非完整約束移動機器人自適應軌跡跟蹤控制設計

陳素霞，黃全振，高繼勛

（1.河南工程學院計算機學院，河南 鄭州 451191; 2.河南工程學院電氣信息工程學院，河南 鄭州 451191）

0 引 言

輪式機器人具有輕巧、靈活、載重大等特性，目前已成為國內外學者的研究熱點，并被廣泛應用于多個領域[1-2]。因其非完整約束、非線性等特點，輪式機器人的軌跡跟蹤有很多亟待解決的問題。

軌跡跟蹤作為輪式機器人實際應用的基本問題，Kanayama等[3]利用Lyapunov第二方法，基于移動機器人運動學模型，設計軌跡跟蹤控制器。吳衛國等[4]在此基礎上引入虛擬變量，設計全局漸進穩定控制器。程林俊等[5]在文獻[4]的研究基礎上，通過滑模控制與backstepping的結合，設計了滑模軌跡跟蹤控制器。考慮到移動機器人質心與驅動輪軸線中心重合的問題[6]，孫忠廷等[7]在文獻[5]的基礎上引入自適應控制的方法，設計了質心與驅動輪軸線參數不確定的自適應軌跡跟蹤控制器。宋立業等[8]利用自適應神經網絡，設計了自適應神經滑模軌跡跟蹤控制器。顧萬里等[9]在建立系統誤差模型的基礎上，引入虛擬中間控制輸入，設計自適應控制器。

以上研究在設計控制器時通常將車輪半徑、車身寬度假定為已知，沒有考慮到在實際應用中，由于長時間使用、形變、環境、測量誤差以及移動機器人本身負載變化等因素的影響，往往無法通過測量得到車輪半徑和車身寬度的準確值，進而影響移動機器人軌跡跟蹤控制的精度。研究人員通過將輪胎半徑等不確定參數引入到運動學模型，并且根據自適應控制器在線估計參數。文獻[10]利用自適應模糊滑模控制方法，設計軌跡跟蹤控制器。孫棣華等[11]通過利用backstepping方法，根據Lyapunov函數設計了狀態反饋的自適應控制器。在運動學模型的基礎上研究自適應軌跡跟蹤，對移動機器人控制的工程應用和學術研究具有重要意義[12]。

本文以兩輪差速移動機器人的運動軌跡為研究對象，使用傳統運動學模型無法保證系統的穩定性，在此基礎上通過引入自適應參數，給出一種自適應控制算法，使機器人系統在運動過程中根據運動狀態自動調節參數，保證跟蹤誤差的漸進收斂和系統的穩定，抑制不確定參數對系統控制精度的影響。

1 問題描述及模型建立

1.1 問題描述

本文以兩輪差速移動機器人為研究對象，由兩個獨立驅動的后輪控制，輸入為線速度v、角速度ω。可通過控制輸入，改變移動機器人位姿。

圖1 兩輪差速移動機器人模型

假設移動機器人運動時只有滾動、無滑動現象，則滿足3個約束條件，且線速度方向始終在移動機器人中軸線上。約束條件如下式所示[13]：

約束條件可表示為：

因此，非完整約束機器人運動學模型可表述為：

1.2 自適應控制運動學模型

當以V作為控制輸入，構建運動學自適應軌跡：

其中v1、v2分別為移動機器人左輪和右輪的角速度。

若僅考慮x、y、φ，忽略θl、θr，則v1、v2與移動機器人線速度v、角速度ω的關系可表示為：

將式（8）代入式（7），得到移動機器人運動學模型的一般形式：

2 控制器設計及穩定性分析

由式（9）可知，移動機器人模型共有x、y兩個自由度，其輸出為3個變量，即該運動學模型為欠驅動系統。

取理想運動為參考機器人運動軌跡，通過對實際機器人線速度v、角速度ω的設計，完成對參考機器人的軌跡跟蹤。

參考機器人運動學模型可表示為：

式中：xr、yr、φr——參考機器人位姿；

vr、ωr——參考機器人控制輸入，且vr>0。

參考機器人Rr與實際機器人R位姿示意圖如圖2所示。

圖2 參考機器人與實際機器人位姿示意圖

其中e為不同位姿狀態下，參考機器人Rr與實際機器人R的誤差。當實際機器人控制輸入線速度vf、角速度ωf如式（12）所示時[13]，可使誤差在一定時間內趨于0：

K1、K2、K3為正數。對誤差向量求導數：

根據移動機器人相對位姿誤差，定義Lyapunov函數V0[13]：

對V0求導可得到：

假定式（8）中r和b為未知數，則無法結合式（7）、式（8）、式（9）證明當輸入v、ω為式（12）時，可使e1、e2、e3趨于0。

因此，設計自適應控制器通過估計參數r和b，得到控制對象。

通過v1、v2，式（13）可表示為：

定義：

則v1、v2與vf、ωf可表示為：

因此，式（16）可表示為：

定義Lyapunov函數V1：

對V1求導可得到：

即當式（22）成立時，該自適應控制器穩定。

選擇機器人運動學模型式（7）的控制輸入為式（18），其約束條件為式（22），自適應控制器處于穩定收斂狀態，在一定時間內可使誤差趨于0。

3 系統仿真分析

該系統采用雙輪差速移動機器人為研究對象，使用計算機仿真軟件Matlab對自適應軌跡跟蹤控制器的運動學模型進行驗證分析。

由圖3和圖4可知，在未引入自適應參數時，實際機器人能夠完成對參考機器人運動軌跡的跟蹤，但是存在的跟蹤誤差為10 cm左右。

圖3 未引入自適應參數的運動軌跡

圖4 未引入自適應參數的位置誤差曲線

圖5 引入自適應參數的運動軌跡

由圖5和圖6可知，引入自適應參數后，當參考機器人以設定速度運動時，跟隨機器人可在一定時間內完成對參考機器人軌跡跟蹤；并且，圖6中位置誤差較圖4有明顯減小。跟蹤誤差曲線如圖7所示，e1、e2、e3由式（11）可得。速度曲線如圖8所示，由圖可知，實際機器人速度在t=50 s時，趨于參考機器人速度0.8 m/s。自適應參數曲線如圖9所示。

圖6 引入自適應參數的位置誤差曲線

圖7 跟蹤誤差曲線

圖8 參考機器人與實際機器人速度曲線

圖9 估計參數曲線

由仿真結果可知，在參數不確定的情況下，自適應參數會隨著機器人姿態誤差動態調整，補償系統因參數不準確產生的誤差，并在控制器的作用下，完成對目標軌跡的跟蹤。

4 結束語

本文針對含有未知參數動態模型的移動機器人軌跡跟蹤，提出了一種自適應軌跡跟蹤控制器的設計方法。以兩輪差速移動機器人為研究對象，在移動機器人運動學誤差模型的基礎上，利用backstepping方法，基于Lyapunov函數設計了自適應控制器，并通過仿真實驗進行對比驗證。在仿真實驗過程中，通過將無自適應參數與引入自適應參數的模型和仿真實驗結果做對比，驗證了該控制方法在參數不確定情況下，能夠完成對參考軌跡的精確跟蹤，表明該設計方法穩定、可行，可為后續研究提供一定的參考與借鑒。