高中生數學問題解決過程中的情緒因素

付婉迪，尹弘飚

高中生數學問題解決過程中的情緒因素

付婉迪，尹弘飚

（香港中文大學 教育學院，香港 999077）

將數學解題的認知過程和情緒過程相結合，利用波利亞四階段理論劃分認知過程，聚焦于解題過程中的情緒因素．研究結果表明，在理解階段，常規題使學生產生積極情緒（如喜悅），非常規題產生消極情緒（如焦慮）；在計劃階段，適當的焦慮促進數學問題解決，能否完成解題取決于認知和元認知；在執行階段，消極情緒喚醒學生轉變解題階段，由執行階段轉到計劃階段或者理解階段，最后尋求解題策略的轉變，轉向低層次認知策略；回顧階段使學生產生積極情緒，促進相似數學問題解決，有意義的回顧階段需要學生具備必要的知識、技能、元認知等特質．

情緒因素；數學問題解決；高中生

1 問題提出

伴隨著全球化的推進，中國為了加強在國際上的競爭力，過去30年來的教育改革一直致力于提高學生的學習成果[1]．2014年以來，以“核心素養”為主題詞的全球教育改革趨勢如火如荼[2]．2016年9月，《中國學生發展核心素養》提出“三個方面、六大要素、十八個基本點”的核心素養框架[3]，隨之開始了在“核心素養”指導下的教育事業發展[4]．其中，問題解決能力成為高頻出現的核心素養關鍵詞[2]以及數學素養發展的焦點[5]．

大部分數學問題解決研究都是從波利亞理論出發，在認知理論的框架下進行，很少關注其中的情緒問題，同時缺乏合適的理論視角[6]．McLeod給出了數學問題解決過程中情感因素的理論框架，將情感分為信念、態度和情緒．其中情緒反應最強烈、最容易改變，受意識、思維的控制也最少．相對于情緒而言，信念和態度更為穩定和根深蒂固．情緒的重復反應可能會形成穩定的態度和信念．與情緒不同，信念不是對特定情況的快速反應．信念的形成受社會文化環境、個人經驗等的影響，而態度則較多受環境狀況的限制．信念、態度和情緒都可以是積極的，也可以是消極的[7]．數學焦慮、自我效能感、成敗歸因、數學動機等都屬于情感領域范疇．

接著，學者們相繼給出了關于情感概念的解釋，也有越來越多的研究將認知和情感相結合，對數學解題過程中的情感因素進行探討．Goldin將認知表征系統和情感表征系統相結合，給出了數學問題解決過程中的情感路徑[8]．Op’t Eynde和Hannula進行了個案研究，展示了學生在數學解題過程中的情緒波動圖[9]．Tornare、Czajkowski和Pons在量化研究的基礎上給出6種情緒在數學問題解決過程中的變化，強調元認知體驗是所有情緒的重要預測因子[10]．Muis等研究發現，控制和價值是學生認知和情緒的重要前因變量，認知和活動情緒能夠預測學生自我調節學習過程中所采用的認知加工策略類型，這些策略與問題解決績效成正相關[11]．Honicke和Broadbent指出，自我效能感、學業表現、認知和動機變量之間的相互作用受到中間調節因素（努力調節、成就目標、深層次認知加工策略）的作用[12]．Ramirez及其同事的研究表明：數學焦慮和數學成績之間呈負相關，高水平認知能力的學生處于數學焦慮狀態時，會避免使用高階問題解決策略，造成學業表現差于低水平的同伴[13]．Efklides認為，情緒在自我調節學習過程中與認知、元認知相互作用，認知情緒取決于認知狀態，并與元認知體驗密切相關[14]．

