱澤窗的方法對提高分析暫態擾動精度的貢獻。在頻域分辨率分析上，分別對比了MGST與HMST采用多分辨率的方法、BST采用窗寬比的方法與KST采用調節因子的方法對提高分析高頻擾動精度的貢獻。通過分析改進方法對時頻分辨率提高的程度不同，為S變換的進一步改進提供指導方向；同時據所得出的各種改進的S變換的時頻分辨率，指出KST最具優勢，這對S變換在分析高頻與暫態擾動方面應用有一定的指導意義。

1 S變換類的基本原理

1.1 基于高斯窗口的S變換及其缺陷

1996年，基于高斯窗口的S變換被Stockwell等人提出，它是對WT的一種改進。其定義為[6]：

式中：()為信號；為頻率；為時移因子；G為高斯窗口函數，其表達式為：

式中：為尺度因子，可調節高斯窗的高度和寬度，且與頻率成反比，即：

根據式（3）關系可知，高斯窗的窗口寬度不能根據具體的應用場景與需求進行調整，因此該變換方法在處理復雜畸變擾動信號時，尤其是能量聚集度不高在高頻區域時，將存在頻譜間相互干擾等缺陷，于是大大降低了處理電能擾動信號時頻域的精度。

1.2 廣義S變換的基本原理

為了克服S變換的缺陷，在S變換的基礎上，引入窗口因子，提出GST。相較于S變換，GST的尺度因子表達式[8]如下：

式中：G為窗口調節因子。

GST通過引入G，使式中的()同時受G與控制，從而使公式（2）即高斯窗口寬，同時受G與控制。通過改變G即可以改變高斯窗寬，從而改變S變換的時頻分辨率[12,15]。G改變了窗口寬度與頻率成反比的趨勢，以調整GST的時頻分辨率。文獻[10]指出，GST若采用較小G以提高時域分辨率，將導致在高頻部分提取頻域信息時，頻域分辨率進一步衰減；若采用較大G以提高頻域分辨率，會導致在低頻部分提取時域信息時，時域分辨率進一步衰減：即GST存在的“顧此失彼”的問題。因此，單獨的GST很少應用在電能質量擾動分析中。

1.3 多分辨率廣義S變換的基本原理

如式（5）與式（7）所示，在不同的頻率范圍采用不同的高斯窗口，不同的高斯窗口分別對應相應的窗寬因子MGL與MGH。為了實現S變換多分辨率，可以在不同頻率范圍采用不同的窗口因子，以分別調節不同頻率范圍內的高斯窗寬[18]。

1.4 多分辨率雙曲S變換的基本原理

針對廣義S變換及多分辨率廣義S變換都是使用高斯窗口，2003年Lalu Mansinha等提出了任意形狀的窗口的雙曲S變換（hyperbolic S-transform，HST）。離散HST表達式如下[12,19,20]：

當≠0時，

當=0時，

式中：,,均為0,1,···,–1。H(,)為HY的離散化，表達式為：

1.5 基于布萊克曼窗與窗寬比的S變換基本原理

相較于高斯窗口，布萊克曼窗口具有主瓣寬旁瓣低的優點，幅值識別精度較高，時域性更好。同時，布萊克曼窗口可以更加精準地控制窗口寬度。BST窗口寬度由窗寬比控制，其表達如下[21]：

當≠0時，

當≠0時，

式中：[]表示向上取整。B(,,s)為B的離散化，表達式：

在布萊克曼窗的基礎上，通過窗寬比B控制窗口寬度，實現調節S變換的時頻精度。在設置窗口函數即窗寬比時，在頻率為[0,100] Hz，即低頻部分，主要考慮時域分辨率，可以適當損失頻域精度。取一個較小的窗寬比以達到較好的時域分辨率，故低頻部分的窗寬比取BL=1.468 75。在頻率為（100,6400] Hz，即高頻部分，主要考慮頻域分辨率，取一個較大的窗寬比以達到較好的頻域分辨率，故高頻部分的窗寬比取BH=3。

1.6 基于凱澤窗與頻變參數S變換基本原理

凱澤窗是一組由第一類修正零階貝塞爾函數構成的可調窗函數，可以自由調節主瓣寬度與旁瓣高度的比值，主、旁瓣的能量比可以近似達到最大。相較于S變換，其窗函數表達如下[22]：

