高空氣球地面充氦氣量計算方法分析與試驗評估*

楊燕初，杜千仟，曾丹丹，王 帆，張航悅

(1. 中國科學院空天信息創新研究院， 北京 100094； 2. 中國科學院大學 航空宇航學院， 北京 100040)

浮空器作為一種穩定的空中平臺，具有成本低、易操作、可持久駐空等優勢。近年來，各國的研究機構都在開展有關浮空器的技術研究。高空氣球作為浮空器的一種，被廣泛應用于氣象觀測和科學研究等領域[1]。各國開展的高空氣球項目，主要涉及大氣科學、空間工程、宇宙射線物理等多個學術領域，并在這些領域取得豐碩成果[2-3]。高空氣球內部充有比重輕于空氣的浮升氣體，可以依靠大氣浮力升空。文獻[4]研究了高空氣球的發展史，在早期的高空氣球試驗中，氣球內部充入氫氣。氫氣易燃易爆，氫氣球有一定的危險性。隨著氦氣的發現和推廣，其不可燃、穩定等特點也逐漸被人們認可，隨之取代氫氣成為高空氣球內部浮升氣體的首要選擇。

如何準確計算高空氣球內部充入的氦氣量十分重要，其直接影響氣球能否順利升空，進而決定氣球的上升速度和駐空高度。如果充氣量不足，會導致上升速度過慢，以致不能達到預期高度。反之，如果充氣量過多，會導致上升速度過快甚至因排氣不夠迅速而損壞氣球。傳統方法是利用氣體在不同壓力下密度值的對應關系和氣體狀態方程來計算充氣量。文獻[5]在此基礎上提出了一種新的計算方法，即在原有氣體關系的基礎上，考慮充氣過程中氦氣儲氣罐容積的變化，以及關閉閥門后罐內壓強回升問題，來計算充氦氣量。除此之外，利用電子流量計來直接測定也是一種目前較為常用的方法。充氣完成后，高空氣球加速上升，定義氣球達到浮重平衡時的速度值為氣球的初始升速。選用初始升速作為研究對象是因為其與后面上升過程中的升速比較一致，具有代表性。通過建立高空氣球上升過程的動力學模型，可以得出飛行試驗中氣球初始升速的理論值。飛行試驗中，實際初始升速與理論值有一定的偏差，通過實際初始升速，可反算出實際真實的充氦氣量。本文將在仿真和試驗的基礎上，分析、對比三種充氦氣方法的優缺點和誤差范圍，提出修正方法，為更準確地評估充氦氣量計算方法提供參考。

1 高空氣球上升段動力學模型

建立高空氣球上升段動力學模型，可求解氣球上升過程中的理論升速。高空氣球在上升過程中，不考慮水平方向運動，其在豎直方向上受到的力主要有浮力、重力、空氣阻力，以及由于浮力，氣球帶動周圍空氣運動而產生的附加慣性力。附加慣性力寫成質量形式為：

madd=CmρairV

(1)

式中：ρair為空氣密度；V為氣球體積，可通過計算球內充入的氦氣體積得來；Cm為附加質量系數，對于正球形球體，Cm的取值是0.50，而對于零壓球，Cm的垂直分量大約從氣球發放時的0.40變化到氣球完全膨脹時的0.65，水平分量從氣球發放時的0.65下降到氣球膨脹時的0.40[6]。這里不考慮水平分量。

定義mHe為氦氣質量；ms為結構質量，包括氣球、降落傘、吊艙等的質量；ma為空氣質量，對零壓球來說，ma一般為0，則系統質量為：

m=mHe+ms+ma

(2)

理論充入氦氣質量可由下式計算：

(3)

式中，f為自由浮力比，不同飛行試驗的自由浮力比不同。

考慮附加質量在內的整個系統的總質量mtotal為：

mtotal=mHe+ms+ma+madd

(4)

定義F為總浮力，L為凈浮力，則凈浮力為：

L=F-mg

(5)

定義v為氣球上升過程中豎直方向上的速度，空氣阻力D可表示為[7]：

D=CdρairR2v2

(6)

式中：R為氣球直徑，是一個變量，其數值可通過氣球體積反算；Cd為阻力系數，大小與雷諾數Re有關。對于高空氣球，在地面時雷諾數為106～107，在高空時雷諾數為104～105，具體數值取決于浮力大小[5]。文獻[8]給出了計算圓球阻力系數的經驗公式，即：

(7)

由于球在上升過程中外形不是正球形，所以阻力系數可取圓球的1.5倍[8]，即在地面附近時，Cd為0.30。

由上述公式，可得出氣球上升過程中的動力學方程為：

(8)

式中，H為氣球上升的高度，t為上升時間。

上述參數可根據球體實際選取，附加質量系數Cm的值一般介于0.25～0.50之間，阻力系數Cd的值一般介于0.10～0.47之間[9]。

2 高空氣球地面充氦氣量計算方法

在實際的飛行試驗中，通常采用三種方法來計算充氦氣量，分別為流量計直接測量法、氣體狀態方程計算法和容器變化補償修正法。

2.1 流量計直接測量法

電子流量計可以測量流體的質量流量和總質量輸出，在給高空氣球充氣的過程中，一般利用流量計來直接測得充氦氣量。飛行試驗中常采用科里奧利質量流量計，簡稱科氏流量計。充氣時，將科氏流量計的一端與氦氣罐連接，另一端與充氣管連接，流量計上即可顯示流速和流量。其優點是操作簡單、使用方便、可即時讀數。缺點是測量結果有一定的誤差性，零點漂移問題、外界振動和干擾、流體溫度和密度、流體流速等都對測量結果有影響，原則上流速應大于額定流量的10%[10]。實驗測得，當流速在科氏流量計額定流量的2%以內時，測量誤差非常大，且容易產生零點漂移[5]。這就要求在充氣時，充氣速度不能過慢。所以使用流量計有一定的局限性。

2.2 氣體狀態方程計算法

理想氣體狀態方程可表示為:

(9)

式中：M為氦氣摩爾質量，R為氣體常數。而對于真實氣體，由于氣體分子間存在范德華力，則將其狀態表示為：

(10)

式中：z為壓縮因子，隨壓強P和溫度T變化。通常可采取以下形式表達：

z=1+B(T)P+C(T)P2+…

(11)

式中，B(T)、C(T)是T的函數，與氣體種類有關。對于氦氣，其壓縮因子z與溫度和壓強的關系為：

z=1+[0.152 3-5.172 7×10-4T+5.710 2×10-7T2]P-4.915 4×10-4P2

(12)

式中，P的單位為kPa，T的單位為K。

根據式(10)，可計算高空氣球內充入的氦氣質量m為：

(13)

式中：Pi和Pc分別為充氣初始時刻和末時刻的氦氣儲氣罐壓強，單位為kPa，具體數值可以從氦氣儲氣罐上的壓強計中讀出；V為氦氣儲氣罐容積，單位為m3；Ti和Tf分別是初始時刻和末時刻的氦氣儲氣罐溫度，單位為K；zi和zf分別為初始時刻和末時刻的壓縮因子。根據式(13)計算氣球內充入氦氣量的方法，即為氣體狀態方程計算法[5]。

2.3 容器變化補償修正法

容器變化補償修正法[5]在氣體狀態方程計算法的基礎上，考慮在充氣過程中氦氣儲氣罐容積變化和壓強回升問題，從而對其進行補償修正。

2.3.1 氣罐容積變化

文獻[11]中提出，實際情況下，隨著溫度升高和壓強增大，氦氣儲氣罐的容積會隨之增大。對于當前較為常用的不銹鋼圓柱形氦氣儲氣罐來說，其容積隨氦氣儲氣罐溫度及壓強的變化關系為：

V=V0[1+3.402×10-5×(T-294.35)]×

(1+1.101 9×10-3P)

(14)

式中：V0為氦氣儲氣罐初始容積。常溫條件下，P為20 265 kPa時，氦氣儲氣罐的容積增大約0.23%。

2.3.2 氣罐壓強回升

上述氣體狀態方程計算法中，Pc為閥門關閉時的壓強(即截斷壓強)，但其并未考慮壓強回升問題。所謂壓強回升問題，是指在進行地面充氣時，氦氣儲氣罐內的氦氣做膨脹運動，壓強越高，對應氣體膨脹越快。由于膨脹做功，罐內氦氣溫度會隨之降低。若充氣停止，即氦氣儲氣罐閥門關閉，由于氦氣溫度回升，所以壓強也隨之回升。

在實際充氣中，可以根據所需充氦氣量m，以及氦氣儲氣罐初始壓強Pi和初始溫度Ti，求得回升之后的壓強Pf，進而通過Pi與Pf求得截斷壓強Pc。得出Pc后，即可根據壓強計上的壓強變化，判斷何時關閉閥門。

理論上Pc還與充氣速度(即閥門大小)以及氦氣儲氣罐的容積有關，對應美國礦物部標準，Pc可用以下經驗公式[5]估計：

Pc=680.484+50.662 5Pi-

(15)

式中，壓強的單位均為kPa。此外，已知Pi、Pc也可求得Pf，即：

(16)

2.3.3 充氦氣量的計算

綜上，充氦氣量m可根據以下公式計算：

(17)

式中，Vi和Vf分別為初始時刻、末時刻的氦氣儲氣罐容積。

根據上述公式計算充氦氣量，即為容器變化補償修正法。根據氣體狀態方程計算法和容器變化補償修正法給出的公式，可用MATLAB編寫程序計算充氦氣量。

3 基于飛行試驗的充氦氣量和初始升速分析

結合2019年度開展的六次飛行試驗，通過對實測各項數據進行研究，特別是對實測高空氣球初始升速的分析，反推充氦氣量，從而對上一章中所述的三種方法進行評估，進而得出各方法的誤差所在及其適用性。某次飛行試驗中，給高空氣球充氣如圖1所示。

圖1 高空氣球發放前充氣Fig.1 Inflating a high altitude balloon before it is released

3.1 實際初始升速與理論初始升速

飛行試驗中，高空氣球上搭載有GPS設備和加速度計，可以實時向地面飛控計算機傳回氣球所在高度和速度值，從而可以得出高空氣球的實際初始升速。根據氣球上升段動力學模型，可以在MATLAB的Simulink模塊中求解每次飛行試驗中氣球的理論初始升速。

六次試驗中高空氣球參數如表1所示。

表1 六次試驗高空氣球主要參數

根據上述參數求得六次試驗理論升速，并與實際升速對比，如圖2所示。由于試驗一中的高空氣球搭載了無人機，并在到達一定高度時釋放了無人機，所以實際升速出現激增現象。

根據上述六次試驗，可以看出，實際升速曲線與理論升速曲線均有一定偏差，取氣球理論初始升速和實際初始升速，記錄如表2和圖3所示。

(a) 試驗一(a) Experiment 1

(b) 試驗二(b) Experiment 2

(c) 試驗三(c) Experiment 3

(d) 試驗四(d) Experiment 4

(e) 試驗五(e) Experiment 5

(f) 試驗六 (f) Experiment 6圖2 六次試驗氣球升速對比Fig.2 Comparison of ascent velocity of balloon in six experiments

表2 六次試驗氣球初始升速

圖3 初始升速對比圖Fig.3 Comparison of initial ascent velocity

由表2和圖3可以看出，六次飛行試驗中，氣球的實際初始升速均低于理論初始升速，低0.14～0.91 m·s-1，相對誤差范圍為3.03%～17.07%，由實際充氦氣量偏低導致。

3.2 實際浮力與理論浮力

浮力F與氦氣質量m的關系為：

(18)

式中，Uair為空氣分子量，UHe為氦氣分子量，g為重力加速度，則浮力約為氦氣質量的61.10倍。為計算方便，用浮力代替氦氣質量進行比較。根據六次飛行試驗的實際初始升速可計算出實際浮力，與理論浮力對比如表3所示。

表3 理論浮力與實際浮力

由表3可以看出，六次飛行試驗的實際浮力均小于理論浮力，誤差范圍是-214.88～-25.44 N，相對誤差范圍為-4.91%～-0.42%。

3.3 三種充氦氣量計算方法的誤差分析

上述六次飛行試驗，均采用了流量計直接測量法、氣體狀態方程計算法和容器變化補償修正法來計算浮力。三種方法計算浮力如表4所示。

表4 三種方法計算的浮力

將三種方法計算的浮力與理論浮力和實際浮力對比，誤差如表5所示。其中，A為流量計直接測量法計算浮力與理論浮力誤差，B為氣體狀態方程計算法計算浮力與理論浮力誤差，C為容器變化補償修正法計算浮力與理論浮力誤差，D為流量計直接測量法計算浮力與實際浮力誤差，E為氣體狀態方程計算法計算浮力與實際浮力誤差，F為容器變化補償修正法計算浮力與實際浮力誤差。與理論浮力對比誤差如圖4所示。

表5 浮力誤差

根據表5和圖4，流量計直接測量法測得的充氦氣量大多比理論充氦氣量低，浮力相差范圍是-133.97～22.78 N，相對誤差為-2.85%～0.73%；氣體狀態方程計算法計算的充氦氣量大多比理論充氦氣量高，浮力相差范圍是-42.43～248.84 N，相對誤差為-1.35%～3.79%；容器變化補償修正法計算的充氦氣量整體上低于理論充氦氣量，浮力相差范圍為-193.01～6.92 N，相對誤差為-2.68%～0.23%。與實際浮力對比誤差如圖5所示。

圖4 與理論浮力對比誤差Fig.4 Comparison with theoretical buoyancy

根據表5和圖5，流量計直接測量法測得的充氦氣量在實際充氦氣量上下波動，浮力相差范圍是-60.51～113.66 N，相對誤差為-2.02%～3.73%；氣體狀態方程計算法計算的充氦氣量全部比實際充氦氣量高，浮力相差范圍是48.45～284.29 N，相對誤差為1.59%～5.83%；容器變化補償修正法計算的充氦氣量大多比實際充氦氣量高，浮力相差范圍是-107.19～67.86 N，相對誤差為-1.27%～4.52%。

圖5 與實際浮力對比誤差Fig.5 Comparison with theoretical buoyancy

3.4 浮力補償規律分析

在實際的充氣過程中，因為三種計算充氦氣量的方法都有偏差，所以通常無法一次性將所需氦氣充入氣球內。一般根據實際情況，結合理論浮力和三種方法計算結果，來決定何時停止充氣。停止后，穩定一段時間，再重新計算，權衡是否補充氦氣以及補充多少。

通過分析、對比六次飛行試驗中三種方法計算的充氦氣量，與理論充氦氣量比較，考慮是否繼續補充氦氣，并提出如下浮力補償公式，使得補償之后的實際浮力更接近理論浮力。

(19)

式中，V為理論浮力，W為流量計直接測量法計算浮力，X為氣體狀態方程計算法計算浮力，Y為容器變化補償修正法計算浮力，Z為需要補償的浮力。

試驗一中，流量計直接測得浮力比理論浮力低85.95 N，氣體狀態方程計算浮力比理論浮力高114.50 N，容器變化補償修正法計算浮力比理論浮力高6.92 N。綜合流量計和補償修正法計算結果，可再補充氦氣。采用式(19)補償浮力，則可再補償31.30 N浮力，而實際浮力比理論浮力少25.44 N，補償后的相對誤差為0.19%。

試驗二中，流量計直接測得的浮力比理論浮力低133.97 N，氣體狀態方程計算浮力比理論浮力低23.65 N，容器變化補償修正法計算浮力比理論浮力低193.01 N，三種方法計算結果都比理論浮力低，應繼續充氦氣。采用式(19)補償浮力，則可再補償224.35 N浮力，而實際浮力比理論浮力少214.88 N，補償之后的相對誤差為0.13%。

其他試驗同上分析，結合浮力補償規律，補償浮力如表6所示。

表6 六次試驗補償浮力

根據表6，利用浮力補償公式，可將充氣量相對誤差從-4.91%～-0.42%降低到-0.86%～0.19%。此浮力補償規律具有通用性，可擴展到其他需要補償浮力的試驗。結合3.3中對三種充氦氣方法的誤差分析，選用其中一種方法進行補氣。容器補償修正法計算結果的相對誤差最小，可以采用此方法進行浮力補償。補償后，相對誤差為-0.68%～0.21%。

3.5 三種方法的分析對比

高空氣球在實際飛行前進行氦氣充氣時，受到地面環境和測試設備等因素的影響，難免會出現誤差。通過對上述三種方法的分析，可以看出：

1)流量計方法的優點在于簡單實用，且讀數直觀，適用于連續充氣、中間間斷次數較少的工況，但對于充氣過程中充斷次數較多的情況，則會引入較多的誤差，造成誤差累積。

2) 利用氣體狀態方程計算是應用時間最長、范圍最廣的方法，其有著較高的準確度和置信度，但由于在實際操作時涉及氦氣貯存裝置壓強回升的問題，使得其在應用時受到的限制較多，尤其是在充氣結束后需要等待一定的時間，因此給試驗帶來了一定的不便。

3)容器變化補償修正法是在氣體狀態方程計算法的基礎上進行的改進，其考慮了氣罐容積變化和壓強回升問題，修正了氣體狀態方程方法中的一些參數，因此較之前一種方法，其計算出來的氦氣量更為準確，同時在實際操作時因其可以直接采信氦氣貯存裝置的截斷值作為輸入，因此避免了等待帶來的誤差和不確定性，因此也更有利于外場試驗使用。

4 結論

本文首先建立了高空氣球上升段動力學模型，并對高空氣球地面氦氣充氣量計算方法進行了系統性整理，從理論推導的角度進行了深入的分析和歸納。隨后，結合飛行試驗實測的數據計算了高空氣球的實際初始升速，并利用上升段動力學模型計算了理論初始升速。核算了實際充入浮力與理論充入浮力，進而對三種氦氣量計算方法進行誤差分析，在此基礎上開展了浮力補償規律的研究，提出的浮力補償公式可將充氦氣量誤差降低。最后完成了對三種充氣量計算方法的評估。總的來說，本文在之前學者研究的基礎上，對其方法進行了總結，并通過試驗對其進行了驗證和修正，能夠為后續研究人員提供相應的參考和借鑒。