中國學者對數學學習中的情感因素也進行了不少研究．林煒和尹弘飚指出：積極的數學情感有助于降低認知負荷，減輕數學焦慮，實現數學情感與數學認知的整合[15]．熊俊梅等人對464名高中二年級學生的問卷調查表明：數學成績與消極情緒呈顯著負相關，與元認知學習策略、數學自我概念、積極情緒呈顯著正相關；積極情緒與認知、元認知策略呈顯著正相關，消極情緒則相反；情緒、學習策略、自我概念和環境因素可顯著預測數學學業成就[16]．陳京軍等通過問卷調查了370名初中生，發現數學學業情緒存在顯著的年級差異（除消極高喚醒情緒外）和性別差異（除積極高喚醒情緒外）；數學學業成就通過個體對學業的主觀評價（即數學學業能力自我概念）這一中介，顯著影響著初中生的數學學業情緒[17]．徐速和魏秋羽調查了高中生的數學厭倦情緒，并通過訪談分析其所處的課堂環境，其結果表明：高中生數學厭倦情緒與數學學業成就呈顯著相關，而影響高中生數學厭倦情緒的課堂環境變量有知識挑戰性、教學風格、課堂氛圍[18]．王宏和張守臣依據中國學生的特征修訂了葡萄牙的小學數學學業情緒問卷．他們發現，小學生的數學情緒體驗具有情境性．在課堂情境和測驗情境中，消極數學學業情緒和積極數學學業情緒內部呈非常顯著正相關，但這兩種類型的數學學業情緒之間則存在顯著的負相關（除放松學業情緒）；在測驗情境中，愉悅與放松顯著不相關，驕傲與放松顯著相關，此外放松與各消極數學學業情緒正相關[19]．蔣舒陽等人調查了1?064名高中生，發現高中生數學能力實體觀對數學學習投入具有顯著影響．在這種關系中，學業自我效能感和厭倦發揮著顯著的中介效應[20]．

已有關于數學學習情緒因素的研究大多采用量化的問卷調查法，聚焦在“數學學業情緒”問卷編制及其與數學學習成果、數學學業影響因子之間關系的探討上，極少有通過質性研究方法，對具體解難情境中情緒因素的作用進行的深入、微觀的分析．研究者擬在上述方面做出突破．具體來說，將回答以下3個問題：（1）高中生在數學問題解決過程中的情緒體驗是怎樣的？（2）情緒在數學問題解決過程中起到什么樣的作用？（3）在數學問題解決過程中，情緒產生作用的原因是什么？相關發現有助于分析數學問題解決能力這一核心素養的內涵和特征，理解高中生數學解難行為，并為改進教師的數學教學和學生的數學學習提供理論依據．

2 理論基礎

數學問題解決的過程既是認知過程，也是情緒過程，而情緒受個體認知評價的顯著影響．研究者旨在聚焦數學解題的情緒因素．研究的理論框架（見圖1）將認知過程和情緒過程相結合，以坐標軸的形式呈現：橫坐標表示認知過程，以時間為計算單位，按照波利亞解題4個階段進行劃分；縱坐標則表示情緒過程，縱坐標的正方向表示積極情緒，負方向則表示消極情緒．

圖1 理論框架

從認知理論出發，選擇波利亞解題“四階段理論”[21]來分析認知過程，將解題過程分為理解題目、擬定方案、執行方案和回顧4個階段．早期的數學解題研究多在波利亞的認知框架下進行，后來關于自我調節學習過程、元認知過程的相關研究，也與波利亞數學解題四階段理論相差甚小．

就情緒分析而言，Op’t Eynde和Hannula對被試學生情緒變化的圖示分析雖然清晰明了，但問題在于情緒是一種瞬間的、變化性的情感狀態[9]，難以量化．參考Johnstone、van Reekem和Scherer[22]的研究，通過觀察、聆聽和記錄被試學生語言、聲音和表情的狀態、變化及其持續時間，通過“情緒柱”的方式呈現被試學生在數學解題過程中的情緒體驗（詳情見3.5）．

在分析相關文獻的基礎上，歸納整理了數學解題過程中情緒的影響因素，包括數學動機、成就目標、成敗歸因、自我效能感[12，17，20]、數學焦慮[13]和元認知[10，14，16]，并將從以上影響因素的角度，探討情緒對各個解題階段產生相應作用的原因．

