高精度程控電阻網絡生成算法設計*

朱利文，于 雷，金傳喜，陳盼輝，賈正榮，劉明輝

(1. 海軍工程大學 核科學技術學院, 湖北 武漢 430033； 2. 海軍工程大學 艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室, 湖北 武漢 430033)

在自動測試系統中，程控電阻的應用越來越廣泛。程控電阻為自動測試系統提供所需的電阻值，可應用于熱電阻溫度傳感器(Resistance Temperature Detector, RTD)、電阻應變式壓力傳感器、高度傳感器以及電位器式位移傳感器等電阻類傳感器的校準與測試[1]。

自20世紀80年代開始，國內外均開展了程控電阻的研究工作，但進展均不理想[2]。21世紀初以來，隨著計算機技術、先進電子技術及元器件工藝的發展，逐漸發展出了多種程控電阻信號源。其中，成熟應用的主要有兩類：電子合成電阻和程控繼電器電阻網絡[3]。

電子合成電阻目前研究較多，它通過編程控制輸入電壓和輸入電流的比值，從而實現可變阻值的輸出[3-4]。常用的設計方法是基于場效應管實現可變阻值輸出，包括控制場效應管導通程度[5]、利用疊加場效應管結構實現變阻[6]、浮動節點電壓控制線性可變電阻[7]、接地電壓控制的正電阻器[8]、接地和浮動電流控制可調電阻[9]。行鴻彥等[10]通過控制柵源電壓實現的可變電阻，其阻值范圍為75.703～141.004 Ω，分辨率為0.025 Ω。美國福祿克公司推出能夠用于Pt100測溫儀表校準的多參數校驗儀525B，在5～400 Ω的范圍內，能夠實現1 mΩ的步進輸出[11]。哈爾濱工業大學的王冰和喻佳健[3，12]相繼提出了電流型和電壓型兩種電路方案，最終實現了高精度模擬基準電阻源。然而，上述電子合成電阻由于使用有源二端口網絡，只能模擬電阻的性能而不能等效于實體電阻，因而可能出現與二次儀表激勵電路不匹配的問題，在應用中受到一定的限制[3]。

程控繼電器電阻網絡使用已經連接好的精密電阻鏈，通過繼電器選擇性地將相鄰的多個電阻進行組合輸出[4]。繼電器切換實體電阻網絡的方式，可解決有源二端口不匹配等問題，其應用范圍比電子合成電阻更廣。2012年，美國國家儀器推出了一種具有代表性的16位電阻板卡PXI-2722，實現了0.25～16 320 Ω的輸出電阻范圍，步進為0.25 Ω，精度等級為0.5%[13]。2016年，英國品英公司推出了一種基于PXI和PCI接口的RTD仿真器，阻值范圍為90～250 Ω，分辨率為0.008 Ω，精度等級為0.1%[14]。雖然精度等級實現了一定程度的提升，但量程范圍內阻值偏差仍達到0.25 Ω。因此，現有程控繼電器電阻網絡在實現毫歐級精度時存在明顯不足。

在高精度輸出場合，由于繼電器導通阻值、基準電阻初始精度等影響，傳統程控繼電器電阻網絡的設計較為復雜[15]。

本文針對高精度程控繼電器電阻網絡設計困難的問題，提出一種高精度程控電阻網絡生成算法，該算法根據阻值范圍和精度需求，自動生成繼電器電阻網絡。首先為程控繼電器電阻網絡建立模型，進行數學描述，將新型程控繼電器電阻網絡設計為主電阻、補償電阻以及偏移電阻三個部分，提出阻值分解算法和子模塊阻值逼近算法對主電阻網絡進行設計，提出精度計算算法對電阻網絡精度進行理論計算；然后分別對主網絡和補償網絡進行優化，最后以一組需求為例，對算法進行驗證。

