數(shù)學(xué)思想助力求解三角函數(shù)

宋建林

在解決銳角三角函數(shù)的有關(guān)問題時，常常需要用到數(shù)學(xué)思想方法，下面舉例說明如何運用數(shù)學(xué)思想方法解決三角函數(shù)中的問題.

一、模型思想

例1（2021·四川·南充）如圖1，點E在正方形ABCD邊AD上，點F是線段AB上的動點（不與點A重合），DF交AC于點G，GH⊥AD于點H，AB=1，DE=[13]. 求tan ∠ACE.

分析：要求tan ∠ACE，而∠ACE又非特殊角，因此只能根據(jù)三角函數(shù)的定義來求解，為此必須要建立直角三角形模型：過點E作EM⊥AC于點M，求出EM和CM即可.

解：如圖1，過點E作EM⊥AC于點M，則∠AME=∠EMC=90°.∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形，DE=[13]，∴∠CAD=45°，AE=AD - DE=[23]，∴EM=AM=AE·sin 45°=[23×22=23]，∵AC=[2]AB = [2]，∴CM=AC - AM=[2-23=223]，∴tan ∠ACE=[EMCM=12].

點評：求一個銳角的三角函數(shù)值，有兩種情況：（1）當(dāng)這個角是特殊角時，可直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到答案;（2）當(dāng)這個角是非特殊角時，一般要構(gòu)造以這個角為內(nèi)角的直角三角形模型，然后運用三角函數(shù)的定義來求解.

二、轉(zhuǎn)化思想

例2（2021·浙江·紹興）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cos B = [14]，點D是邊BC的中點，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE = ∠B，連接CE，則[ECAD]的值為（ ）.

A. [32]? ? ? B. [3] ? C. [152]? ? ? D. 2

分析：如圖2，設(shè)DE交AC于T，過點E作EH⊥CD于H. 先證明EA=ED=EC，再證明∠B=∠ECD，利用等角的三角函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得結(jié)論.

解：如圖2，設(shè)DE交AC于T，過點E作EH⊥CD于H.

∵∠BAC=90°，BD=DC，∴AD=DB=DC，∴∠B=∠DAB.

∵∠B=∠ADE，∴∠DAB=∠ADE，∴AB[?]DE，∴∠DTC=∠BAC=90°.

∵DT[?]AB，BD=DC，∴AT=TC，∴EA=EC=ED，∴∠EDC=∠ECD.

∵EH⊥CD，∴CH=DH.∵DE[?]AB，∴∠EDC=∠B，∴∠ECD=∠B，∴cos ∠ECH=cos B=[14]，

∴[CHEC]=[14]，∴[ECAD=ECCD]=[EC2CH] = 2，故選D.

點評：這里要求的是[ECAD]，即[ECCD]，其夾角是∠ECD，而已知的是cos B = [14]，為此設(shè)法證明∠ECD = ∠B，進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問題的目的.

三、方程思想

例3（2021·四川·涼山）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識測量河對岸大樹AB的高度.他在點C處測得大樹頂端A的仰角為45°，再從C點出發(fā)沿斜坡走2[10]米到達(dá)斜坡上D點，在點D處測得樹頂端A的仰角為30°，已知斜坡CF的坡比為i = 1∶3. （點E，C，H在同一水平線上）

（1）求王剛同學(xué)從點C到點D的過程中上升的高度;

（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號）.

分析：（1）作DH⊥CE于H，在Rt△CDH中利用坡比找出DH與CH的關(guān)系，再利用勾股定理得到關(guān)于DH的方程，即可求出DH;（2）延長AD交CE于點G，解Rt△GDH，Rt△CDH，求出GH，CH，得到GC，再說明AB = BC，在△ABG中，利用正切函數(shù)的定義得到關(guān)于AB的方程，解方程求出AB即可.

解：（1）如圖3，過D作DH⊥CE于H，在Rt△CDH中，∵i = [DHCH=]1∶3，∴CH = 3DH.

∵CH2 + DH2 = CD2，∴（3DH）2 + DH2 = （[210]）2，解得DH = 2或-2（舍）.

即王剛同學(xué)從點C到點D的過程中上升的高度為2米.

（2）如圖3，延長AD交CE于點G，由題意得∠AGC = 30°，∴GH = [3]DH =[ 23].

∵CH = 3DH = 6，∴GC = GH + CH = [23] + 6.

在Rt△BAC中，∠ACB = 45°，∴AB = BC，

∴tan∠AGB = [ABBG=ABBC+CG=ABAB+23+6=33]，

解得AB = [6+43].

即大樹AB的高度為（[6+43]）米.

點評：掌握銳角三角函數(shù)的定義，仰角、俯角與坡度、坡角的概念，靈活運用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義構(gòu)造出方程是解題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學(xué)）