圓的常見考點展示

薛金鈺

圓是初中數學中最重要的內容之一，該部分知識大致可分為與圓有關的性質、直線與圓的位置關系及與圓有關的計算三部分，中考中一般以填空、選擇、計算和證明的形式出現，難度中等.現舉例介紹其常見考點，希望能對同學們有所幫助.

考點1：垂徑定理

例1（2021·四川·自貢）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，OE⊥AC于點E，若OE = 3，OB = 5，則CD的長度為（ ）.

A. 9.6? ? ? ? ? B. 4[5]? ? ? ? C. 5[3]? ? ? ? D. 10

分析：由垂徑定理可知AE = CE，由AO = BO，OE = 3，可求出BC和AC，再運用面積法求出CF，即可由垂徑定理得到CD的長度.

解：如圖1，連接BC. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB = 90°. ∵OE⊥AC，∴AE = EC.∵AO = BO，∴BC = 2OE = 6.∵AB = 2OB = 10，∴AC = 8. ∵CD⊥AB，∴CD = 2CF. ∵S△ABC = [12]AC × BC = [12]AB × CF，即6 × 8 = 10CF，∴CF = 4.8，∴CD = 9.6，故選A.

點評：這里兩次運用了垂徑定理，給解題帶來了便利.面積法是解題的有力武器，利用兩次算同一個圖形的面積得到等量關系，更是一個很有用的解題策略，同學們要學會靈活應用.

考點2：弧、弦、圓心角的關系以及圓周角定理

例2（2021·江蘇·連云港）如圖2，OA，OB是⊙O的半徑，點C在⊙O上，∠AOB = 30°，∠OBC = 40°，則∠OAC = .

分析：如圖2，延長AO，BO交⊙O于點D，E，連接OC，CD. 從弧、弦、圓心角的關系來考慮：由∠AOB = 30°可得弧DE的度數為30°.由∠OBC = 40°，可得弧CE的度數為80°，進而得到弧CD的度數為50°， 即可得到∠OAC的度數.從圓周角定理來考慮：由∠AOB = 30°，∠OBC = 40°，可得∠BOC = 100°，∠COD = 50°，進而得到∠OAC的度數. 從圓內接四邊形的性質來考慮：連接AB，由∠AOB = 30°，∠OBC = 40°，可得到∠ABC = 115°，∠CDA = 75°，進而得到∠OAC的度數.

解：如圖2，延長AO，BO交⊙O于點D，E，連接OC，CD，可得∠OAC = 25°.

點評：本題的解法還有很多，通過不同的解法可以系統復習圓的概念及其基本性質，同學們不妨試一試，并從中選擇出最簡便的方法，與同伴交流.

考點3：直線與圓的位置關系

例3（2021·浙江·嘉興）平面內有⊙O和點A，B，若⊙O的半徑為2 cm，線段OA = 3 cm，OB = 2 cm，則直線AB與⊙O的位置關系為（ ）.

A. 相離? ? ? B. 相交? ? ? C. 相切? ? ? D. 相交或相切

分析：由⊙O的半徑為2 cm和OB = 2 cm，可知直線AB與⊙O至少有一個公共點，因此它們之間的位置關系為相交或相切.

解：選D.

點評：本題雖然是直線與圓的位置關系（形）的判定，卻是通過比較點A，B與圓心O的距離（數）的大小來做出判定的. 注意不要忽視相交的情況.

考點4：圓的切線的判定

例4（2021·四川·遂寧）如圖3，⊙O的半徑為1，點A是⊙O的直徑BD延長線上的一點，C為⊙O上的一點，AD = CD，∠A = 30°.

求證：直線AC是⊙O的切線.

分析：因點C在⊙O上，連接CO，只要證明∠ACO = 90°即可.

證明：連接OC. ∵AD = CD ，∠A = 30°，∴∠ACD = 30°，∴∠CDB = 60°. ∵OD = OC，∴∠OCD = ∠ODC = 60°，∴∠ACO = ∠ACD + ∠OCD = 90°. ∵OC是半徑，∴直線AC是⊙O的切線.

點評：證明直線是圓的切線時，若已知直線與圓有公共點，通常連接過這點的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，簡述為：連半徑，證垂直;若未知直線與圓的交點，通常過圓心作直線的垂線段，證明這條垂線段的長等于圓的半徑，簡述為：作垂線，證相等.

考點5：切線的性質與弧長的計算

例5（2021·浙江·麗水）如圖4，在△ABC中，AC = BC，以BC為直徑的半圓O交AB于點D，過點D作半圓的切線，交AC于點E.

（1）求證：∠ACB = 2∠ADE;

（2）若DE = 3，AE = [3]，求[CD]的長.

分析：（1）由BC為直徑，AC = BC，可知∠ACB = 2∠OCD，因此只要證明∠ADE = ∠OCD即可;（2）由已知條件證明△ABC是等邊三角形，求出圓的半徑和∠COD的度數即可.

解：（1）連接OD，CD.∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE = 90°，∴∠ODC + ∠CDE = 90°.

∵BC是直徑，∴∠BDC = 90°，∴∠ADC = 90°，∴∠ADE + ∠CDE = 90°，∴∠ADE = ∠ODC.

∵OD = OC，∴∠ODC = ∠OCD，∵AC = BC，∴∠ACB = 2∠OCD，∴∠ACB = 2∠ADE.

（2）由（1）可知，∠AED = 90°.∵DE = 3，AE = [3]，∴AD = 2[3]，∴∠A = 60°，∴△ABC是等邊三角形，∠B = 60°，∴∠COD = 120°，OC = 2[3]，∴[CD] = [120π×23180] = [43π3].

點評：已知切線，過切點連半徑得垂直是常用的輔助線.利用弧長公式求弧長，關鍵是求出弧所在圓的半徑和弧所對的圓心角.

（作者單位：江蘇省興化市戴南鎮顧莊學校）