Vondrak-Cepek組合濾波在北斗共視和衛星雙向時間比對融合中的應用*

王威雄，董紹武，武文俊，郭 棟，王 翔，高 喆

(1. 中國科學院國家授時中心， 陜西 西安 710600； 2. 中國科學院時間頻率基準重點實驗室， 陜西 西安 710600； 3. 中國科學院大學 天文與空間科學學院， 北京 100049)

高精度時間比對技術是國際標準時間協調世界時(Coordinated Universal Time, UTC)產生的必要手段。基于全球衛星導航系統(Global Navigation Satellite System, GNSS)的共視(Common View, CV)、全視和精密單點定位(Precise Point Positioning, PPP)時間比對技術以及另一種完全獨立的衛星雙向時間比對(Two-Way Satellite Time and Frequency Transfer, TWSTFT)技術是目前國際上主要采用的幾種時間比對手段[1]。TWSTFT從1999年就成為UTC計算的常規比對手段，且目前傳遞了超過60%的原子鐘數據以及大部分用于UTC計算的一級頻標的數據[2]。隨著光鐘、噴泉鐘等更高精度的頻率基準的發展，對遠距離時間比對的精度也提出了更高的要求。TWSTFT平均時間為1 d內的時間穩定度優于1 ns且其長期穩定度較好，但其采樣率較低且在大部分鏈路中會受到周日效應的影響，導致其沒有優良的短期穩定度[3]。從2016年2月起，國際權度局(Bureau International des Poids et Mesures, BIPM)組織在歐亞、歐美以及歐洲內部的守時實驗室間開展基于軟件接收機(Software-Defined Radio, SDR)的TWSTFT試點研究，降低了硬件TWSTFT中的周日效應，并于2020年3月首次正式將SDR TWSTFT用于UTC的計算，但SDR TWSTFT結果中仍有殘余的周日效應存在[4-5]。

隨著我國北斗等多個全球衛星導航系統的發展，時間比對技術呈現多元化的趨勢。為進一步提高UTC時間比對鏈路的準確性、穩定性和魯棒性，在2017年召開的第21屆CCTF大會上提出充分利用冗余鏈路來提高當前時間比對鏈路穩定度并改善TWSTFT中周日效應問題的議案。Vondrak-Cepek(簡稱V-C)組合濾波是基于最小二乘原理的Vondrak平滑方法的進一步變形，該方法剛被提出時主要用于測量地球自轉參數時GPS法和甚長基線干涉測量法(Very Long Baseline Interferometry, VLBI)的融合[6]。有關學者對該方法在時頻領域的應用也進行了研究，Jiang等通過該方法將利用載波相位數據的GPS PPP時間比對和TWSTFT數據進行了融合，提高了時間比對鏈路的短期穩定度[7]；姜萌等采用V-C法對短期穩定度較好的氫原子鐘數據和長期穩定度較好的銫原子鐘數據在時間尺度方面進行了融合，獲得了理想的氫銫融合時間尺度[8]。因此，本文基于目前中科院國家授時中心(National Time Service Center, NTSC)參與建立的衛星雙向時間比對網和北斗鏈路，分別在長短基線上利用Vondrak-Cepek方法對沒有周日效應現象的北斗CV和TWSTFT數據進行有效融合，通過時間偏差、頻譜分析以及另一種獨立的GPS PPP為參考對融合結果作內外符合評估。融合結果表明該方法可以明顯改善TWSTFT的周日效應。

