小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)

袁媛

【摘? 要】“數(shù)與代數(shù)”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，亦是廣大教師關(guān)注的焦點(diǎn)。在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，教師應(yīng)該從學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的邏輯起點(diǎn)出發(fā)，基于興趣，幫助學(xué)生搭建建模支架;基于過(guò)程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型;基于運(yùn)用，讓數(shù)學(xué)模型內(nèi)化為數(shù)學(xué)能力，從而達(dá)成對(duì)“數(shù)與代數(shù)”的知識(shí)認(rèn)知，發(fā)展數(shù)理邏輯能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)與代數(shù);數(shù)學(xué)模型;建構(gòu);小學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? 文章編號(hào)：0493-2099（2021）33-0022-02

The Construction of Mathematical Model in Primary School Mathematics "Number and Algebra"

（Weixu Primary School， Taoyuan Town， Suining County， Xuzhou City， Jiangsu Province， China）YUAN Yuan

【Abstract】"Number and Algebra" is the key and difficult point of primary school stage mathematics learning， and it is also the focus of attention of teachers. In the teaching of "number and algebra"， teachers should start from the logical starting point of students' mathematical thinking development， based on interest， help students build modeling support; based on process， build mathematical model; based on application， internalize mathematical model into mathematical ability ， so as to achieve the knowledge and cognition of "number and algebra" and develop the ability of mathematical logic.

【Keywords】Number and algebra; Mathematical model; Construction; Primary school

一、基于數(shù)學(xué)問(wèn)題情境是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的基礎(chǔ)

小學(xué)學(xué)生處于形象思維向抽象思維的過(guò)渡時(shí)期，基于數(shù)學(xué)生活的問(wèn)題情境，特別是通過(guò)一些童話故事帶入的情境，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。如教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“小數(shù)的基本意義與性質(zhì)”的時(shí)候，通過(guò)一則童話故事來(lái)導(dǎo)入教學(xué)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在運(yùn)用故事導(dǎo)入的過(guò)程中，不是為了講故事而講故事，而是要讓故事內(nèi)容與學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容緊密地聯(lián)系起來(lái)，讓故事情境服務(wù)于教學(xué)情境。通過(guò)故事激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，勾連起學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，為數(shù)學(xué)建模提供幫助。此外，教師創(chuàng)設(shè)的故事內(nèi)容要短小，故事要精彩，要與學(xué)生的生活、心理、認(rèn)知聯(lián)系起來(lái)，不能在教學(xué)過(guò)程中占用太多的時(shí)間。教師還要具有一定的創(chuàng)編故事、講述故事能力，通過(guò)教師的“講”，能夠激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為數(shù)學(xué)模型建構(gòu)提供基礎(chǔ)。

二、經(jīng)歷“數(shù)與代數(shù)”抽象、運(yùn)算與建模的過(guò)程

學(xué)生在數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過(guò)程中，首先要經(jīng)歷思維的參與，只有產(chǎn)生思維活動(dòng)，才能從數(shù)學(xué)生活中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)關(guān)系，借助數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，最后才能達(dá)到建模的過(guò)程。其次，教師要基于學(xué)生生活提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，從學(xué)生能夠理解的數(shù)學(xué)生活出發(fā)開(kāi)展教學(xué)。最后，教師要引導(dǎo)在具體建模中完成對(duì)知識(shí)的再次回顧，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)支架的搭建。如在“正比例和反比例”的學(xué)習(xí)中，教師就可以設(shè)置這樣的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。

教師出示數(shù)學(xué)題：學(xué)校陽(yáng)光食堂100kg面粉可以做出125kg饅頭，照此計(jì)算，要做出200kg饅頭，需要多少千克的面粉？從題中，我們可以看出“面粉”與“饅頭”是兩個(gè)基本的量;二者之間的關(guān)系通過(guò)“出餅率”表現(xiàn)。這道題目是從學(xué)生司空見(jiàn)慣的日常生活中提取的，學(xué)生對(duì)于其中的關(guān)系能夠輕易理解。但是要想走向數(shù)學(xué)建模，就需要運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。在教學(xué)當(dāng)中，教師需要組織學(xué)生通過(guò)對(duì)題目當(dāng)中數(shù)量關(guān)系的觀察，對(duì)變化關(guān)系的概括，分析完成模型抽象，得到模型，這是學(xué)習(xí)的第一個(gè)環(huán)節(jié)。

在數(shù)量分析的基礎(chǔ)上，我們不難發(fā)現(xiàn)，需要把問(wèn)題聚焦在“出餅率”上。它直接關(guān)系著面粉與饅頭兩者數(shù)量之間的關(guān)系。由此可見(jiàn)，我們可以得到關(guān)系是饅頭量=面粉量×出餅率。這道題目并不是要得到這兩道題的準(zhǔn)確答案，而是讓學(xué)生建立起其中的數(shù)學(xué)思維。在本道題中，饅頭量=面粉量×出餅率。面粉與饅頭是變量，但它的“出餅率”固定的。因此，饅頭和面粉成正比例關(guān)系。如果通過(guò)列式計(jì)算，則為：125÷100=1.25;200÷1.25=160千克。當(dāng)然，這道題目并不是為了考察學(xué)生的運(yùn)算過(guò)程，而是讓學(xué)生經(jīng)歷思維的活動(dòng)過(guò)程，喚醒學(xué)生運(yùn)用比例知識(shí)解決問(wèn)題。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行具體的分析，得出如下結(jié)論：

本道題目中，面粉和饅頭是變量，但是“出餅率”是不變量。列方程的方式去解，則設(shè)：要做出200kg饅頭，需要x千克面粉。

饅頭量=面粉量×出餅率

125? ? 100? ? 一定

200? ? ? ？? ? 一定

因此，面粉和饅頭成正比例，通過(guò)列方程不難得出：

解：設(shè)要做出200千克的饅頭需要x千克的面粉。

125：100=200：x

在教學(xué)中，教師通過(guò)這種式讓學(xué)生思考，就是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)過(guò)程進(jìn)行思考。在第一次解題過(guò)程中，學(xué)生大多會(huì)基于兩種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行直接計(jì)算，其思維沒(méi)有經(jīng)過(guò)整合，缺少了模型建構(gòu)的過(guò)程;以上比例的方式則是讓學(xué)生通過(guò)思維的發(fā)生，重新建立了思維模型。在這道題目的學(xué)習(xí)過(guò)程中，第一次是通過(guò)數(shù)學(xué)的方式解決問(wèn)題;第二次是通過(guò)數(shù)學(xué)思維建模的方式解決問(wèn)題。我們不難發(fā)現(xiàn)第二個(gè)方法更好，因?yàn)楫?dāng)學(xué)生建立了這樣的數(shù)量關(guān)系后，對(duì)于其他的題目就能夠熟能生巧，舉一反三。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程是進(jìn)步的過(guò)程，在這種模型當(dāng)中，一是數(shù)量關(guān)系的變與不變，是內(nèi)容層面的;第二是方法層面的，即數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與運(yùn)用。

三、建構(gòu)模型支架，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)

建模的過(guò)程就是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。教師在教學(xué)中要時(shí)刻關(guān)注“數(shù)學(xué)化”的時(shí)間，找準(zhǔn)“數(shù)學(xué)化”的節(jié)點(diǎn)，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)，回到數(shù)學(xué)生活中完成知識(shí)的建模。如在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)中，在學(xué)生建構(gòu)起了用“字母”表示數(shù)的數(shù)學(xué)模型后，教師需要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“用字母表示數(shù)”背后隱藏的知識(shí)結(jié)構(gòu)，建立起符號(hào)思維，搭建起符號(hào)模型，讓學(xué)生的思維品質(zhì)得到發(fā)展。學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步具備了可以用字母表示任意一個(gè)數(shù)字的能力，在具體的學(xué)習(xí)運(yùn)用，教師需要抽絲剝繭，讓學(xué)生抵達(dá)知識(shí)的核心，建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型。

教師在研究完“x”在字母與數(shù)字之間的關(guān)系后，可繼續(xù)讓學(xué)生看一看教師的年齡如何表示，如果用“x”來(lái)表示，這里的“x”能不能“表示任意的數(shù)”，讓學(xué)生經(jīng)歷思維建構(gòu)的過(guò)程。通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，教師夢(mèng)將讓“字母表示數(shù)”的知識(shí)與學(xué)生的生活聯(lián)系起來(lái)。有的學(xué)生認(rèn)為這里的“x”大約能表示“25～35”之間的數(shù)字。教師順勢(shì)引出，“x”表示任意的數(shù)是“有范圍”的;接著出示家中的小狗，讓學(xué)生繼續(xù)猜小狗的年齡。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生建構(gòu)起“同一個(gè)問(wèn)題中，不能用相同的字母表示不同的量”的概念。接著教師出示小狗比自己小32歲，讓學(xué)生運(yùn)用算式來(lái)表示，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“x-32”，然后讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)其中的數(shù)量關(guān)系。“x-32”是運(yùn)算過(guò)程還是運(yùn)算結(jié)果。最后，教師繼續(xù)指出：“老師的年齡和小狗的年齡都會(huì)變化，如果繼續(xù)用數(shù)量關(guān)系表示，其中有變量與不變量。”教師可讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)其中的關(guān)系。經(jīng)過(guò)這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生在用“字母表示數(shù)”的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用的過(guò)程中就能夠聯(lián)系生活，聯(lián)系知識(shí)概念與方法，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化。

總之，數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)分布在教材的不同學(xué)段，包含著不同的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中，從教師角度，教師需要從“數(shù)”的角度去理解，從生活的角度去設(shè)計(jì)，從思維的角度構(gòu)建學(xué)習(xí)支架，幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)模型，在具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)中運(yùn)行數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移與內(nèi)化;從學(xué)生角度，學(xué)生需要在具體的情境中理解“數(shù)與代數(shù)”，在真實(shí)的思維活動(dòng)中獲得“數(shù)感”的發(fā)展，感受模型的不同表征。此外，“數(shù)與代數(shù)”還需要與學(xué)生的數(shù)學(xué)生活、現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合起來(lái)，需要與數(shù)學(xué)知識(shí)的整體建構(gòu)結(jié)合，需要與學(xué)習(xí)發(fā)展的整體脈絡(luò)結(jié)合。教師只有豐富問(wèn)題情景、強(qiáng)調(diào)教學(xué)多樣、學(xué)會(huì)把握數(shù)學(xué)關(guān)系、發(fā)展符號(hào)意識(shí)、探究數(shù)學(xué)規(guī)律，才能實(shí)現(xiàn)小學(xué)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]潘香君.小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的難點(diǎn)破解[J].江西教育，2016（16）.

[2]袁紅.嘗試數(shù)學(xué)建模 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力——從西方國(guó)家小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的一則案例談起[J].外國(guó)中小學(xué)教育，2009（05）.

[3]薛明.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型感悟模型思想[J].小學(xué)數(shù)學(xué)參考，2018（01）.

（責(zé)任編輯? 王小飛）