3 研究設計

3.1 研究方法

采用質性為主的混合研究設計，主要運用觀察法和訪談法，輔以問卷調查，選樣時則遵循目的性抽樣原則[23]．作為一項質性為主的小規模研究，旨在對參與者的解題過程進行深入、細致、整全的解釋性詮釋，而不是在量化研究的意義上進行推廣[24]．相關發現和結論可以為后續大規模量化研究的設計與實施提供啟示．

3.2 研究對象

研究者挑選了6位上海往屆高考生作為研究樣本，突顯參與者的典型性和差異性．往屆高考生經歷過高強度、系統性的數學知識復習，也參加過激烈的高考，數學認知能力穩定固化，數學情緒體驗豐富飽滿；另一方面，與應屆的高三學生相比，他們的自由時間更多，更愿意配合研究．此外，這6位參與者來自于研究者曾經課外輔導過1～3年的學生，尋求課外輔導的學生往往遇到過自己無法克服的學習障礙，數學情緒體驗復雜深刻．

研究者將參與學生的高考學業成績，及其所在學校的類別進行了差異化設定，以此來盡可能覆蓋研究現象中的不同情況．6位參與學生的基本情況如下：90分段以下的學生1位，來自區重點高中；90～110分段的學生2位，分別來自市重點高中和普通高中；110～120分段的學生2位，都來自市重點高中；120以上分段的學生1位，來自市重點高中．

3.3 研究工具

3.3.1 解題動機問卷

動機問卷（on-line motivation questionnaire）[25-27]是個體對特定任務的評價，比如能力、吸引力、學習意向和情緒狀態，這與傳統的成就動機將情境定向排斥在外相區別，能夠獲取個體在實際操作過程中的判斷．問卷共7個項目，問題解決者需要從7個維度判斷描述評估過程的結果：（1）覺得自己多能勝任這項任務；（2）這項任務的學習相關性如何；（3）對成功的預期程度；（4）認為教師對該任務相關性的評價；（5）對其他同學成功解題的預期程度；（6）認為任務是否具有吸引力；（7）認為任務的難度．問卷計分利用李克特5點量表賦值，選項分為“非常同意”“同意”“不一定”“不同意”和“非常不同意”，依次記5～1分．

3.3.2 測試問題

數學測試題共4道，是從上海高三數學第一次模考和高考真題試卷中挑選出來的．前3道是排列組合的常規題，排列組合的公式應用靈活，知識點與問題解決聯系緊密[28]，這3道題的考點相關聯，難易程度依次遞增．第四道是數列新定義的探究題型，需要學生的高階思維，是非常規題型．

4道測試題：（1）現有6位同學排成一排照相，其中甲、乙二人相鄰的排法有；（2）為強化安全意識，某商場擬在未來的連續10天中隨機選擇3天進行緊急疏散演練，則選擇的3天恰好為連續3天的概率是；（3）將序號分別為1、2、3、4、5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數是；（4）在由正整數構成的無窮數列{a}中，對任意的?N*都有a≤+1，且對任意的?N*，數列{a}中恰有個，則2016=．

3.4 研究程序

數學題測試過程如下：學生瀏覽數學測試題并填寫解題動機問卷，緊接著開始解題，學生被要求出聲思維（think aloud），研究者對整個過程進行錄音，并觀察參與學生的表情、聲音、語言和情緒及其變化．解題完畢，研究者對參與學生進行訪談，圍繞參與者在做題停頓、情緒波動時的想法和感受及其填寫的問卷情況進行．

3.5 數據分析程序

如前所述，情緒是一種瞬間的、變化性的情感狀態，很難進行測量和判斷．為了解決這個問題，研究者將通過參與學生的語言、聲音和表情對其解題過程中的情緒狀態進行解釋．聲音模式（如停頓、語調、語言信息等）可以表達特定的情緒，是觀察情緒過程的指標[22]．同時，面部表情、身體動作也是情緒過程的可觀察指標[29]．