1 時間比對原理

1.1 SATRE和SDR TWSTFT原理

TWSTFT被廣泛應用于UTC守時實驗室的國際時間比對，其原理如圖1所示。地面站1的本地主鐘產生的信號輸入到調制解調器與經過二進制相移鍵控方式調制的偽隨機碼(PseudoRandom Noise, PRN)信號同步，生成的70 MHz中頻信號經上變頻器變頻為上行頻率后，經功率放大器放大，由天線系統將信號發射到衛星；位于地面站2的天線系統接收到衛星轉發的時間信號后，經下變頻器將頻率轉換為70 MHz中頻信號輸入本地衛星時間和距離測量設備(SAtellite Time and Ranging Equipment, SATRE)的接收通道；將接收到的信號進行解調后得到站1和站2的信號傳輸時間，兩站按照比對計劃表進行常規比對，各自得到對方的比對文件后就可得到雙向比對結果。SDR TWSTFT由軟件編程來實現接收機功能，目前在衛星雙向地面站，SDR TWSTFT的發射信號采用與硬件SATRE一致，接收通道與硬件SATRE相互獨立，天線系統接收的信號經下變頻器處理后輸入SDR接收通道，通過信號轉換器的模數轉換、現場可編程門陣列(Field Programmable Gate Array, FPGA)的解調以及濾波后得到兩地鐘差。SATRE和SDR TWSTFT都可獲得發射站與接收站之間的高精度鐘差，兩者相互冗余[9-10]。

圖1 衛星雙向時間比對原理Fig.1 Principle of TWSTFT

站1和站2時間尺度間的差值計算公式為：

T1-T2=0.5×(TTW1+TCALR1+TESDVAR1-TTW2-TCALR2-TESDVAR2)+TREFDLY1-TREFDLY2

(1)

式中：Tk為實驗室1和實驗室2的本地時間；TTWk為地面站1和地面站2調制解調器得到的信號傳輸時延值；TCALRk為經移動校準器標定的地面站校準時延值；TESDVARk為鏈路校準后的本地站設備變化時延值；TREFDLYk為實驗室UTC(k)參考點到調制解調器發射端的時延值。

1.2 北斗共視比對原理

北斗共視時間比對是位于地球任何兩個位置的守時實驗室同時觀測一顆或多顆北斗導航衛星，通過連接本地參考UTC(k)的接收機輸出偽距測量值，建立觀測方程分別得到本地時間與北斗系統時(BeiDou system Time, BDT)的時差，共視法可消除衛星鐘誤差和衛星軌道誤差的影響，消除傳播路徑和接收機端的各項誤差后就可以間接得到兩地之間的時差，北斗共視比對原理如圖2所示[11-12]。

圖2 北斗共視時間比對原理Fig.2 Principle of BDS CV time transfer

假設A、B兩地的本地時間分別為tA和tB，ΔtABDT、ΔtBBDT是A地、B地與BDT的差，有：

ΔtABDT=tA-tBDT

(2)

ΔtBBDT=tB-tBDT

(3)

式(2)減去式(3)可得兩地的時間差ΔtAB：

ΔtAB=ΔtABDT-ΔtBBDT=(tA-tBDT)-(tB-tBDT)

=tA-tB

(4)

2 北斗共視和衛星雙向融合算法

由于GNSS CV結果沒有周日效應，因此采用Vondrak-Cepek組合濾波來對北斗共視和TWSTFT結果進行融合，用共視結果的一階差分值對雙向時間比對結果進行干預，來減小TWSTFT的周日效應，改善衛星雙向時間比對的性能。

2.1 BDS CV和TWSTFT融合模型

假設TWSTFT在時間ti的觀測量為y(t)，該時刻相對應的導數y′(t)定義為[y(ti+1)-y(ti)]/(ti+1-ti)，假設另一組獨立的北斗共視觀測量為Y(t)，其導數Y′(t)=[Y(tj+1)-Y(tj)]/(tj+1-tj)，這兩組導數的物理意義是相同的，均表示兩地鐘差的變化率。當ti=tj時，y′(t)=Y′(t)，且

(5)

(6)

其中，MJD為簡化儒略日。因為所選的雙向時間比對間隔和北斗共視的時間間隔相同，所以式(6)下一時刻的TWSTFT觀測值可表示為本時刻的TWSTFT觀測值與該時段內北斗共視比對結果增量的和，總觀測誤差即TWSTFT實際觀測值與通過共視表示的TWSTFT觀測值在積分時間段內的差異。采用Vondrak-Cepek組合濾波方法建立平滑曲線的組合約束條件來實現對該觀測誤差的最小化。

