高階效應下對稱三量子點系統中光孤子穩定性研究*

任波 佘彥超 徐小鳳 葉伏秋

1) (吉首大學物理與機電工程學院,吉首 416000)

2) (銅仁學院物理與電子工程系,銅仁 554300)

利用多重尺度法解析地研究了窄脈沖探測光激發下半導體三量子點分子系統中高階效應對光孤子穩定性的影響.結果表明,由標準非線性薛定諤方程所描述的光孤子在傳播的過程中會出現較大衰減,而由高階非線性薛定諤方程所描述的光孤子卻有著較為良好的穩定性.此外,數值模擬光孤子間的相互作用發現,由標準非線性薛定諤方程所描述的兩光孤子碰撞后其振幅迅速衰減并輻射出較為嚴重色散波,而由高階非線性薛定諤方程所描述的兩光孤子碰撞后其形狀幾乎不發生任何變化.這主要是由于當入射的探測光脈沖足夠窄時,系統須采用高階方程來描述,其物理原因是方程中的高階效應,包括非瞬時效應和三階色散效應不能被忽略或當作微擾處理.這種穩定的光孤子對于將來的光信息處理和傳輸技術有著潛在的應用價值.

1 引言

隨著半導體技術的興起,作為半導體量子局限材料的半導體量子阱、量子點(semiconductor quantum dot,SQD)在非線性光學等領域已成為了研究的熱點之一[1?3].這是由于半導體量子阱、量子點具有著類似超冷原子的分立能級結構,且在實際應用中有著易于集成、易于調控,以及較大的非線性參數等優良特性[4,5].此外,在量子阱、量子點介質中產生保真度高、抗干擾能力強的光孤子[6?9]也被人們在量子通信和量子調控等領域廣泛地關注[10?12].如,Yang 等[13]在單個量子點中通過雙激子相干成匹配慢光孤子對,發現孤子間碰撞的作用力是吸引還是排斥是由孤子間的相位差來控制的;Mahmoudi 等[14]在半導體雙量子點(Double Quantum Dots,DQD)系統中,證實了點間隧穿耦合強度能夠對控制光的群速度進行有效調控,并在非相干泵浦場的間接激發下,利用吸收雙態到增益雙態的轉換實現了光脈沖的無吸收超光速傳播;She等[15]在研究DQD 分子系統中時間光孤子的形成時發現,調節控制場強度可以實現亮、暗光孤子的轉換;Hao 等[16]通過對半導體雙量子阱系統中光孤子的傳播性質進行研究,得到了弱場激發下的以超慢群速度傳播的暗光孤子.

然而,目前人們主要傾向于研究寬脈沖在SQD 中的非線性傳播特性,為簡單起見,通常忽略了其中的高階效應.在數學上,也使用忽略了高階效應的標準非線性薛定諤(standard nonlinear Schr?dinger,SNLS)方程來描述光場的非線性傳播行為.值得注意的是,當脈沖寬度較窄時,系統的高階效應包括非瞬時效應、三階色散效應等是較為顯著的,此時則應使用包含有高階效應的高階非線性薛定諤(high order nonlinear Schr?dinger,HNLS)方程來描述其傳播特性[17?22].如,Huang 等[23,24]在超冷原子和量子阱系統中發現,當脈沖寬度較窄時,系統的三階色散、非瞬時效應是十分顯著的,此時,這些參量不能被當作微擾處理;2016 年,Mani 等[25]研究了高階非線性效應對于脈沖寬度為1 ps 內孤子脈沖偏移的影響,結果表明,負三階色散能夠有效抑制相鄰孤子脈沖之間的碰撞;2017 年,Liu 等[26]在研究變系數耦合HNLS 方程中孤子的相互作用時發現,兩個孤子的速度與三階色散系數有關,高階效應會影響高比特率孤子脈沖的傳輸等.

基于此,本文探究了計及高階效應的窄脈沖弱探測場與三量子點(three quantum dots,TQD)相互作用時光孤子的穩定性問題.利用多重尺度法解析地得到了描述弱探測光包絡函數的HNLS 方程,進而得到其基階孤子解.通過數值研究其穩定性及碰撞特性,我們發現:相比于SNLS 方程所描述的光孤子在傳播及碰撞過程中會出現較大程度衰減失真而言,HNLS 方程所描述的光孤子則能夠在傳播及碰撞過程很好地保持形狀幾乎不發生任何變化,即穩定性更為良好.這主要的原因是由于當輸入的探測光脈沖足夠窄時,高階方程中的高階效應包括非瞬時效應、三階色散效應等不能被忽略或當作微擾處理.