研究者使用情緒柱呈現學生解難過程中綜合的情緒反應，因為它能夠直觀地展示學生解難過程中那些外顯、可察覺的情緒變化．以學生5在題4計劃階段中的情緒表現為例（見圖2），該生先雙手摸頭、揉頭發，眉頭緊皺、語氣低沉地說出“好煩啊！”這很明顯地表現出他此刻的焦慮情緒，但該生的語氣較弱、語調下壓，由此判斷該生的焦慮情緒并不強烈，故圖中的情緒柱略短．緊接著，他的表情有所舒緩，且根據研究者記錄的時間表明延續時間較短，從而確定了情緒柱的寬度．此外，研究者會依據情緒本身的屬性（積極或消極），確定情緒柱在正、負兩個區域的位置．為了最大程度地保證情緒觀察的客觀性，兩位作者分別判斷，對比討論后取得共識．

圖2 數學情感的理解階段和計劃階段

4 研究結果與分析

4.1 數學解題理解階段情緒因素

在數學問題解決的理解階段，常規題讓參與學生產生積極情緒，然而在接下來的解題過程中依舊會體驗到消極情緒（如焦慮等），但理解階段的積極情緒通常預示著參與學生能夠完成解題過程．學生2、學生4都在常規題1的理解階段出現積極情緒，并完成解題過程得到正確答案．在此階段，非常規題使參與學生產生消極情緒，然而消極情緒對參與學生能否完成解題沒有必然影響．圖2顯示，學生1、學生5在非常規題4的理解階段都產生了焦慮情緒，解題結果卻截然不同，因此表現出的情緒過程也大相徑庭．

在理解階段，參與學生的情感（如情緒等）受常規題和非常規題的影響，這是因為常規題的知識點和解題方法是學生熟知的．即使對常規題沒有很好的理解，也能夠機械地完成解題，然而非常規題需要高階思維等深層次的認知策略，會出現無法完成解題過程的情況．在高考的大環境下，參與學生都是以成績目標、掌握回避目標為導向，常規題使他們產生能夠完成、可以得分的積極情感體驗，增強自我效能感，非常規題則相反．此外，數學問題解決的情緒過程還受很多因素的影響．例如，學生1和學生5都產生了焦慮情緒，然而解決非常規題4的結果卻不一樣．這也體現了數學問題解決過程中情緒因素的復雜性．

4.2 數學解題計劃階段的情緒因素

在計劃階段，高強度的焦慮可能會導致參與者放棄解題，然而，低強度的適度焦慮促進問題解決．根據圖2，學生1、學生5的焦慮情緒在題4的理解階段出現，在計劃階段增強，學生1在產生高強度焦慮后，沒有解題認知思路而放棄；相反，學生5則在低強度焦慮狀態下繼續思考．這是因為焦慮情緒破壞認知記憶能力，認知超負荷會造成解題困難[30]，所以學生1和學生5都在計劃階段遇到解題障礙．然而，認知能力同時可以調節壓力以及壓力事件[31]，學生5的深層次認知能力優于學生1，所以該學生控制和管理壓力及情緒的能力也優于學生1，在此題的理解、計劃階段花費的時間更長，接近學生1的3倍，最后得到正解．

4.3 數學解題執行階段的情緒因素

在數學解題的執行階段，消極情緒（如焦慮等）不會使參與者立刻放棄解題，相反，參與者會繼續嘗試，轉變解題階段．根據圖3，解題階段的轉變是從首次執行階段嘗試的失敗開始，可能的情況是：（1）轉變到計劃階段，緊接著再到執行階段，如果沒有得到正解，會在兩個階段之間轉換，如果想出解題思路，則會完成解題；（2）由執行階段轉變到理解階段，接著繼續完成解題過程．

高考影響下的參與學生以成績目標為導向，有很強的外部動機．同時，參與學生將學業成績既歸因于努力，又歸因于能力，在遇到困難時，愿意付出努力[32]，愿意不斷嘗試解題階段的轉變，以求正解．此外，學生堅持解題的意愿也有可能來自于內部動機，比如興趣、挑戰等．毋庸置疑，此處結論在一定程度上揭示了共性的現象．

