居家自主設計探究性實驗
——基于Tracker、Python軟件的落體球碰撞能量損失率實驗優化

周 坤 李航遠 孫寶印 徐亞東 呂冬麗

（蘇州大學物理科學與技術學院，江蘇 蘇州 215006）

作為物理實驗課程線上教學形式之一的虛擬仿真實驗教學早已用于物理實驗課程的居家學習，其具備物理圖像清晰、操作逼真、設計性強等優點，［1-2］但仍缺乏實驗操作的代入感，而且物理實驗課程本身更注重動手操作能力的培養，只有虛擬操作是難以達到教學效果的.為了更好地完成居家教學任務，筆者擬嘗試居家自主設計實驗作為虛擬仿真實驗的補充，主要通過選擇貼近生活的實驗器材（如智能手機、計時器、乒乓球等）完成實驗.

智能手機攜帶的高精度傳感器使居家實驗的精確性得到保證.這些傳感器結合相應的APP可以催生一系列基于智能手機的居家實驗.［3-5］其中，基于落體球的相關動力學實驗時有報道，如喻漫雪等利用Phyphox軟件開展的落體球實驗、［6］曾蓓等利用Tracker軟件研究落體球運動過程.［7］上述兩篇文章分別利用Phyphox和Tracker軟件給出了一些落體球基本運動規律和結論.然而細究其過程，由于Phyphox軟件在獲取相關參數時，只能將落體球運動過程看作理想狀態，從而忽略了空氣阻力對運動過程造成的影響，而這對于密度較小的落體球來說影響較大；而曾等利用Tracker軟件雖對不同小球受空氣阻力影響作定性分析，但仍缺乏空氣阻力的定量計算.基于以上情況，本文將計及空氣阻力的影響，利用Tracker和Python軟件（下文稱Tracker擬合法）探究落體球（無初速釋放）碰撞能量損失率，以期得到更準確的碰撞能量損失率.

1 利用Tracker擬合法探究落體球碰撞能量損失率實驗思路

1.1 實驗原理

如圖1所示為落體球由某一釋放高度H0處無初速釋放后，與地面的碰撞情況示意圖.由Phyphox測量原理可知，［6］只要通過測出相鄰碰撞間隔時間t，即可通過換算成高度Hn（Hn為第n次碰撞后反彈的高度），進而計算出落體球每次碰撞能量損失率xn，即

圖1 碰撞示意圖

然而上式計算結果由于計入空氣阻力造成的能量損失，從而使得xn比真實值偏大.落體球在運動過程受力如圖2所示，其上升和下降過程阻力方向相反，當計及空氣阻力時，上式計算顯然是不合理的，其碰撞能量損失率xn的計算應通過第n次碰撞前后的速度來計算.其推導過程如下.

圖2 落體球（乒乓球）受力分析

對下落過程中的乒乓球進行受力分析（如圖2）.由牛頓第二定律知

式中k為空氣阻尼系數，分離變量得

由于t=0時，v=0，物體下落時間為t時速度為v.對（3）式積分處理得下落過程中速度表達式

同理可推出上升過程速度和位移表達式分別為

上升位移為

碰撞前后能量損失率為

綜上分析只需知道k，t即可計算出第n次能量損失率xn.

1.2 實驗設計思路

實驗中空氣阻尼系數k為未知量，本實驗中擬通過Python結合Tracker軟件獲取的實驗數據進行擬合得到k.詳細實驗路徑如圖3所示，將不同高度無初速釋放的落體球碰撞過程視頻導入Tracker軟件，讀取若干組上升和下降過程的釋放高度H、每次上升/下降過程的時間t，通過Python編寫程序擬合阻尼系數k，利用k、t結合公式（4）（6）（8）即可計算出第n次能量損失率xn.

圖3 利用Tracker軟件改進實驗的流程圖

2 實驗儀器及步驟說明

2.1 實驗儀器

智能手機（Tracker軟件、Python軟件、Phyphox軟件、攝影功能），乒乓球（質量為0.0027kg，直徑40mm），直尺，卷尺，撞擊地面材質為大理石，實驗中g=9.8m/s2.