式中：0()為第一類修正零階貝塞爾函數；()是與頻率有關的參數。

用凱澤窗替代式（1）的高斯窗，可以推導得到基于凱澤窗與頻變參數S變換的數學表達式：

當≠0時，

當=0時，

式中：K(,)為K的離散化表達式[23]：

歸一化凱澤窗函數的時頻域圖形如圖1所示。圖中，=0時，凱澤窗退化為矩形窗；隨著的增大，窗口在時域中變窄，在頻域中變寬。因此，為使其在低頻時具有良好的頻率分辨率，在高頻時具有清晰的時間分辨率，()與成正比例能較好地滿足要求，即()=，其中是常數。

對于的取值，由圖2可得，<π時，凱澤窗在頻域上更寬而在時域上較窄；隨著的增大，>π時，其在時域上變寬，而頻域上主瓣的寬度的變化則較小。取以上這些值會導致信號出現拖尾現象，并導致信號分量泄漏。

圖1 α(f)取不同值時歸一化凱澤窗時頻域圖形

圖2 α取不同值時歸一化凱澤窗時頻域圖形

選取=π較為合適，是因為此時時域和頻域中的寬度幾乎與高斯窗口相同，而在對數尺度上產生了更窄的窗口，并且顯著減少了旁瓣。這時凱澤窗可以具有較好的時頻特性。

2 不同S變換時頻精度分析

借助仿真，對比分析廣義S變換、多分辨率廣義S變換、多分辨率雙曲S變換、基于布萊克曼窗與窗寬比S變換以及基于凱澤窗與頻變參數S變換的時域分辨率與頻域分辨率，結果如圖3所示。

圖3 電壓中斷及其基頻幅值曲線

圖3（a）為電壓中斷信號，圖3（b）為GST、MGST、MHST、BST與KST的基頻幅值曲線圖。如圖3（b）所示，時域精度由優到劣排序，依次為KST、BST、MHST、MGST、GST（G=1），主要表現在基頻幅值對擾動幅值以及起止時間。MGST相較于GST的時域精度有很大的提升，而KST、BST、MHST這3種算法時域分辨率在彼此之上都有一個明顯的提升。

圖4（a）為諧波的信號曲線。圖4（b）為GST、MGST、MHST、BST與KST的頻率幅值高頻部分曲線圖。這5種S變換的頻域分辨率依次提高。GST的頻率幅值曲線高頻部分只能體現3次諧波的存在，而MGST、MHST的頻率幅值曲線高頻部分能體現3、5以及7次諧波的存在。BST、KST的頻率幅值曲線高頻部可以體現3至13次諧波。但是，BST沿著頻率方向每一個尖峰向兩邊延伸的裙延不斷加寬，表明其頻域分辨率在不斷降低；而KST沿著頻率方向的裙延寬度不變，即頻域分辨率不變。

圖4 諧波及其頻率幅值曲線

基于對比結果可以得出，S變換類提高時域分辨率應從2個方面進行改進，分別是：（1）采用高斯窗口時，可以通過窗寬因子使得窗寬變窄，提高時域分辨率。（2）采用更優的窗口函數。例如偽高斯窗即雙曲窗口，改變高斯窗口的對稱性提高頻率分辨率；又如采用凱澤窗代替傳統的高斯窗，到達取得更好的時域分辨率的目的。

要使S變換類提高頻域精度，主要有2個方法，分別是：（1）通過多分辨率的方法，在不同的頻率段采用不同的窗口因子改變窗寬與頻率成反比的變換趨勢，提高頻域分辨率。（2）采用新的窗口寬度控制方式。如，布萊克曼窗使用窗寬比控制或凱澤窗設置與頻率成正比的調節參數。

3 仿真實驗分析

3.1 時域特征對比分析

暫態擾動主要有大型電氣設備投入、接地故障等造成電壓幅值波動，對其進行準確測量有利于準確地提出更加有效的治理方案。圖5（a）中，電壓中斷持續時間為1個周期，中斷深度1。圖6（a）中，電壓暫降持續時間為1個周期，暫降深度0.6。圖7（a）中，電壓暫升持續時間為1個周期，暫降深度0.5。圖8（a）中，閃變頻率為20 Hz，嚴重度0.2。

