黏彈性基體中撓曲電Timoshenko納米梁振動特性分析*

張大鵬，吳 棟，雷勇軍

(國防科技大學 空天科學學院， 湖南 長沙 410073)

壓電俘能器[1]能收集環境中因振動產生的機械能并轉換為可供納米元件使用的電能，具有能量密度高和工作模式簡單[2]等特性，在為納米元件供電方面具有極大的應用潛力。撓曲電效應的研究是設計、分析和應用壓電俘能器所涉及的基礎性問題，針對撓曲電效應開展研究具有重要的工程意義和理論價值。

撓曲電效應考慮非均勻應變場與電場之間的耦合關系，認為非均勻應變介質材料的電極化強度受電場、應變和應變梯度的影響。研究壓電納米元件力學行為的主要方法有實驗測量法、分子動力學模擬法和連續介質力學理論法。Ma等[3-4]通過實驗測得了鎂鈮酸鹽陶瓷、鈦酸鍶鋇陶瓷等材料具有較強的撓曲電效應，遠高于早期的預測值。Ma等[5-7]還通過實驗研究了應變梯度和溫度對鋯鈦酸鉛陶瓷和鈦酸鋇材料的撓曲電系數的影響。Hu等[8]基于變分原理，綜合考慮靜電力、應變梯度和極化梯度，建立了納米介質的控制方程。Maranganti等[9]開創性地將格林函數法用于求解撓曲電問題，該方法成為求解撓曲電問題的基本方法。實驗方法和分子動力學模擬結果均表明，壓電納米元件的力學性能在納米尺度下具有明顯的尺度效應[10-11]，經典連續介質力學因忽略了材料的尺度效應而難以準確表達壓電納米元件的力學特性[12]。非局部理論[13]的提出彌補了連續介質力學在尺度效應方面的不足，在描述納米材料的力學行為方面得到廣泛應用。有學者認為，為了更準確地預測壓電納米元件的力學性能，有必要將非局部理論與應變梯度理論相結合[14-16]。Lei等[17-18]分別研究了外加黏彈性阻尼下非局部Timoshenko納米梁和非局部Euler-Bernoulli梁的動力學特性。楊帆[19]考慮非局部效應，研究了表面效應對壓電Euler-Bernoulli納米梁彎曲變形的影響。Yan等[20]考慮壓電納米材料的非局部效應，研究了表面應力、表面彈性和表面壓電效應對Euler-Bernoulli梁屈曲行為和動力學特性的影響。此外，Yan等[21]還基于非局部Timoshenko梁模型，得到非均勻邊界條件下壓電納米梁的振動控制方程和諧振頻率的顯式表達式。實際工程中的納米元件多置于黏彈性材料制成的基體中，其等效力學模型為黏彈性基體中的梁、板等元件的分析模型，而目前綜合考慮尺度效應、撓曲電效應和基體黏彈性等因素的研究還相對較少。

本文基于非局部Timoshenko梁模型，研究撓曲電納米梁在黏彈性基體中的振動特性，給出簡支邊界條件下撓曲電納米梁控制方程的求解方法，并通過算例對非局部參數、撓曲電系數和黏彈性基體等因素對撓曲電納米梁振動特性的影響進行分析，為壓電納米元件的設計、分析和應用提供理論依據。

1 振動控制方程與邊界條件

黏彈性基體中的撓曲電Timoshenko納米梁的力學模型如圖1所示。以撓曲電納米梁的中軸線左端點為坐標原點建立直角坐標系o-xz，其中x軸沿撓曲電納米梁中軸線指向右端，z軸沿撓曲電納米梁的橫向振動方向與x軸正交。撓曲電納米梁的長度、寬度和高度分別為L、b和h。黏彈性基體采用經典的visco-Pasternak黏彈性基體模型[22]模擬，該模型在Pasternak彈性基體模型的基礎上考慮了黏性阻尼的影響。基于Majdoub等[23-24]對壓電納米結構的研究，在壓電材料連續介質理論的基礎上考慮納米材料的尺度效應和極化與應變梯度的耦合，忽略了高階極化梯度的影響。

圖1 黏彈性基體中的撓曲電Timoshenko納米梁Fig.1 Flexoelectric Timoshenko nano-beam in viscoelastic medium

考慮非局部效應時，由內能密度導出的本構方程為：

[1-(e0a)2?2]σij=cijklεkl+dijkPk

(1)

[1-(e0a)2?2]τijk=fijklPl

(2)

Ei=aijPj+djkiεjk+fjkliεjk,l

(3)

假設壓電材料的極化方向與z軸平行，為了簡化問題，只考慮電場的z向分量，則電場可表示為：

(4)

撓曲電納米Timoshenko梁的位移場可表示為：

(5)

其中，u和w分別表示位移沿x軸和z軸的分量，φ為撓曲電納米梁橫截面相對于y軸的扭轉角。

應變和應變梯度的非零分量可表示為：

(6)

非局部應力張量、非局部高階應力張量和電場的非零分量可表示為：

[1-(e0a)2?2]σxx=c11εxx+d31Pz

(7)

[1-(e0a)2?2]σxz=kc44γxz

(8)

[1-(e0a)2?2]τxxz=f3113Pz

(9)

[1-(e0a)2?2]τxzx=f3131Pz

(10)

Ez=a33Pz+d31εxx+f3113εxx,z+f3131γxz,x

(11)

其中，k為Timoshenko梁的剪切修正系數，對于矩形截面梁，有k=5/6。

假設撓曲電納米梁內部沒有自由電勢，由高斯定理可得：

ε0Ez,z+Pz,z=0

(12)

其中，ε0=8.85×10-12C/(V·m)為真空或空氣的介電常數。

電勢的邊界條件可表示為：

(13)

其中，V是施加在撓曲電納米梁的電壓。

將式(4)和式(6)代入式(12)并綜合考慮式(11)和式(13)，得到電勢和極化強度沿z軸的分量Φz和Pz的表達式分別為：

(14)

(15)

非局部應力和非局部高階應力關于扭轉角φ和撓度w的表達式為：

(16)

(17)

(18)

(19)

外力對撓曲電納米梁所做的虛功δW可表示為：

(20)

(21)

式中，kG、kw和ct分別為黏彈性基體的剪切彈性模量、Winkler彈性模量和阻尼系數。

撓曲電納米梁的動能Πk可表示為：

(22)

其中，ρ為撓曲電納米梁的質量密度。

撓曲電納米梁的應變能U可表示為：

(23)

式(23)變分可得：

(24)

其中，撓曲電納米梁單位長度的彎矩M、剪切力Q和扭矩Mγ的表達式分別為：

(25)

其中，A為撓曲電納米梁的橫截面積。

根據哈密頓原理得到：

(26)

將式(20)、式(22)和式(24)代入式(26)，并考慮到δw和δφ在x∈[0,L]的任意性，得到黏彈性基體中撓曲電Timoshenko納米梁的控制方程表達式：

(27)

(28)

同時得到黏彈性基體中撓曲電Timoshenko納米梁的邊界條件表達式：

(29)

(30)

(31)

將彎矩M、剪切力Q和扭矩Mγ的表達式(25)代入撓曲電納米梁的控制方程中，可得撓曲電納米梁控制方程的具體表達式：

(32)

(33)

同樣地，撓曲電納米梁邊界條件可具體表示為：

(34)

(35)

(36)

為了便于計算和分析，引入以下無量綱參數：

將以上無量綱參數代入式(32)和式(33)，可得撓曲電納米梁控制方程的無量綱形式，其表達式為：

(37)

(38)

其中：

(39)

(40)

(41)

(42)

2 振動控制方程求解

本節給出簡支邊界條件下撓曲電納米梁控制方程的求解方法。設撓曲電納米梁的無量綱控制方程式(37)和(38)的解形式為：

(43)

(44)

將式(43)代入式(37)和式(38)，可將撓曲電納米梁的無量綱控制方程表示為：

(45)

(46)

同樣地，撓曲電納米梁的無量綱邊界條件式(40)～(42)可表示為：

(47)

(48)

(49)

(50)

將式(50)代入式(45)和式(46)，撓曲電納米梁的控制方程可表示為：

(51)

(52)

a1Ω4+ia2Ω3+a3Ω2+ia4Ω+a5=0

(53)

其中：

(54)

(55)

a3=η(1+α2β2)(E4β2-E2)+

(56)

(57)

(58)

通過數值方法求解式(53)，即可得到撓曲電納米梁的無量綱固有頻率。需要說明的是，對于式(40)～(42)給出的其他類型邊界條件下撓曲電納米梁振動特性分析問題，可以采用文獻[16-18]等常使用的分布參數系統的傳遞函數方法較方便地得到問題的解。

3 算例分析

首先通過與文獻計算結果進行對比，驗證所建模型和控制方程求解方法的正確性。在此基礎上，系統地研究非局部效應、撓曲電系數和黏彈性基體對撓曲電納米梁振動特性的影響規律。如無特殊說明，撓曲電納米梁的參數設置[25-27]如下：撓曲電納米梁的長度L、高度h和寬度b分別為20 nm、2 nm和2 nm，撓曲電納米梁材料的彈性模量c11和c14分別為131 GPa和42.9 GPa，橫向撓曲電系數f3113和切向撓曲電系數f3131分別為5 V和4 V，質量密度ρ、介電常數倒數a33和壓電系數d31分別為6 020 kg/m3、0.79×108(V·m)/C和1.87×108V/m，visco-Pasternak黏彈性基體的Winkler彈性模量kw、剪切模量kG和阻尼系數ct分別為0.1 GPa/nm、0.25 GPa/nm和0.1 MPa·ns/nm。