2 理論模型及其麥克斯韋-薛定諤方程組

根據現有的實驗條件,利用分子束外延法和原子層刻蝕法可構建如圖1 所示的對稱TQD 分子模型[27?30].該模型在中心頻率為 ωp的窄脈沖弱探測場激發下,在QD1 內可形成電子空穴對的狀態,即激子態|4〉,同時通過外加偏置電壓的作用,QD1 導帶中的電子將通過隧穿薄勢壘耦合效應被限制在QD1 與QD2,QD3 的導帶間[29,31]分別形成間接激子態 |2〉、|3〉.而對于能級 |1〉則是體系的基態.TQD 系統的哈密頓量可表示為(假設 ?=1)

圖1 (a) TQD 有效激子能級示意圖;(b)相應能級結構圖.Γm1(m=2,3,4) 表示退相干通道,ω4n(n=1,2,3) 表示能級差,Δp=ωp?ω41 為探測場與能級差 ω41 的頻率失諧量.Fig.1.(a) Energy level diagram of TQD effective exciton;(b) corresponding energy level structure diagram.Γm1(m=2,3,4)represents the decoherent channel,ω4n(n=1,2,3)represents the energy level difference,Δp=ωp?ω41is the frequency detuning between the probe laser field and the energy level difference.

3 多重尺度法及其HNLS 方程

一般來說,方程(2)是不可積的,無法直接得到其解析解,因此采用標準多重尺度法[32?36]將幾率幅和探測光的半拉比頻率進行漸進展開

式中,ε 是一個微小參量,刻畫的是基態粒子布局的偏離,并且假定幾率幅3,4)和半拉比頻率都是不同尺度的時間變量tn=εnt (n=0,1)和空間變量zn=εnz (n=0,1,2,3),xn=εx,yn=εy 的函數,將方程(3)代入方程(2),麥克斯韋-薛定諤方程組可變換為

當 n=1 時,系統的線性色散關系可表示為

為克爾非線性系數,刻畫了系統的非線性效應.

同理,當n=4時,由四階可解條件得

式中

為非線性色散系數,

為非線性折射率延遲系數,這兩個系數分別刻畫了系統的非線性色散效應以及非線性折射率延遲效應.

結合方程(7)—(9)我們可以得到

式中 τ=t?z/Vg,且在求解過程中已定義Ωp≈一般來說,高階非線性方程(10)往往是不可積的,因為它具有復系數.然而,通過考慮量子點實驗參數[37,38]:κ14=3.4×102meV·μm?1,Γ4=0.054 meV,Γ2=Γ3=10?3Γ4,Te1=Te2=0.7Γ4,ω42=?ω43=0.5Γ4,c=3×1010cm·s?1,Δp=?8 meV.我們發現該方程系數的實部可以遠遠大于其對應的虛部,如圖2 所示,這是由于在隧穿誘導透明的機制下,系統的共振吸收被大大抑制的結果.因此,方程(10)可變換為

圖2 方程(10)相關系數虛部與實部的比值隨 Δp/Γ4 的變化關系 (a) K2i/K2r ;(b) K3i/K3r ;(c) Wi/Wr ;(d) β1i/β1r ;(e) β2i/β2r Fig.2.The ratio of the imaginary part and the real part of the correlation coefficient of equation (10) as a function of Δp/Γ4 :(a) K2i/K2r ;(b) K3i/K3r ;(c) Wi/Wr ;(d) β1i/β1r ;(e) β2i/β2r.

式中下標r 表示取其對應系數的實部.

下面,將方程(11)寫成無量綱的形式,引入無量綱化的參數:τ=τ0σ,z=?2LDs,U=U0u,(x,y)=R⊥(x′,y′),其中為色散長度,刻畫的是系統的色散效應起作用所需的有效距離.LNL為非線性長度,刻畫的是系統的非線性效應起作用所需的有效距離,τ0表示探測光的特征脈沖長度.當 LNL=LD時,系統中的色散效應與非線性效應達到平衡從而形成時間光孤子.由平衡條件可得表示其探測光的特征拉比頻率.另外,gj=2LD/Lj(j=0,1,2,3,4,5),L0=1/K1r表示系統的線性吸收長度,L1=為系統的非線性色散長度,L2=為系統的非線性折射率延遲長度,為系統的三階色散長度,L4=τ0/K1r為系統的導數吸收長度,為系統的衍射長度.即

值得注意的是,當 gj?1 時,方程(12)可簡化為SNLS 方程,另外,當 L0,L4,L5遠遠大于 LD,忽略正比于 g0,g4,g5的項[24]時,方程(12)可表示成HNLS 方程,于是有

當 K2rWr>0 時,SNLS 方程的基階亮孤子解[24]可表示為

式中,

4 孤子穩定性分析

為了檢驗孤子的穩定性,在圖3 中分別以方程(14)和(15)作為初始條件,對方程(2)進行了數值模擬.圖中實線、虛線、點虛線分別表示初態以及演化1 個單位長度和2 個單位長度時的數值結果.從圖3(a)中可以看出,當孤子演化到1 單位長度時,其幅值迅速減小,寬度有所增加,并且在孤子前沿也輻射出了小振幅色散波;隨著演化距離逐漸增大到2 個單位長度,對應的孤子幅值和寬度也分別出現了進一步的減小和增加,同時色散波的輻射也越來越嚴重.這表明孤子在傳播的過程出現了較為嚴重的衰減失真.反觀圖3(b):隨著孤子的逐漸演化,除孤子幅值發生輕微減小外,整體看來,孤子的形狀幾乎不發生明顯變化,這表明孤子能夠穩定傳播.對比圖3(a)、圖3(b)可以得知,當探測光的脈沖寬度較窄時,使用HNLS 方程的基階孤子解得到的演化結果較前者更為穩定.