圖5 中斷信號及其基頻幅值曲線

圖7 暫升信號及其基頻幅值曲線

圖5為中斷信號及其基頻幅值曲線，圖6為暫降信號及其基頻幅值曲線，圖7為暫升信號及其基頻幅值曲線，圖8為閃變信號及其基頻幅值曲線。基頻幅值曲線為S變換模矩陣50 Hz處列向量。如圖5—8所示，GST、MGST、MHST、BST與KST在反映擾動發生起止的精準度也依次增加。表1所示結果是通過MATLAB仿真軟件隨機性生成了200組數據得到的。進行S變換后，得到的擾動基頻幅值與理論上擾動的基頻幅值的誤差取絕對值后即幅值相對誤差。GST幅值相對誤差在0.096～0.307，MGST幅值相對誤差在0.047～0.126，MHST幅值相對誤差在0.032～0.069，BST幅值相對誤差在0.011～0.016，KST幅值相對誤差在0.010～0.012。GST在分析電壓中斷時誤差極大到達了0.307，且測量各擾動的誤差波動最大，而KST在測量各擾動的誤差波動最小，并且測量精度最高。GST（G=1）、MGST、MHST、BST與KST的誤差依次減小，并且S變換之間誤差依次遞減。

圖6 暫降信號及其基頻幅值曲線

圖8 閃變信號及其基頻幅值曲線

表1 幅值相對誤差對比

由以上分析及表1分析可知，通過調整窗口因子控制窗口，可以提高S變換的時域分辨率。為了進一步提高S變換的時域分辨率需要改進窗口，采用布萊克曼窗、凱澤窗的S變換比采用雙曲窗口的S變換的時域分辨率都要更高。

3.2 頻域特征對比分析

諧波主要由電力電子裝置造成。精確地測量諧波頻率與幅值，可為裝設濾波器等治理措施提供準確的信息。圖9為較小幅值諧波信號及其高頻部分頻率幅值曲線，諧波次數與幅值如表2所示；圖10為暫態振蕩及其高頻部分頻率幅值曲線，暫態振蕩幅值如表3所示。高頻部分頻率幅值曲線為S變換模矩陣大于100 Hz列向量最大值。

如圖9所示，GST只能準確的描述3次諧波的存在，而且隨著頻率的增加GST頻率幅值曲線偏離準確的諧波幅值就更加嚴重。MGST通過多分辨率的方法，修正了頻率與窗寬成反比的趨勢。MHST則是采用任意形狀的窗口，改變了高斯窗的對稱性。MGST與MHST頻率幅值曲線高頻部分能夠準確描述3、5、7次諧波的存在；而隨著頻率的增加，它們的頻率幅值曲線高頻部分與GST幅值曲線高頻部分變化趨勢基本相同，只是更加貼近諧波幅值：這表明采用多分辨率的方法只能保證部分區域內的頻率分辨率。BST與KST頻率幅值曲線均能較為準確地描述各次諧波的幅值，但BST沿著頻率方向存在著裙延變寬，并且在17次諧波之后存在著不同次諧波裙延相連的情況；而KST群延的寬度基本不變：這表明通過改變控制方式可以根本性地解決頻率分辨率沿著頻率方向衰減的問題。

圖9 較小幅值諧波信號及其高頻部分頻率幅值曲線

圖10 暫態振蕩及其高頻部分頻率幅值曲線

表2 諧波與暫態振蕩相對幅值誤差對比

表3 諧波與暫態振蕩相對頻率誤差對比

如圖10所示，GST、MGST、MHST、BST與KST均能描述暫態振蕩的存在。

表2與表3所示的結果是通過隨機生成200組得到的。幅值與頻率相對誤差是進行S變換得到擾動的幅值與頻率與理論擾動的幅值與頻率的誤差，并且誤差取絕對值。各次諧波與暫態擾動幅值如表2所示，暫態擾動持續時間為2個周期，暫態擾動的頻率為300 Hz。表中“—”表示不能測量出該次諧波。GST與MGST均不能描述11次及以上諧波，MHST不能描述13次及以上諧波。BST、KST能夠精確測量各次諧波；而相較于BST，KST的誤差為零。

由圖9、圖10、表2、表3分析可知，GST、MGST與MHST隨著頻率增加，其頻域分辨率下降；在描述高次諧波時，出現各次諧波直接相互干擾，幅值曲線高頻部分描述的諧波幅值明顯高于諧波實際的幅值。通過多分辨率的方法在一定程度上可提高S變換分析高頻擾動頻域分精度。布萊克曼窗使用窗寬比控制或凱澤窗來設置與頻率成正比的調節參數，能從根本上解決頻域分辨率衰減的問題，對S變換頻域分辨率的提升貢獻最為明顯。