2.2 Vondrak-Cepek組合濾波原理

1)曲線平滑度。

(7)

2)平滑曲線對觀測值的逼真度。

(8)

3)平滑曲線對觀測值一階導數的逼真度。

(9)

Vondrak-Cepek組合濾波對數據融合的目的是找出輸出的平滑序列yi在下列三種條件下的折中：

1) 曲線是平滑的(最小化S)。

2) 平滑序列應該接近觀測函數值(最小化F)。

對三種條件進行最小化約束，有：

(10)

選用頻率響應法來確定平滑因子，其公式為：

(11)

表1 頻率響應值、平滑因子和周期間的關系

圖3 P=1時頻率響應值與平滑因子的關系Fig.3 Relationship between frequency response value and smoothing factor when P=1

3 結果分析

由于BIPM計算國際原子時(International Atomic Time, TAI)采用一個月的數據，因此分別選取幾何基線長度約為7 700 km的NTSC和德國聯邦物理技術研究院(Physikalisch-Technische Bundesanstalt, PTB)鏈路2019年10月至11月(MJD58775-MJD58804)以及幾何基線長度約為900 km的NTSC和中國計量科學研究院(National Institute of Metrology, NIM)鏈路2020年1月至2月(MJD58852-MJD58881)的SATRE和SDR雙向以及北斗共視數據進行分析。

3.1 BDS CV與TWSTFT融合結果

參與比對的衛星雙向系統和北斗共視比對系統的參考同源且都為UTC(k)(k指不同的實驗室)，實驗室和設備信息見表2。

表 2 參與比對的守時實驗室和設備信息

本次共視比對選擇16 min無電離層組合的標準共視程序，組合信號頻點為B1I和B2I。長基線NTSC-PTB鏈路的北斗共視結果及比對期間可共視衛星數統計如圖4(a)和4(b)所示，短基線NTSC-NIM鏈路如圖4(c)和4(d)所示。

(a) NTSC-PTB共視結果(a) NTSC-PTB CV results

(b) NTSC-PTB共視衛星數統計(b) NTSC-PTB CV satellite statistics

(c) NTSC-NIM共視結果(c) NTSC-NIM CV results

(d) NTSC-NIM共視衛星數統計(d) NTSC-NIM CV satellite statistics圖4 不同基線北斗共視時間比對結果Fig.4 Results of BDS CV over different baselines

從圖4可以看出，兩條鏈路的北斗共視比對結果中都沒有明顯的周日效應現象，NTSC-PTB鏈路噪聲較NTSC-NIM鏈路大。這是因為NTSC-PTB鏈路基線長，在同一時刻共視到的衛星數較短基線鏈路NTSC-NIM少，在共視比對中，較多的共視衛星數可以平均出更好的時間比對結果，但該結果不會影響雙向和北斗共視的融合計算。圖5為兩條鏈路SATRE和SDR TWSTFT的原始結果。

(a) NTSC-PTB鏈路(a) NTSC-PTB link

(b) NTSC-NIM鏈路(b) NTSC-NIM link圖5 SATRE和SDR雙向比對結果Fig.5 Results of SATRE and SDR TWSTFT

由圖5可知，無論是長基線鏈路還是短基線鏈路，SATRE和SDR TWSTFT的比對結果中都會看到明顯的周日效應現象。為對雙向結果進行改善，利用第2節的V-C組合濾波方法分別對NTSC-PTB長基線以及NTSC-NIM短基線上的SATRE和SDR TWSTFT比對結果與北斗共視結果進行融合，由于GPS PPP是與TWSTFT相獨立的時間比對技術且其基本不受周日效應影響，因此以GPS PPP時間比對結果為參考，結果如圖6和圖7所示。

(a) SATRE雙向鏈路不同方法時間比對結果(a) Time transfer solutions of different methods for SATRE TW link