1 問題建模

電阻源設計實質上是一個優化問題，問題表述為在可用電阻集合Ω={Ra,i}中選擇任意數量的電阻，構成一個電阻源，該電阻源能夠在[Rmin,Rmax)內連續取值，在滿足約束條件的前提下優化目標函數。因此，電阻源網絡設計可以用數學語言描述為：

目標函數：選用的電阻總數最少。

約束條件：對于任意設置的阻值Rset∈[Rmin,Rmax)，其與電阻源輸出的實際阻值Rprac之間的差值滿足精度要求ΔR，即

|Rset-Rprac|<ΔR

定義1電阻網絡結構為多個基準子模塊串聯，每個子模塊物理模型如圖1所示，設開關變量為bi，bi取1為閉合，bi取0為斷開，則電阻網絡的總電阻可以表示為

(1)

其中，nR為子模塊數量，Ri,1為開關閉合時每個基準子模塊的電阻，Ri,0為開關斷開時每個子模塊的電阻。

圖1 電阻網絡子模塊物理模型Fig.1 Physical model of resistance network sub-module

首先給出定理1，說明理想情況下構建電阻網絡所需的電阻子模塊數量。

(2)

式中，「·?為向上取整。

B=b1…bi…bnR

(3)

定理2在理想情況下，構建取值范圍[Rmin,Rmax)的電阻網絡，精度為ΔR，至少需要nR,min+1個電阻，其中

(4)

證明：根據定理1，定理2顯然成立。

□

定理1與定理2給出了理論上構成電阻網絡所需的最小電阻數量，然而，實際中的可選用電阻阻值并不總是2i-1ΔR，因此需要在可用的電阻中選擇合適的電阻逼近阻值2i-1ΔR。

定理3從可用電阻集合Ω={Ra,i}中任選電阻逼近阻值Rt，最大誤差ΔRt的取值范圍為ΔRt

證明:采用反證法證明。假設最大誤差ΔRt≥min{Ra,i}，則可以在Ω中選取nt個阻值為min{Ra,i}的電阻，從而有

其中

(5)

□

定理4在理想情況下，從可用電阻集合Ω={Ra,i}中任選電阻，依次逼近阻值Ri,0=2i-1ΔR，構成電阻網絡[Rmin,Rmax)，最大誤差ΔRmax

證明：根據定理2，構成電阻網絡需要至少nR,min個電阻子模塊，從Ω={Ra,i}中任選電阻逼近每個子模塊的阻值Ri,0=2i-1ΔR，子模塊逼近誤差ΔRi小于min{Ra,i}，因而有

2 電阻網絡生成算法設計

根據上述問題建模，為實現阻值范圍為[Rmin,Rmax)的電阻源，本文提出一種電阻網絡生成算法。由該算法生成的電阻網絡包括主電阻網絡(Main Resistance Network, MRN)、補償電阻網絡(Compensation Resistance Network, CRN)以及偏移電阻網絡(Offset Resistance Network, ORN)。

電阻源的設計思路為首先設計阻值[0,Rmax-Rmin)的主電阻網絡，之后在考慮開關閉合阻值的條件下求解主電阻網絡在[0,Rmax-Rmin)上的最大逼近誤差，而后使用補償電阻網絡修正這一誤差，最后根據Rmin以及主電阻網絡、補償電阻網絡的零點偏移設計偏移電阻。

2.1 主電阻網絡設計

主電阻網絡的設計主要與目標電阻源的量程、精度以及可選基準電阻有關，主電阻網絡的主要作用是解決量程范圍的跨度[0,Rmax-Rmin)。在進行主電阻網絡的設計中，重點要關注的是在滿足量程范圍前提下，實現電阻數量最少。具體的設計包括阻值分解、子模塊阻值逼近以及主電阻網絡生成與優化。

首先是阻值分解，其目的在于將主電阻網絡的阻值[0,Rmax-Rmin)分解為nR,min個子模塊阻值Rt,i，如算法1所示，其中Rmain為主電阻網絡阻值。阻值分解算法為主電阻網絡中的子模塊阻值的選取提供依據。