2.2 視頻拍攝

在一處空白墻面上，以10cm為間隔精確標定20cm至70cm高度，用支架將手機豎直放置并固定，啟用慢動作視頻拍攝功能，開始拍攝，將乒乓球在釋放高度H（20/30/40/50/60/70cm）處靜止釋放，待球與地面碰撞次數達到4次后，結束拍攝.注意在拍攝界面中放置一個正在計時的秒表，且確保乒乓球始終完整地出現在視頻中.

2.3 Tracker軟件追蹤乒乓球下落軌跡

（1）將視頻導入手機Tracker軟件.

（2）利用軟件的功能，以視頻中秒表顯示的時間為依據，以釋放小球的質心為坐標原點，確定乒乓球在各個時刻的高度.從而找到乒乓球在碰撞后到達最高點時所處的高度H，碰撞后乒乓球到達最高點所需時間（或從最高點下降到下一次碰撞前的時間）t，詳見圖4所示.

圖4

2.4 Phyphox軟件測量乒乓球某高度自由釋放后第n次碰撞能量損失率xn

為了便于比較實驗結果的準確性，本實驗同時采集了Phyphox軟件測量的第n次碰撞能量損失率.將乒乓球在釋放高度H（20/30/40/50/60/70cm）處靜止釋放，利用Phyphox軟件分別測量其第n次碰撞能量損失率xn，實驗方法及數據處理詳見文獻［6］，稱其為Phyphox法.

3 實驗數據分析

3.1 Python擬合阻尼系數k

依照實驗原理中公式（5）和（7），計及空氣阻力情況下，利用Python分別編寫小球下降和上升過程碰撞地面時的速度數值的程序；將Tracker追蹤得到的53組H、t數據導入程序，通過擬合得到下降和上升過程空氣阻尼系數k值，取其平均k=3.00×10-3kg/s，該值與代超超等［8］報道的數值相近，詳見圖5.

圖5 Python擬合空氣阻尼系數k值（k=3.00×10-3kg/s）

3.2 利用阻尼系數k計算兵乒球某次無初速釋放后第n次碰撞前后速度v

將乒乓球在高度H處無初速釋放，基于Tracker追蹤得到第n次下落（或上升）時間t和阻尼系數k，利用公式（4）、（6）計算其第n次碰撞前后速度v，詳見表1.表中v上、v下分別代表上升和下降過程的最大速度.

表1 不同釋放高度下第n次碰撞前后的最大速度

3.3 乒乓球自高度H無初速釋放后第n次碰撞能量損失率對比

圖6所示為Tracker擬合法和Phyphox法得到的乒乓球由高度H無初速下落后第n次碰撞的能量損失率.通過對比，可得出如下結論：（1）兩種方法均能反映出初始釋放高度與碰撞的能量損失率基本成正相關的關系，釋放高度越高，能量損失率越大；（2）由于計及空氣阻力的影響，Tracker擬合法測得的碰撞中能量損失率更小更接近真實值；（3）空氣阻力對能量損失的影響隨著高度增加而增大，事實上，對于乒乓球而言，當釋放高度為70cm時，兩種方法得到其前3次碰撞能量損失率差值分別為3.8%、6.2%、5.4%，因此，當采用輕質球開展本實驗時，不可隨意忽略空氣阻力.雖然Tracker擬合法計及空氣阻力的影響，可以較為精確的計算出能量損失率，但其在空氣阻尼系數k、高度H、時間t的獲得仍有一定誤差，且此方法需要掌握一定的軟件使用技能和編程基礎，對初學者仍有一定難度.

圖6 Phyphox法與Tracker擬合法得到的第n次碰撞能量損失率對比

4 結論

本文利用Tracker擬合法獲取落體球運動過程相關參數，進而通過擬合空氣阻尼系數k探究落體球碰撞能量損失率（計及空氣阻力）.結果表明Tracker擬合法可在一定程度上獲得更準確的落體球碰撞能量損失率，且該方法取材于生活常見物品，易于居家實現；其次，該方法有利于加深學生對真實落體過程有更清晰的認識；最后，文中通過Python編程的數值計算結合理論推導和實驗研究也為學生探究物理問題提供了一種借鑒，令其對科學研究思路有一定了解，并產生一定興趣，對其今后發展大有益處.