3.1 模型驗證

文獻[25]針對具有表面效應和撓曲電效應的Timoshenko梁開展研究，利用變分原理和Hamilton原理，得到壓電納米梁的控制方程和邊界條件，分別求解簡支均勻載荷下壓電納米梁的靜態彎曲和自由振動問題，但是其忽略了壓電納米元件的尺度效應和在實際工程應用時的工作環境。本節先忽略黏彈性基體的影響，通過對比本文提出的控制方程求解方法下計算得到的一階無量綱固有頻率和參考文獻[25]得到的一階無量綱固有頻率，以驗證本文控制方程求解方法的正確性。

表1給出簡支邊界條件下一階無量綱固有頻率本文解和文獻[25]的解的對比情況。由表1可知，本文提出的控制方程求解方法在簡支邊界條件下一階無量綱固有頻率的解與文獻[25]得到的解的相對誤差均在1%以內，這驗證了本文解法的正確性。此外，撓曲電納米梁的一階無量綱固有頻率隨著長細比的增大而減小，顯然這是由于結構整體剛度隨著長細比的增大而減小引起的。

3.2 參數影響分析

以上節分析為基礎，本節系統分析非局部參數、撓曲電系數和黏彈性基體對撓曲電納米梁振動特性的影響規律。

3.2.1 非局部參數影響分析

本節分析簡支邊界條件下非局部參數對撓曲電納米梁振動特性的影響規律。不同非局部參數α下撓曲電納米梁的一階至三階無量綱固有頻率見表2。由表2可以看出，當撓曲電納米梁置于黏彈性基體中時，無量綱固有頻率的虛部非零。隨著非局部參數α的增大，各階無量綱固有頻率實部呈下降趨勢，這是因為非局部效應會減弱結構剛度；同時非局部參數α對不同階無量綱固有頻率虛部有微弱的影響。

表1 簡支邊界條件下一階無量綱固有頻率解對比

表2 不同非局部參數下撓曲電納米梁的無量綱固有頻率

撓曲電納米梁無量綱固有頻率實部之比隨非局部參數α的變化曲線如圖2所示。由圖2可知，無論撓曲電納米梁是否置于黏彈性基體中，各階無量綱固有頻率之比均隨著非局部參數α的增大而減小，且減小幅度隨著頻率階次的增加而增大。由于黏彈性基體的支撐作用在一定程度上增加了結構的剛度，因此相對于無黏彈性基體支撐的撓曲電納米梁，置于黏彈性基體中的撓曲電納米梁的固有頻率之比減小幅度相對較小。

圖2 撓曲電納米梁無量綱固有頻率實部之比 隨非局部參數α的變化曲線Fig.2 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with nonlocal parameters α

3.2.2 撓曲電系數影響分析

本節分析簡支邊界條件下撓曲電系數對撓曲電納米梁振動特性的影響規律，其中非局部參數α設為0.2，在分析橫向撓曲電系數f3113對撓曲電納米梁振動特性的影響規律時，取切向撓曲電系數f3131=1 V；而在分析切向撓曲電系數f3131對撓曲電納米梁振動特性的影響規律時，取橫向撓曲電系數f3113=10 V。

圖3和圖4分別是撓曲電納米梁一階至三階無量綱固有頻率實部隨橫向撓曲電系數f3113和切向撓曲電系數f3131的變化曲線。由于撓曲電Euler-Bernoulli納米梁也會受到橫向撓曲電系數f3113的影響，圖3中同時對比了橫向撓曲電系數f3113對撓曲電Timoshenko納米梁和撓曲電Euler-Bernoulli納米梁一階無量綱固有頻率實部的影響。由圖3可知，撓曲電納米梁的各階無量綱固有頻率實部隨著橫向撓曲電系數f3113的增加近似呈線性增大趨勢，且增大幅度隨頻率階次的增加而增大，說明橫向撓曲電系數f3113有增加撓曲電納米梁結構剛度的效果。撓曲電Timoshenko納米梁的一階無量綱固有頻率實部大于撓曲電Euler-Bernoulli納米梁的一階無量綱固有頻率實部，且橫向撓曲電系數f3113對撓曲電Timoshenko納米梁一階無量綱固有頻率實部的影響幅度大于對撓曲電Euler-Bernoulli納米梁一階無量綱固有頻率實部的影響幅度。

圖3 撓曲電納米梁無量綱固有頻率實部隨 橫向撓曲電系數f3113的變化曲線Fig.3 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the transverse flexoelectric coefficient f3113

由圖4可知，撓曲電納米梁的一階至三階無量綱固有頻率均隨著切向撓曲電系數f3131的增大而減小，且減小幅度隨著頻率階次的增加而增大，這說明切向撓曲電系數f3131對撓曲電納米梁的結構剛度有一定的削弱作用。

圖4 撓曲電納米梁無量綱固有頻率實部隨 切向撓曲電系數f3131的變化曲線Fig.4 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the tangential flexoelectric coefficient f3131

3.2.3 黏彈性基體影響分析

本節分析簡支邊界條件下黏彈性基體對撓曲電納米梁振動特性的影響規律，其中，非局部參數α設為0.2，黏彈性基體的阻尼系數ct的取值范圍為[0 MPa·ns/nm,50 MPa·ns/nm]。

圖5和圖6分別是撓曲電納米梁一階至三階無量綱固有頻率實部和虛部隨黏彈性基體的阻尼系數ct的變化曲線。由圖5可知，當黏彈性基體的阻尼系數ct大于臨界阻尼系數ct_crit時，各階無量綱固有頻率實部降為零，這表明此時撓曲電納米梁不再發生往復振動。臨界阻尼系數ct_crit隨著頻率階次的增加而增大，且增大黏彈性基體的Winkler彈性模量kw能增大臨界阻尼系數ct_crit。當黏彈性基體的阻尼系數ct小于各階臨界阻尼系數ct_crit時，撓曲電納米梁的無量綱固有頻率實部隨著黏彈性基體的阻尼系數ct的增大而減小，且減小幅度逐漸增大。由圖6可知，黏彈性基體的阻尼系數ct對各階無量綱固有頻率的虛部影響曲線在各階臨界阻尼系數ct_crit處發生突變。當黏彈性基體的阻尼系數ct小于各階的臨界阻尼系數ct_crit時，各階無量綱固有頻率虛部隨著黏彈性基體的阻尼系數ct的增大呈線性增大趨勢。當黏彈性基體的阻尼系數ct大于各階的臨界阻尼系數ct_crit時，各階固有頻率的虛部隨著黏彈性基體的阻尼系數ct的增加而逐漸增大，但是增大幅度逐漸減小。

圖5 撓曲電納米梁無量綱固有頻率實部隨 黏彈性基體的阻尼系數ct的變化曲線Fig.5 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the damping coefficient ct of viscoelastic medium

圖6 撓曲電納米梁無量綱固有頻率虛部隨 黏彈性基體的阻尼系數ct的變化曲線Fig.6 Variation curves of the imaginary part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the damping coefficient ct of viscoelastic medium

4 結論

本文以黏彈性基體中的Timoshenko納米梁為研究對象，綜合考慮了非局部效應、壓電效應和撓曲電效應等因素的影響，基于哈密頓原理建立了系統的控制方程和相應的邊界條件，給出了簡支邊界條件下撓曲電納米梁控制方程的求解方法，并通過算例驗證了本文模型和控制方程求解方法的正確性，并較系統地研究了簡支邊界條件下非局部參數、撓曲電系數和黏彈性基體對撓曲電納米梁振動特性的影響規律。主要結論如下：

1)非局部效應會削弱撓曲電納米梁的結構剛度，無量綱固有頻率實部之比隨著非局部參數α的增大而減小，且減小幅度隨著頻率階次的增加而增大。

2)橫向撓曲電系數f3113能增加撓曲電納米梁的結構剛度，且對Timoshenko梁的影響幅度大于對Euler-Bernoulli梁的影響幅度；切向撓曲電系數f3131對撓曲電納米梁的結構剛度有一定的削弱作用。

3)撓曲電納米梁不發生往復振動對應的臨界阻尼系數ct_crit隨著頻率階次和黏彈性基體的Winkler彈性模量kw的增加而增大。當黏彈性基體的阻尼系數ct小于各階臨界阻尼系數ct_crit時，撓曲電納米梁的各階無量綱固有頻率的實部隨著黏彈性基體阻尼系數ct的增大而減小，且減小幅度逐漸增大；而虛部隨黏彈性基體阻尼系數ct的增大呈線性增加。當黏彈性基體的阻尼系數ct大于各階臨界阻尼系數ct_crit時，撓曲電納米梁的無量綱固有頻率實部均為零；撓曲電納米梁的無量綱固有頻率的虛部隨著黏彈性基體的阻尼系數ct的增加而逐漸增大，但增大幅度逐漸減小。