如果多次數學解題階段轉變失敗，個體的焦慮情緒會到達峰值（見圖2情感柱），并尋求解題策略的轉變，轉向更低層次的認知策略（如數數等）或低頻率的解題方法，消極情緒開始緩解．圖3中，學生5解決題4表明，如果焦慮情緒出現在執行計算的過程中，個體則會轉變計算策略．這是因為高水平數學焦慮狀態的出現，會使問題解決者避免使用高階問題解決策略[13]．此外，相比于解題階段的轉變，解題策略的轉變能更好地緩解個體的消極情緒．

在經歷過解題階段或策略的轉變后，如果個體仍無解題思路而選擇放棄，放棄前會產生高水平的焦慮情緒，放棄后焦慮情緒會持續并減弱．

此外，一道題被視為常規題或非常規題是因人而異的．與學生2解題2相比，學生3做較簡單的題1，所用時間更多、情緒體驗更復雜，顯然常規題和非常規題與個體對題型的掌握、熟悉程度密切相關．

圖3 數學情感的執行階段

4.4 數學解題回顧階段的情緒因素

參與研究的學生往往不會進入問題解決的回顧階段，然而一旦進入此階段，會體驗到積極情緒，這種情緒會促進相似數學問題的解決，獲得認知層面的進步．

如圖4，學生4解決問題2時，因遺忘公式而在計劃和執行階段情緒焦慮，而后憶起公式，完成解題過程，收獲積極情緒．接著，該生進入回顧階段，思考前3個階段的數據和決策，吸收解題路徑[33]，表現喜悅．完成題2能為解決題3做準備，在題2回顧階段的助力下，該生在題3的理解階段便對題2和題3的聯系和區別進行了分析，并在后續的解題階段中很順利地得到正確答案．解題動機問卷顯示，與解答題2相比，學生4表現出更強烈的自信和動機能夠成功地完成題3．然而，題3比題2的難度要大，考點和解題步驟要多．由此可見，問題解決過程中的回顧階段不僅能夠使參與者獲得積極情緒，也能夠增強參與者的認知．

回顧階段的進入需要學生具備必要的知識、技能、認知能力等特質．圖3表明，學生2在解決題2時，隨著情緒體驗逐漸趨向消極，重復了計劃和執行的解題階段，最后轉變解題策略，得到正確答案，體驗到積極情緒，接著開始解決題3，并沒有進入題2的回顧階段．在題3的理解階段，學生2沒有發現題2和題3之間的異同．解題動機問卷顯示，該學生對題2和題3的動機情感沒有發生任何的變化．在接下來的解題中，學生2持續了高強度的焦慮情緒，多次嘗試后無果，最終放棄了解決題3．

圖4 數學情感的回顧階段

與學生4不同，學生2在完成題2是采用低層次的認知策略（如畫圖等），他的知識掌握程度、解題技巧低于學業表現，沒有意識和能力使用深層次認知策略[34]，在這種情況下，期望學生2能夠進入解題回顧階段是不可能的．學生2受“大魚小塘效應”[35]的影響，自我效能感很高，然而缺乏必要的知識和技能，使其學業表現受到影響[36]．學生4有著高強度的數學焦慮、考試焦慮，進入回顧階段也是該學生減輕消極情緒的途徑．研究如實描述學生2和學生4在回顧階段的情緒過程及其解題狀況，揭示情緒過程中的某些影響因素（如認知能力等）起作用的復雜性，為大規模量化研究提供啟示．

5 討論與結論

研究者將數學問題解決的認知過程和情緒過程相結合，聚焦于高中生解題過程中的情緒因素．研究結果表明：參與者在數學問題解決過程中有著復雜的情緒體驗；包括情緒、動機、歸因及效能感等在內的情感因素在參與者解題過程中扮演著重要作用，對數學問題解決具有預測性[16，20，37]．

在數學解題理解階段，常規題使參與學生產生積極情緒（如喜悅），非常規題產生消極情緒（如焦慮）．高考學生是成績目標導向、掌握回避目標導向的，常規題比非常規題更易完成，知識挑戰性較小，更易獲得自我效能感，這與徐速和魏秋羽的研究結果一致[18]．然而，數學問題解決中的情緒過程具有復雜性，且數學解題理解階段的積極或消極情緒與參與者能否最后完成解題沒有必然的聯系．此處結論在一定程度上揭示了共性的現象．

