巧用概率做決策

劉元平

生活中，我們經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題：想買件衣服，商家在搞不同的促銷方案，怎么買才合算呢？要派出一位同學(xué)去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，現(xiàn)有兩個(gè)人選，派誰(shuí)去獲獎(jiǎng)的可能性更大呢？要作出選擇，可以大量收集和整理數(shù)據(jù)，但這需要耗費(fèi)大量的精力和時(shí)間. 怎樣才能簡(jiǎn)化選擇程序呢？我們不妨借助概率這個(gè)工具.

例1（2021·浙江·金華改編）某商城組織抽獎(jiǎng)活動(dòng)，共準(zhǔn)備了1 000張獎(jiǎng)券，且每張獎(jiǎng)券獲獎(jiǎng)的可能性相同，并規(guī)定每購(gòu)買商品1 000元，就能獲得一次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì). 設(shè)一等獎(jiǎng)10個(gè)，每張獎(jiǎng)券返現(xiàn)金1 000元;二等獎(jiǎng)20個(gè)，每張獎(jiǎng)券返現(xiàn)金100元;三等獎(jiǎng)80個(gè)，每張獎(jiǎng)券返現(xiàn)金10元. 如果顧客不愿意抽獎(jiǎng)，也可以直接返現(xiàn)金10元. 如果你在該商城購(gòu)物滿1 000元，你會(huì)選擇抽獎(jiǎng)還是直接返現(xiàn)金？請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：通過(guò)計(jì)算抽到一、二、三等獎(jiǎng)的概率來(lái)估算出獲得一、二、三等獎(jiǎng)的返還現(xiàn)金，再求和得到抽獎(jiǎng)一次獲得的平均返還現(xiàn)金，再與直接返還的現(xiàn)金比較大小，從而得出兩種方案中更合算的方案.

解：P（[抽中一等獎(jiǎng)]）[=101 000=1100]，

P（[抽中二等獎(jiǎng)]）[=201 000=150]，

P（[抽中三等獎(jiǎng)]）[=801 000=450]，

[抽獎(jiǎng)一次平均返現(xiàn)金=1100×1 000+150×100+450×10=12.8]（元）[ >10]（元）.

答：我會(huì)選擇抽獎(jiǎng)，因?yàn)槌楠?jiǎng)得到平均返還現(xiàn)金的數(shù)額大于10元.

點(diǎn)評(píng)：估算是解決問(wèn)題的第一步，概率計(jì)算是估算的基礎(chǔ)工具.

例2（2021·浙江·嘉興改編）讀了《田忌賽馬》的故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來(lái)分析：齊王與田忌外出游玩，兩人各自都有上、中、下三個(gè)等級(jí)的三匹馬，養(yǎng)馬人將各自馬匹隨機(jī)牽出，齊王不事稼穡，不辨馬性，總是選牽來(lái)的第一匹馬，而田忌則是先觀察馬的狀況后選馬：第一匹馬他都不選，而是觀察馬的狀況，如果第二匹馬比第一匹馬好，他就選第二匹馬，如果第二匹馬沒(méi)有第一匹馬好，他就選第三匹馬.如果是你，你會(huì)選擇誰(shuí)的方案來(lái)選出上等馬？為什么？

分析：首先通過(guò)列表或畫(huà)樹(shù)狀圖找出馬匹出場(chǎng)的所有等可能情況，然后再根據(jù)齊王和田忌各自的方案進(jìn)行選擇，最后比較各自選出上等馬的概率大小，即可得解.

解：畫(huà)樹(shù)狀圖表示所有等可能的結(jié)果（如圖1）：

P（[齊王選上等馬]）[=26=13]，P（[田忌選上等馬]）[=36=12].

答：我選擇田忌的方案來(lái)選上等馬，因?yàn)樘锛傻姆桨高x中上等馬的概率大.

點(diǎn)評(píng)：本題中齊王和田忌的選馬方案不一樣，這是變化的量，但兩人馬匹牽出的方式是一樣的，這是有共性的地方，是不變的量，因此解題的關(guān)鍵就在于從變化中找不變，從不變?nèi)胧?，將?fù)雜問(wèn)題線性化、層次化、簡(jiǎn)單化.

例3（2021·湖北·黃岡改編）2021年，黃岡、咸寧、孝感三市實(shí)行中考聯(lián)合命題，為確保聯(lián)合命題的公平性，決定采取三輪抽簽的方式來(lái)確定各市選派命題組長(zhǎng)的學(xué)科. 現(xiàn)確定了兩種方案. 方案一：第一輪，各市從語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三個(gè)學(xué)科中隨機(jī)抽取一科;第二輪，各市從物理、化學(xué)、歷史三個(gè)學(xué)科中隨機(jī)抽取一科;第三輪，各市從道德與法治、地理、生物三個(gè)學(xué)科中隨機(jī)抽取一科. 方案二：第一輪，各市從語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三個(gè)學(xué)科中隨機(jī)抽取一科;第二輪，各市從物理、化學(xué)、地理三個(gè)學(xué)科中隨機(jī)抽取一科;第三輪，各市從道德與法治、歷史、生物三個(gè)學(xué)科中隨機(jī)抽取一科.

（1）黃岡在第一輪抽到語(yǔ)文學(xué)科的概率是 ;

（2）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求黃岡在第二輪和第三輪抽簽中，選擇哪種方案抽到的學(xué)科恰好是歷史和地理的可能性大.

分析：第（2）小題要求抽到歷史和地理的概率，但方案一和方案二中第二輪和第三輪中備選學(xué)科都不一樣，因此應(yīng)分別計(jì)算概率，然后比較大小.

解：（1）黃岡在第一輪抽到語(yǔ)文學(xué)科的概率是[13].

（2）畫(huà)樹(shù)狀圖表示所有等可能的結(jié)果（如圖2）：

[方案一][第二輪][第三輪][開(kāi)始][物理][道法][生物][地理] [化學(xué)][道法][生物][地理] [歷史][道法][生物][地理] [方案二

][第二輪][第三輪][開(kāi)始][物理][道法][生物][歷史] [化學(xué)][道法][生物][歷史] [地理][道法][生物][歷史]

圖2

∴P（[方案一抽到歷史和地理]）[=19]，P（[方案二抽到歷史和地理]）[=19].

答：兩種方案抽到的學(xué)科恰好是歷史和地理的可能性一樣大，選擇任一方案均可.

點(diǎn)評(píng)：利用概率可以對(duì)相同事件在不同方案中發(fā)生的可能性進(jìn)行估算和預(yù)測(cè)，通過(guò)比較概率的大小可對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)選.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)橋頭初級(jí)中學(xué)）