算法1 阻值分解

然后是子模塊阻值逼近，用于從可選電阻集合Ω={Ra,i}中選擇盡量少的基準電阻以逼近每個子模塊的阻值Rt，具體如算法2所示。

算法2 子模塊阻值逼近

在算法2中，由于可能選用相同的電阻逼近Rt，即集合Ψ中可能存在重復元素，因而集合Ψ并不嚴格滿足集合中元素的唯一性。

對于第i個子模塊阻值Rt,i，即逼近電阻集合為Ψi，通過Ψi構成的實際子模塊阻值記為Rrt,i。

最后是主電阻網絡生成與優化。算法1輸入的是主電阻網絡阻值Rmain，滿足Rmain>Rmax-Rmin，以使主電阻網絡阻值覆蓋[0,Rmax-Rmin)。在[Rmax-Rmin,+∞)范圍內取Rmain作為算法1的輸入，之后再通過算法2得到主電阻網絡的結構，主電阻網絡內的電阻數量與Rmain的取值相關，因此需要以Rmain作為變量對主電阻網絡內的電阻數量進行優化。算法3可生成主電阻網絡，并可對電阻數量進行優化。

算法3 主電阻網絡生成與優化

2.2 補償電阻網絡設計

考慮主電阻網絡存在逼近誤差nR,minmin{Ra,i}，同時考慮非理想情況下，開關閉合時的電阻值Ri,1>0，因此實際的主電阻網絡逼近誤差極有可能大于理論值nR,minmin{Ra,i}，故還需要一個補償電阻網絡用于修正主電阻網絡的逼近誤差。

每個開關閉合后考慮繼電器電阻的實際阻值Ri,1，即對于每個i，有

(6)

其中，Rrelay為繼電器阻值。因此主電阻網絡的零點偏移為

(7)

之后，需要先計算主電阻網絡在[0,Rmax-Rmin)上的取值精度，再根據最大誤差設計補償電阻網絡。

補償電阻網絡的設計主要關注目標電阻源的精度，因此首先需要得到電阻網絡的精度，其計算方法如算法4所示。

在算法4中，Solve_B()是根據電阻網絡模型求解開關陣列的算法，本文采用逐次逼近的算法[15]。該算法將目標阻值與開關對應的權值逐一比較。如果目標阻值大于權值，則該開關為斷開，目標阻值減去權值；否則，開關為閉合。按照此方法，直到所有權值參與比較。Solve_R()是根據電阻網絡開關陣列計算實際電阻值的函數，即定義1。

算法4 電阻網絡精度計算

特別地，Solve_B()求解的開關陣列對應實際電阻值總是小于給定電阻值，其目的在于為后續增加的補償電阻網絡提供條件。

將算法4中得到的量程范圍內最大差值Error記為δRmain，下一步為根據δRmain進行補償電阻網絡設計。與主電阻網絡不同，補償電阻網絡應當更加注重精度而非減少電阻數量。對此，采用算法5進行補償網絡的優化求解。

算法5 補償電阻網絡生成與優化

2.3 偏移電阻網絡設計

偏移電阻網絡的主要作用包括兩個：一個是為量程范圍做整體平移，使主電阻網絡需要解決的量程為[0,Rmax-Rmin)，而非設計目標量程[Rmin,Rmax)，這有利于主電阻網絡基準電阻的靈活選擇；另一個是，由于Ri,1>0，主電阻網絡與補償電阻網絡在開關均閉合時存在零點偏移，偏移電阻網絡還應考慮這一阻值，即考慮主電阻網絡零點偏移Rmain,0和補償電阻網絡零點偏移Rcomp,0等誤差對最終輸出的影響。

因此，偏移電阻網絡阻值Roffset為

Roffset=Rmin-Rmain,0-Rcomp,0

(8)