(b) SDR雙向鏈路不同方法時間比對結果(b) Time transfer solutions of different methods for SDR TW link圖6 NTSC-PTB鏈路融合結果Fig.6 Combined smoothing results of NTSC-PTB link

(a) SATRE雙向鏈路不同方法時間比對結果(a) Time transfer solutions of different methods for SATRE TW link

(b) SDR雙向鏈路不同方法時間比對結果(b) Time transfer solutions of different methods for SDR TW link圖7 NTSC-NIM鏈路融合結果Fig.7 Combined smoothing results of NTSC-NIM link

從圖6和圖7的融合結果可知，SATRE和SDR TWSTFT經V-C組合濾波后周日效應明顯改善，且融合結果的噪聲水平也明顯減小，這與V-C本身的濾波特性有關。另外，融合結果與GPS PPP參考鏈路的結果基本一致，保證了融合結果的可靠性。

3.2 內符合評估

為對融合結果的穩定度及周日效應改善程度進行量化，采用時間偏差σx評估融合前后時間比對鏈路的穩定度，σx越小，鏈路穩定度越高。用式(12)的增益因子c表示改善程度的大小。

(12)

式中，σx(y1)和σx(y2)表示不同時間比對鏈路的時間偏差。這里用SATRE & BDS CV表示SATRE雙向和北斗共視融合，用SDR & BDS CV表示SDR雙向和北斗共視融合，下同。融合前后的時間偏差如圖8所示。

(a) NTSC-PTB不同鏈路的時間偏差(a) Time deviation of different links in NTSC-PTB

(b) NTSC-NIM不同鏈路的時間偏差(b) Time deviation of different links in NTSC-NIM圖8 融合前后時間偏差比較Fig.8 Comparison of time deviation before and after combined smoothing

從圖8可以看出，在時間偏差指標上，長短基線的SATRE TWSTFT和SDR TWSTFT在平均時間為1 d時有明顯的“凸起”現象，說明其周日效應明顯，經過V-C組合濾波的融合結果周日效應基本消失，且鏈路的短期穩定度大大提高，這一方面與不同鏈路的融合有關，另一方面也與V-C濾波方法自身的平滑性有關。用平均時間1 d的時間偏差穩定度來評估融合方法對原始雙向的改善程度，結果見表3。從表3可知：在長基線NTSC-PTB鏈路的天穩指標上，融合結果對SATRE TWSTFT的增益因子為1.85，對SDR TWSTFT的增益因子為1.81；在短基線NTSC-NIM鏈路的天穩指標上，融合結果對SATRE TWSTFT的增益因子為1.69，對SDR TWSTFT的增益因子為1.59。

采用快速傅里葉變換后頻率分量的幅值對融合前后雙向鏈路的周日效應改善進行標定。用式(13)的增益因子d表示改善程度的大小。

(13)

式中，A(y1)和A(y2)表示融合前后時間比對鏈路的24h頻率分量幅值。NTSC-PTB雙向鏈路和北斗共視融合前后的頻譜圖如圖9所示, 采取與NTSC-PTB相同的方法求得NTSC-NIM的幅值頻譜，各鏈路融合前后的24 h分量幅值(即周日效應量)統計結果見表4。

表3 NTSC-PTB和NTSC-NIM鏈路時間偏差改善統計

從圖9和表4融合前后24 h分量的幅值變化可以看出，經過V-C融合后，兩條鏈路SATRE及SDR TWSTFT中的周日效應都基本消失。對于亞歐NTSC-PTB鏈路，V-C融合結果24 h分量對SATRE TWSTFT的增益因子為4.30，對SDR TWSTFT的增益因子為2.50；對于亞洲內部的NTSC-NIM鏈路，V-C融合結果24 h分量對SATRE TWSTFT的增益因子為2.77，對SDR TWSTFT的增益因子為4.85。通過以上分析可知，利用V-C對雙向和北斗共視融合后，長短基線上的SATRE和SDR TWSTFT的周日效應基本消失，且其1 d內的短期穩定度也得到提高。

