牢記一個性質(zhì) 巧解疊加雙曲線

雷添淇

近年來，中考數(shù)學(xué)中涌現(xiàn)了一類將兩個反比例函數(shù)圖象“疊加”，使雙曲線成對出現(xiàn)，設(shè)置“雙動點”或“多點聯(lián)動”的問題，下面向同學(xué)們介紹此類題的解題思路.

引例 點[A]，B分別在兩個反比例函數(shù)[y=k1x]和[y=k2x]的圖象上，若點[A]，B所連線段與坐標軸平行，求證：線段AB與原點所構(gòu)成的三角形的面積等于[12k1-k2].

證明：已知點[A]，B分別在反比例函數(shù)[y=k1x]和[y=k2x]的圖象上.

如圖1，當AB[?]x軸時，延長[AB]交[y]軸于點[C]，因為[S△AOC=12k1]，[S△BOC=12k2]，所以[S△AOB=12k1-k2].

同理，如圖2，當AB[?]y軸時，或無論[k1?k2>0]與[k1?k2<0]時，結(jié)論均成立.

[x][x] [A][B][y = [k1x]][y = [k2x]][y][O][x] [y = [k1x]][y = [k2x]][y][A][B][O] [y = [k1x]][y = [k2x]][B][A][y][O]

圖2

熟練掌握該性質(zhì)可以幫助我們順利解決雙曲線疊加類問題，下面舉例介紹.

例1 如圖3，平行于[x]軸的直線與函數(shù)[y=k1x]（[k1>0]，[x>0]），[y=k2x]（[k2>0]，[x>0]）的圖象分別相交于[A]，[B]兩點，點[A]在點[B]的右側(cè)，[C]為[x]軸上的一個動點，若△[ABC]的面積為4，則[k1-k2=] .

解析：如圖3，連接[OA]，[OB]，設(shè)直線[AB]交[y]軸于[D]，作[AF⊥x]軸于[F]、[BE⊥x]軸于[E].

∵AB[?]x軸，點[C]、點[O]均在[x]軸上，即△ABC與△AOB同底等高，

∴[S△ABC=S△AOB=S△AOD-S△BOD=12（S矩形ADOF-S矩形BDOE）=12（k1-k2）=4]，

∴[k1-k2=8].

故填8.

點評：（1）本題可以作為前文性質(zhì)的拓展結(jié)論1：如圖4，當點C在與AB平行的坐標軸上時，有[S△ABC=S△AOB=12k1-k2].

（2）此外，可再加入一個動點D，進一步拓展，得到以下拓展結(jié)論2：如圖5，當點C，D在與AB平行的坐標軸上時，若[CD=AB]，則有[S?ABCD=2S△AOB=k1-k2].

[A][B][y = [k1x]][y = [k2x]][y][O][x] [C][圖4] [A][B][y = [k1x]][y = [k2x]][y][O][x] [C] [D][圖5]

例2 如圖6，已知反比例函數(shù)[y1=9x（x>0）]和[y2=5x（x>0）]，若點[P]在[y1=9x]的圖象上，[PE⊥x]軸于點[E]，交[y2=5x]的圖象于點[A]，[PD⊥y]軸于點[D]，交[y2=5x]的圖象于點[B]，則[S四邊形PAOB=]? ? ? ? ? .

解析：如圖6，連接OP，

則[S四邊形PAOB=S△POB+S△POA=12k1-k2+12k1-k2 =k1-k2=9-5=4].

故填4.

點評：（1）本題可以作為前文性質(zhì)的拓展結(jié)論3：如圖6，已知反比例函數(shù)[y1=k1x]（[k1>0]，[x>0]），[y2=k2x]（0 < [k2<k1]，[x>0]），若點[P]在[y1=k1x]的圖象上，[PE⊥x]軸于點[E]，交[y2=k2x]的圖象于點[A]，[PD⊥y]軸于點[D]，交[y2=k2x]的圖象于點[B]，則[S四邊形PAOB=k1-k2] .

（2）在本題中，還可以推導(dǎo)出如下結(jié)論：如圖6，已知反比例函數(shù)[y1=k1x]（[k1>0]，[x>0]），[y2=k2x]（[k2>0]，[x>0]），若點[P]在[y1=k1x]（[k1>0]，[x>0]）的圖象上，[PE⊥x]軸于點[E]，交[y2=k2x]（0 < [k2<k1]，[x>0]）的圖象于點[A]，[PD⊥y]軸于點[D]，交[y2=k2x]（[k2>0]，[x>0]）的圖象于點[B]，則[S△PAB=（k1-k2）22k1].

如圖7，若點[P]在[y2=k2x]（[k2>0]，[x>0]）的圖象上，[PE⊥x]軸于點[E]，交[y1=k1x]（[k1>k2>0]，[x>0]）的圖象于點[A]，[PD⊥y]軸于點[D]，交[y1=k1x]（[k1>0]，[x>0]）于點[B]，則[S△PAB=（k1-k2）22k2].

請同學(xué)們自己完成證明過程.