圖3 (a)方程(14)作為初始條件的數值演化結果;(b)方程(15)作為初始條件的數值演化結果.波形給出的演化距離為1 個單位長度(虛線)和2 個單位長度(點虛線),取 τ0=5×10?13 s,β=0.5,Φ=0,其他參數與圖2 相同Fig.3.(a) Numerical evolution result using equation (14) as the initial condition;(b) numerical evolution result using equation(15) as the initial condition.The evolution distance given by the soliton waveform is 1 unit length (dotted line) and 2 unit lengths(dotted dotted line),and the parameters used are τ0=5×10?13 s,β=0.5,Φ=0,other parameters used are the same as Fig.2.

為了進一步探究TQD 系統中形成的光孤子的穩定性,分別以方程(16a)、(16b)作為初始條件對方程(2)進行了孤子間碰撞的數值模擬分析(見圖4).

對比圖4(a)和圖4(b)可以發現,由SNLS 方程所描述的光孤子碰撞后,其振幅呈現出快速地減小,對應的孤子寬度也逐漸增加,并且隨著孤子的逐漸演化,在其兩側和中間也會輻射出較為明顯的色散波,從而導致光孤子碰撞后出現較大程度衰減失真,這主要是由于系統的高階效應所導致的.與此相反,由HNLS 方程所描述的光孤子碰撞后其振幅及形狀幾乎沒有發生任何變化,這進一步說明在該系統中當脈沖寬度較窄時考慮高階效應所得到的光孤子具有更好的穩定性.

圖4 相鄰孤子間的相互作用 (a)方程(16a)作為初始條件的數值演化結果;(b)方程(16b)作為初始條件的數值演化結果.除θ1=θ2=0外,其他參數與圖2相同Fig.4.Interaction between adjacent o ptical solitons:(a) Numerical evolution result using equation (16a) as the initial condition;(b) numerical evolution result using equation (16b) as the initial condition.Except for θ1=θ2=0,the other parameters are the same as in Fig.2.

另外,在該量子點分子系統中,由于輸入的探測光場為窄脈沖,應考慮方程(2e)是否滿足慢變包絡近似條件:?Ωp/?z ?kpΩp、?Ωp/?t ?ωpΩp,即 λp?Vgτ0,ωpτ0?1.在上面所給的量子點參數條件下,孤子的群速度為 Vg=6×10?2c,τ0=5×10?13s,探測場的中心角頻率為ωp=2.43×1015rad·s?1,對應的波長 λp=0.78 μm,有Vgτ0=9 μm,ωpτ0=1.215×103,因此該系統能夠有效地滿足慢變包絡近似的條件.此外,通過上面參數可得孤子的空間長度 Lsol=Vgτ0=9 μm,系統的色散長度 LD=LNL=0.33 μm,以及系統的線性吸收長度 L0=35.7 μm.可以看出,該系統的線性吸收長度是遠遠大于其色散長度的,這就保證了孤子能夠穩定的保形傳播.并且,根據現有量子點制備條件[13],對于該系統的配置而言,由于擁有一個相對較長的傳播距離(約為毫米量級).因此,能夠很好地保證其色散長度和空間長度是遠遠小于該長度,以便于觀察光孤子形成與傳播.

綜上所述,在SQD 系統中時間光孤子能夠形成并穩定傳播.特別地,當輸入的探測光場的脈沖寬度較窄時,使用HNLS 方程對體系中光孤子的傳播進行描述是更為準確的.

5 結論

基于以上分析,本文從四能級TQD 系統的麥克斯韋-薛定諤方程組出發,運用標準多重尺度法解析得到了描述該系統的HNLS 方程以及SNLS方程,并給出了其對應的基階孤子解.通過數值計算,發現該系統中由HNLS 方程所描述的光孤子具有更好的穩定性,尤其當入射探測光脈沖較窄時系統內光孤子的傳播須采用HNLS 方程描述.其物理原因是方程中的高階效應,包括非瞬時克爾效應和三階色散效應等將會導致脈沖在時間和光譜上產生不對稱展寬及脈沖的紅移增加,從而不能被忽略或當作微擾處理.最后,為了進一步驗證形成的光孤子的穩定性,分別數值模擬了這兩種孤子的各自碰撞特性,模擬結果進一步表明由HNLS 方程所描述的光孤子具有更好地穩定性.這種穩定的光孤子對于將來的光信息處理和傳輸技術有著潛在的應用價值.

附錄 A

麥克斯韋-布洛赫方程組: