摸球模型的提煉與應用

劉愛民

一、引例

例1 一個不透明口袋中有紅球、藍球和黃球各1個，除顏色外無任何差別，袋旁分別放有1個紅色小筐和1個黃色小筐，現從口袋中隨機摸一個球放入任意一個小筐中，求小球放入同顏色小筐中的概率.

點評：本題具備以下特點：（1）摸小球和放入小筐是分兩步進行兩次隨機抽取;（2）兩次抽取分別都是等可能的;（3）每個小筐都匹配一只小球.故可稱為“摸球匹配”模型.

二、模型提煉

對于概率問題中復雜的匹配問題（鑰匙配鎖、帽子配人等），如果滿足下面三個條件，即（1）分兩步進行兩次隨機抽取，（2）每次抽取分別都是等可能的，（3）兩次抽取之間存在匹配關系，我們就可以將事件類比成“摸球匹配”模型.

三、 模型應用

例2 有兩把不同的鎖和四把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖，另外兩把鑰匙不能打開這兩把鎖. 隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是多少？

解析：該問題屬于“摸球匹配”模型. 可設兩把不同的鎖分別為A，B，能把兩把鎖打開的鑰匙分別為a，b，其余兩把鑰匙分別為c，d.由于是鎖匹配鑰匙，故可以將A鎖看成紅色小筐，與之匹配的a鑰匙看成紅色小球;則B鎖就可以看成黃色小筐，與之匹配的b鑰匙可以看成黃色小球;不匹配的兩把鑰匙c，d則可以分別看成藍色、綠色兩個小球.從而建立如下模型： 一個不透明口袋中有1個紅球、1個藍球、1個綠球和1個黃球，它們除顏色外無任何差別，袋旁分別放有1個紅色小筐和1個黃色小筐，現從口袋中隨機摸一個球放入任意一個小筐中，求小球放入同顏色小筐中的概率.

根據模型，畫出樹狀圖（如圖1）.其中上方紅、黃、藍、綠代表4個小球，下方紅、黃代表2個小筐，根據類比對應的關系，將上方分別依次換成a，b，c，d四把鑰匙，下方分別依次換成A，B兩把鎖，可得樹狀圖（如圖2）.

由樹狀圖可知，共有8種等可能的情況，其中打開鎖的結果有2種，故P（一次開鎖） = 0.25.

四、能力提升

一個屋子里有4個人，其中3人戴了帽子. 現將所有的帽子都放在屋子中央，隨機派一人去隨機拿一頂帽子，求此人拿回自己帽子的概率.

答案：0.25.

（作者單位：江蘇省興化市戴南顧莊學校）