在數學解題計劃階段，高強度的焦慮使參與學生放棄解題，這與McMillian關于高強度焦慮因破壞認知而造成個體放棄解題的研究結論相一致[30]．不過，適度的焦慮促進數學問題的解決．參與者的認知能力、認知策略、情緒控制和管理等都能夠調節焦慮情緒，從而作用于認知，問題最終能否解決取決于認知和元認知．

數學解題的執行階段，消極情緒（如焦慮等）使參與學生轉變解題階段，可能是由執行階段轉變到計劃階段，并在兩個階段之間轉換，也可能由執行階段轉變到理解階段．高考影響下的被試學生以成績目標為導向，有很強的外部動機，同時將學業成績歸因于努力和能力，在解題受挫的情況下能夠繼續堅持，多次嘗試，這符合成敗歸因和成就目標理論．解題轉變的失敗會帶來消極情緒的增強，最后轉變解題策略，轉向低層次的認知策略（如數數等）或者其它計算策略，這與Muis關于高強度數學焦慮導致個體避免使用高階問題解決策略的研究結論相一致[11]．同時，相比轉變解題階段，解題策略的轉變更有效地緩解個體的消極情緒．常規題與非常規題因參與學生對知識點的掌握熟悉程度而異．

回顧階段能夠使參與學生產生積極情緒，并促進相似數學問題的解決，使參與學生獲得信心和滿足感[38]．然而，有意義的回顧階段源于參與學生具備必要的知識、技能、認知和元認知能力等特質，相反，參與學生往往不會進入解題回顧階段．

研究者旨在對參與者的解題情緒過程進行深入、細致、整全地解釋性詮釋，不在量化意義上進行推廣．研究的相關發現和結論可為量化研究提供借鑒．若把多種情緒因素放在一起綜合分析，不難發現：影響個體數學問題解決的原因可能大相徑庭，個體之間存在明顯差異，但有一點是共同的，即情緒因素顯著地影響學生的數學問題解決．之所以如此，原因在于，認知與情緒均是整體心理機制的組成部分，二者融為一體，在問題解決過程中相互影響、密不可分[10]．因此，情緒、動機、效能感等情感因素會積極參與到學生的數學問題解決過程之中，同時又扮演著認知處理的風向標、阻礙物以及助推器的角色．

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Senior High School Students’ Affects in Their Mathematics Problem-Solving

FU Wan-di, YIN Hong-biao

(Faculty of Education, Chinese University of Hong Kong, Hong Kong 999077, China)

This study aims to investigate the role of affect in mathematics problem-solving processes, which are divided by Polya into four stages, thereby incorporating cognitive and affective processes. The results showed some complicated patterns. In the understanding stage, routine problems caused positive emotions in the students, but nonroutine problems generated negative emotions. In the planning stage, an appropriate level of anxiety could promote mathematical problem solving. Whether mathematical problems could be solved depended on both cognitive and metacognitive factors. In the enactment stage, negative emotions aroused students to change their problem-solving tracks, from the enactment to the planning or the understanding stage, finally transforming problem-solving strategies to low-level cognitive strategies. In the evaluation stage, students usually felt positive emotions, which facilitated their use of similar mathematical problem-solving strategies in the future. Nevertheless, meaningful evaluation entailed students’ characteristics such as knowledge, skills, and metacognition.

affects; mathematics problem-solving; senior high school students

G632.4

A

1004–9894（2021）06–0001–07

付婉迪，尹弘飚．高中生數學問題解決過程中的情緒因素[J]．數學教育學報，2021，30（6）：1-7．

2021–07–01

香港研究資助局一般項目資助——多元視角下中國大學生數學學習投入追蹤研究（CUHK 14618118）

付婉迪（1990—），女，湖北荊門人，碩士生，主要從事數學教育研究．

[責任編校：陳漢君、陳雋]