4 結論

在時域精度上，高斯窗通過變窗口因子，可以提高時域分精度；在此基礎上采用不對稱的偽高斯窗，即雙曲窗口，可以進一步提高窗口精度。布萊克曼窗的主瓣寬，旁瓣比較低。凱澤窗具有可同時調整主瓣寬度與旁瓣寬度的特性，因此相較于高斯窗與雙曲窗口，其可進一步提高S變換分析暫態擾動時域精度。分析表明，通過改變窗口類型可以提高S變換的時域精度，即設計新的窗口函數或者采用性能更加優異的窗口函數可以進一步提高暫態擾動的時域分析精度。

在頻率精度上，多分辨率的方法在一定程度上可提高S變換分析高頻擾動頻域分精度。采用窗寬比的窗寬控制方式，設置凱澤窗的調節因子與頻率正相關，能夠進一步提高S變換的頻域分辨率，即可以設計新的窗寬控制方式以適用于該領域的頻域精度要求。

S變換的時頻精度由低到高依次為廣義S變換、多分辨率廣義S變換、多分辨率雙曲S變換、基于布萊克曼窗與窗寬比S變換以及基于凱澤窗與頻變參數S變換。在分析高頻擾動與暫態擾動時，可采用更高時頻精度的基于凱澤窗與頻變參數S變換。

本文所提方案還有改進空間：對于凱澤窗，如果能夠得出參數()自適應算法，則可以實現基于凱澤窗S變換的性能提升。自適應方案會帶來額外的計算量，需進一步研究其優化算法。如何將實際的電網故障與體現在電能質量的現象相對應，確定擾動發生的原因與擾動發生的具體位置，是進行深入電能質量擾動問題分析，探尋提高電力系統的供電可靠性的一種方法。因此，進一步研究信號的特征及異常信號產生的原因，并將其與電網故障相匹配是后續研究的主要方向。

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Research on S-transform Used in Power Quality Disturbance Feature Extraction and Analysis

ZHANG Lipeng1, LIU Xiaoqian2, DAI Zhen3, LI Jianwen3, QIN Gang4

(1. State Grid Jibei Electric Power Co., Ltd., Langfang Power Supply Company, Langfang 065000, China; 2.Xianghe Power Supply Branch of State Grid Jibei Electric Power Co., Ltd., Langfang 065000, China; 3.School of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China; 4. State Grid Jiangxi Electric Power Co., Ltd., Jiujiang Power Supply Branch Company, Jiujiang 332000, China)

In order to improve the analysis accuracy of transient disturbances and high-frequency disturbances in new energy power systems, the paper compares and analysis time-frequency resolution among generalized S transform, multi-resolution generalized S transform, multi-resolution hyperbolic S transform, based on Blackman window and window Aspect ratio S transform and based on Kaiser window and frequency variable parameter S transform. In improving the accuracy of transient disturbance analysis such as voltage interruption, it is found that compared to changing the window parameters, changing the window type can more significantly improve the time-domain resolution of the S transform. In terms of improving the accuracy of high-frequency disturbance analysis such as high-order harmonics, it is found that compared with the multi-resolution method, the conversion window width control method can significantly improve the frequency domain resolution of the S transform. Through the quantitative analysis of simulation experiments, the Kaiser window S transform based on the improved window type and window control method has the most obvious advantage in the analysis of transient disturbances and high-frequency disturbances in time-frequency resolution, which can provide certain guidance for the application of power quality disturbance analysis.

S transform; window parameter; window type; time frequency resolution; window control

10.3969/j.ISSN.1672-0792.2021.11.002

TM933; TM712

A

1672-0792(2021)11-0012-11

2021-06-07

河北省自然科學基金（E2017502053）；國網冀北電力有限公司科技項目（520184170002）

張立鵬（1988—），電氣工程工程師，主要從事分布式電源業擴報裝、并網驗收、運行等全流程管理工作；

劉曉倩（1989—），電氣工程工程師，主要從事電力調度監控，配電網電能質量監控，配網線路模型搭建；

戴 振（1996—），碩士研究生，主要從事電能質量擾動識別與分類研究工作；

李建文（1983—），講師，主要從事新能源并網控制技術、電能質量擾動識別與治理方面的研究工作；

秦 剛（1993—），助理工程師，主要從事電能質量分析與控制、電能質量擾動識別與分類和數字信號處理的研究工作。