(a) SATRE TWSTFT頻譜分析(a) Spectral analysis in SATRE TWSTFT

(b) SATRE & BDS CV融合頻譜分析(b) Spectral analysis in fusion of SATRE & BDS CV

(c) SDR TWSTFT頻譜分析(c) Spectral analysis in SDR TWSTFT

(d) SDR & BDS CV融合頻譜分析(d) Spectral analysis in fusion of SDR & BDS CV圖9 NTSC-PTB鏈路融合前后頻譜分析Fig.9 Spectral analysis of NTSC-PTB link before and after combined smoothing

表4 NTSC-PTB和NTSC-NIM鏈路24 h頻率 幅值改善統計Tab.4 Gain in 24 h frequency amplitude of NTSC-PTB and NTSC-NIM links

3.3 外符合評估

外符合評估是指將融合結果與采用第三種方法獲得的結果進行比較，GPS PPP時間比對是與TWSTFT完全獨立的時間比對技術，其由于利用載波相位觀測量，短期穩定度高且不受周日效應影響。因此，以同一基線的GPS PPP時間比對鏈路為參考，將TWSTFT與BDS CV經V-C融合后的結果與GPS PPP作差，得到雙差(Double Clock Difference, DCD)結果后對融合結果的準確度與可靠度進行評估。圖10為NTSC-PTB和NTSC-NIM兩條鏈路SATRE和SDR雙向與北斗共視融合結果分別與參考鏈路GPS PPP的DCD結果，表5為相關統計情況。

結合圖10、表5可以看出： NTSC-PTB長基線鏈路SATRE & BDS CV融合結果與GPS PPP的差值絕對值最大為1.31 ns， SDR & BDS CV融合結果與GPS PPP的差值絕對值最大為1.16 ns； NTSC-NIM短基線鏈路SATRE和SDR與BDS CV融合結果與GPS PPP的差值絕對值的最大值分別為1.65 ns和1.64 ns，且融合前后DCD結果均值基本無變化，這說明經過V-C融合的結果與GPS PPP結果保持一致，V-C融合并沒有改變原始雙向比對的校準信息，保證了融合結果的準確度。而原始SATRE和SDR雙向結果由于周日效應及鏈路不穩定性的存在，與GPS PPP的DCD最大值明顯超過了鏈路允許的最大不確定度。與式(12)時間偏差指標增益因子計算相類似，從表5融合前后DCD結果的標準差比值計算可得，NTSC-PTB鏈路SATRE和SDR TWSTFT與GPS PPP DCD結果融合前后的標準差增益因子分別為2.71和1.94，NTSC-NIM鏈路融合前后的標準差增益因子分別為1.67和1.82，進一步證明融合結果可以減小TWSTFT結果中的周日效應并提高鏈路穩定度，與上一節內符合評估中得出的結論一致。

(a) NTSC-PTB鏈路(a) NTSC-PTB link

(b) NTSC-NIM鏈路(b) NTSC-NIM link圖10 融合結果與GPS PPP DCD結果比較Fig.10 DCD results between combined solutions and GPS PPP

表5 不同鏈路的DCD結果

4 結論

采用Vondrak-Cepek組合濾波方法對沒有周日效應現象的BDS CV和TWSTFT結果在不同基線長度上進行融合處理，通過融合前后各鏈路的時間偏差，頻譜24 h分量幅值以及與GPS PPP的DCD等指標的分析，證明了V-C方法對TWSTFT和BDS CV融合的有效性。結果表明：融合結果在保證時間比對準確度的同時，可以基本消除SATRE和SDR TWSTFT中的周日效應，且其短期穩定度大幅提高。對于長基線NTSC-PTB鏈路，融合結果1 d的時間偏差穩定度對SATRE雙向的增益因子為1.85，對SDR 雙向的增益因子為1.81；對于短基線NTSC-NIM鏈路，融合結果對SATRE雙向的增益因子為1.69，對SDR雙向的增益因子為1.59。隨著UTC時間比對手段的不斷豐富，多鏈路多手段時間比對融合將是未來國際時間比對工作的重要議題。