3 仿真結果與分析

3.1 算法仿真與分析

以輸出90～250 Ω阻值范圍為例，對算法進行驗證。目標精度設置為5 mΩ，選擇接觸電阻小的繼電器，其典型值為1.2 mΩ。

算法3僅給出了優化思路，具體的求解方法可以采取遍歷、線性搜索、進化算法等。考慮本實例規模較小，可采用遍歷的方法。遍歷范圍為[Rmax-Rmin,5(Rmax-Rmin))，即[160 000,800 000)。使用MATLAB進行仿真，遍歷過程如圖2所示。

圖2 主電阻網絡遍歷過程Fig.2 Traversal process of MRN

圖2中Rinput為輸入算法3的阻值，NRs為對應該阻值通過算法1與算法2得到的電阻數量。以圖2中NRs最小的點為最佳值，最終得到主電阻網絡電阻數量為21，主電阻網絡阻值分布如表1所示。

表1 主電阻網絡阻值分布

與算法3類似，算法5僅為求解思路，具體優化方法同樣采用遍歷算法。與主電阻網絡不同，補償電阻網絡更加注重輸出精度。

補償電阻網絡遍歷過程如圖3所示，圖中Rinput為輸入算法5的最大誤差，RmaxError為對應該輸入的補償電阻網絡最大阻值誤差。Rinput的遍歷范圍為[δRmain,5δRmain)，即[14,70)。以圖3中RmaxError最小的點為最佳值，可得到對應的補償電阻網絡阻值分布如表2所示。

圖3 補償電阻網絡遍歷過程Fig.3 Traversal process of CRN

表2 補償電阻網絡阻值分布

仿真得到Rmain,0值為18.5 mΩ，Rcomp,0值為2.95 mΩ，再由式(8)可得Roffset為89 978.55 mΩ。最終，該程控繼電器電阻網絡仿真輸出精度為4.431 3 mΩ，滿足目標精度要求。

該算法解算時間僅為18.128 s。相比于人工設計的方式，本文提出的方法大大提高了設計效率。

3.2 目標精度與基準電阻數量分析

前文采用的優化準則是主網絡電阻數量最少的原則，本小節綜合考慮目標精度與基準電阻，對整體最優方案深入探討。

以輸出90～250 Ω阻值范圍為例，選擇接觸電阻典型值為1.2 mΩ的繼電器，分別設定目標精度為[2,10]毫歐級，利用本文算法進行求解。

目標精度與實現精度對比如表3所示。結果表明，理論上可以滿足目標精度為[2,10] 毫歐級的精度要求。

表3 目標精度與實現精度對比

目標精度與電阻數量之間的關系如圖4所示。在實現毫歐級目標精度時，總體上遵循的規律為目標精度越高，需要的電阻數量越多。但是，可能存在奇點，如圖4中目標精度為6 mΩ的情況。對于奇點，可利用高目標精度方案與低目標精度方案的包含關系，即目標精度高的方案可滿足目標精度低的需求，從目標精度更高方案中選擇電阻數量最少的方案作為最終結果。

圖4 精度與電阻數量之間的關系Fig.4 Relationship between accuracy and number

因此，聯合考慮電阻數量和精度兩個維度來選擇最終的算法時，存在兩種可能結果：一種是由算法求解該目標精度得到的電阻數量為最少；另一種是算法求解更高目標精度得到的電阻數量為最少。

綜上，綜合考慮電阻數量和精度，為生成最佳方案，可采用的策略為，先按本文算法求出滿足該目標精度的電阻網絡，而后考慮更高目標精度對應的電阻網絡，通過比較電阻數量，選出同時滿足目標精度需求和電阻數量最少的最優方案。

此外，當阻值精度設定為10 mΩ時，便可不需要補償電阻網絡，這也驗證了補償電阻網絡的主要作用范圍為毫歐級精度。

4 結論

針對高精度程控繼電器電阻網絡設計復雜的問題，提出一種高精度程控繼電器電阻網絡生成算法，該算法根據需求量程和精度，自動生成繼電器電阻網絡。

仿真結果表明，根據本文算法得到的繼電器電阻網絡可滿足目標精度要求。該算法大大提高了設計效率，具有較好的工程應用價值。