《全稱量詞與存在量詞》教學設計

李智鋼

一、內容和內容解析

1.內容

“全稱量詞與存在量詞”作為人教A版普通高中教課書數學必修第一冊，第一章 集合與常用邏輯用語1.5節，可以自成一個單元組織教學。本單元內容可分2課時完成：第1課時，全稱量詞和存在量詞;第2課時，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定。也可以先把“兩種量詞及含有其中一種量詞的命題的否定”一氣呵成地學完，再進行練習等深化理解。本文為第1課時“1.5.1全稱量詞與存在量詞”的教學設計。

2.內容解析

命題是可以判斷真假的陳述句。數學中，一些含有變量的陳述句，由于不知道變量代表什么數，無法判斷真假，因此它們不是命題。是如果在原語句的基礎上，用一個短語對變量的取值范圍進行限定，就可以使它們成為一個命題，我們把這樣的短語成為量詞。

大量而豐富的數學實例中可以發現有兩類短語可以起到限定變量范圍的作用：“所有的”“對任意一個”這類短語叫做全稱量詞，用符號“ ”表示。“存在一個”“至少有一個” 這類短語叫做存在量詞，用符號“ ”表示。含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題。全稱量詞命題“對 任意一個 ， 成立”，可用符號簡記為“ ”。含有存在量的命題，叫做存在量詞命題。存在量詞命題“存在 任意一個 ， 成立”可用符號簡記為“ ”。這樣就得到了含有一個量詞的兩種命題的符號表示。

熟悉了全稱量詞命題和存在量詞命題的形式，并能夠判斷其真假，這樣就使命題形式更加豐富，能夠更精準和更高效地表達數學問題和結論，使數學表達和交流更具嚴謹性和準確性。

另外引入了新的數學符號“ ”“ ”，以及特定命題的數學符號表示： ; .鼓勵學生多使用符號語言，對數學內容進行表達，體會其簡潔、準確的特點.從而培養學生能夠準確地運用符號語言表達數學內容的良好習慣。

基于以上分析，確定本課時的教學重點：全稱量詞和存在量詞的意義、全稱量詞命題及存在量詞命題真假的判斷方法。

二、教學問題診斷分析

學生初中學習過一些含有全稱量詞和存在量詞的命題，例如“平面內垂直于同一條直線的兩條直線平行”， 等，通過本節課可以將其歸納并用確定的符號表示出來。生學習的難點在于判斷一個命題是否為含有量詞的命題，所以在教學過程中需要注意幫助學生提煉語句中的量詞，并更多地把自然語句轉化成標準的全稱量詞命題和存在量詞命題形式的語句。于在之前的學習過程中學習過的數學定理、規律、公式基本上都是對所有變量都成立的命題，所以學生理解全稱量詞命題并判斷真假并不困難，相對而言，存在量詞命題是對部分變量甚至是唯一變量成立的，不常以結論形式出現，在學生之前的學習過程中出現得相對較少，學生掌握起來稍有難度，學生對命題中不同的存在量詞的識別上以及對存在量詞命題的真假性判斷中都有可能出現理解的障礙，所以在存在量詞命題的教學中可以更多的舉例分析，幫助學生找到量詞，并鍛煉學生將自然語言語句向邏輯語言語句轉化的能力。在性問題是一類重要的數學問題，通過本節中對存在量詞命題的學習和研究，學生能夠更好的理解和掌握存在性問題的處理方法。

本節課的教學難點是判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假。

三、教學過程設計

1.5.1 ?全稱量詞與存在量詞

（一）概念的引入

問題1：閱讀教科書第26頁“思考”，關于思考中的4個語句哪些是命題？說明理由？

師生活動：學生判斷（1）～（4）是否為命題，教師根據學生情況，可以選擇以下問題進行追問。

追問：含有變量的語句一定是命題嗎？（1）（2）不是命題的原因？（3）（4）是命題的原因？

師生活動：學生獨立思考追問中的問題、討論交流。

設計意圖：通過師生對話交流，復習初中所學命題的概念。學生初步認識到在數學中，含有變量的陳述句不一定都能夠判斷真假，從而不一定都是命題。題中的變量是否具備明確的限定范圍是決定其是否能成為命題的關鍵。

（二）概念的形成

問題2：在教科書第26頁“思考”中的4個語句，比較（1）和（3），（2）和（4），它們之間有什么關系？

師生活動：學生判斷（1）～（4）是否為命題，教師根據學生情況，可以選擇以下問題進行追問。

追問：（1）比較（1）和（3），它們之間有什么關系？又有什么區別？

（2）比較（2）和（4），它們之間有什么關系？又有什么區別？

師生活動：學生獨立思考追問中的問題、討論交流。

教師引導學生梳理討論交流的結果，語句（1）（2）中含有變量 ，由于不知道變量 代表什么數，無法判斷它們的真假，所以它們不是命題。句（3）在（1）的基礎上，用短語“所有的”對變量 進行限定;語句（4）在（2）的基礎上，用短語“任意一個”對變量 進行限定，從而使（3）（4）成為可以判斷真假的語句，因此語句（3）（4）是命題。

（三）概念的深化

問題3：你能再舉出幾個全稱量詞命題的例子嗎？通過這些例子能否寫出全稱量詞命題的一般形式？

師生活動：學生獨立思考，舉例，討論交流。

教師選取學生的舉例板書，引導學生梳理、完善討論交流的結果，并運用符號語言簡潔、準確地表達出全稱量詞命題的一般形式。

設計意圖：教師引導學生通過多舉一些數學例子加深對全稱量詞命題的認識，通過引入符號表述全稱量詞命題，使學生體會到用符號語言表達數學內容的準確性、簡潔性。

（四）概念的鞏固應用

（五）存在量詞及存在量詞命題概念的形成、深化及應用

問題5：閱讀教科書第27頁“思考”，關于思考中的4個語句，哪些是命題？為什么？

短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯上通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示，常見的全稱量詞還有“有些”“有一個”“對某些”“有的”等，含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題。

問題6：你能再舉出幾個存在量詞命題的例子嗎？通過這些例子能否寫出存在量詞命題的一般形式？

問題7：請同學們思考：對給定的存在量詞命題，如何判斷它的真假呢？

五、目標檢測設計

教材p35復習參考題1，復習鞏固6。

設計意圖：考查學生是否會判斷全稱量詞命題、存在量詞命題的真假。