運用數學計數原理速解同分異構體數目判斷題

魯名峰

摘要：分析闡釋分類加法計數原理和分步乘法計數原理，舉例詳解運用兩個數學原理推理限定條件有機物同分異構體數目的方法。該方法簡單易學、快捷高效，既能防止重復書寫，又能避免遺漏，實踐效果顯著。

關鍵詞：同分異構體; 分類加法計數原理; 分步乘法計數原理; 同分異構體數目判斷

文章編號：10056629（2021）11008405

中圖分類號：G633.8

文獻標識碼：B

同分異構體是高考熱門考點。筆者統計近五年（2016～2020年）高考全國卷15套試卷中的有機化學試題獲知： 有機單選題中同分異構體出現6次，頻率達40%，位居高頻考點序列第四;有機非選擇題中同分異構體考點出現14次，頻率達93%，位居高頻考點序列第二。

同分異構體考點的能力要求為： 準確理解鍵線式表達的有機物分子的空間結構，熟練掌握有機物分類系列，嚴密有序地推斷同分異構體數目，快速書寫限定條件的同分異構體。這些應試要求對學生思維的準確性、條理性、發散性、全面性、敏捷性均提出了較高要求。同分異構體考點既能考查考生的化學學科必備知識，又能檢測考生的化學學科關鍵能力。

高考化學答題時間分配一般是： 單項選擇題每道1分鐘，非選擇大題每道8分鐘，平均到每一空約1.5分鐘，還留出10分鐘的機動時間。如果在限定時間內做不出來，就意味著考生無法做完全部試卷。如果考生在考場上采用列舉法逐一寫出同分異構體再統計數目，最少得5分鐘以上，還要特別熟練才行，顯然列舉法不可取。運用數學計數原理可以快速解答同分異構體的數目判斷問題。

1 分類加法計數原理

1.1 數學原理

完成一件事有兩類不同方案（兩類不同方案中的方法互不相同），在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法。那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法。

1.2 推論

完成一項工程有n個方案，每個方案有mi種不同方法，所有方法互不相同，每種方法可以獨立完成該項工程，則完成該項工程的方法共有： N=∑ni=1mi[1]。

舉例： 假設張老師5月4日從深圳去北京，可以選擇飛機、高鐵、快車、自駕四種方式。其中飛機可以乘坐國航、南航、川航、深航各一航班，高鐵該日有四列車次，快車有五列車次，自駕可以走三種不同高速線路，如圖1所示。

舉例圖1

則張老師從深圳去北京的方法一共有： 4+4+5+3=16種。

1.3 遷移應用——同分異構體數目判斷

首先根據化學式確定有機物分子的不飽和度，由不飽和度判斷屬類別，每個屬類別再依次按碳鏈異構、位置異構推斷同分異構體數目，把所有類別數目相加即得總的同分異構體數。

例1 分子式為C4H7Cl的同分異構體（不考慮立體異構和順反異構）共有幾種？

解析： 有機物C4H7Cl是C4H8的一氯代烴，C4H8的不飽和度是1，故該有機物為一氯代烯烴或一氯代單環烷烴兩類。

（Ⅰ） 一氯代烯烴同分異構體：

碳鏈異構有兩類： （1）C—C—C—C和（2）CCCC。

（1） 的雙鍵位置異構有兩種： CC—C—C， C—CC—C。氯原子連在不等效碳原子上，得不同種同分異構體：C①↓C②↓C③↓C④↓和⑤↑CC↑⑥CC，共4+2=6種。

（2） 的雙鍵位置異構只有1種CCCC，氯原子連在不等效碳原子上，得不同種同分異構體：

C⑦↓CCC⑧↓，共2種。

（Ⅱ） 一氯代單環烷烴同分異構體：

碳鏈異構：和，氯原子連在不等效碳原子上，得不同種同分異構體：

和，共1+3=4種。

由分類加法計數原理得同分異構體總數為： 4+2+2+1+3=12種。

例2 [2019新課標Ⅱ， T13]分子式為C4H8BrCl的有機物共有（不含立體異構）（? ）。

A. 8種

B. 10種

C. 12種

D. 14種

解析： C4H8BrCl的不飽和度是0，是二鹵代烷烴。

碳鏈異構有2種，每一種碳鏈用定氯移溴的方法得出同分異構體數，分別為：

ClC①↓C②↓C③↓C④↓，4種;C⑤↓CCl⑥↓C⑦↓C⑧↓，4種;

ClC⑨↓CC⑩↓CB11↓，3種;CB12↓CClCC，1種。

由分類加法計數原理得同分異構體總數為： 4+4+3+1=12種。

例3[2016新課標Ⅰ卷，T38（5）]具有一種官能團的二取代芳香化合物W是E（H3COOCCOOCH3）的同分異構體，0.5mol W與足量碳酸氫鈉溶液反應生成44g CO2， W共有?? 種（不含立體結構），其中核磁共振氫譜為三組峰的結構簡式為?? 。

解析：0.5mol W與足量碳酸氫鈉溶液反應生成44g CO2，說明W分子中含有2個—COOH，則其可能的支鏈情況是： —COOH、 —CH2CH2COOH;—COOH、 —CH（CH3）COOH; 2個—CH2COOH; —CH3、 —CH（COOH）2四種情況。每一種情況有鄰位、間位、對位三種同分異構體，故W可能的同分異構體種類共有4×3=12種，其中核磁共振氫譜為三組峰的結構簡式為：HOOCCH2CH2COOH。

2 分步乘法計數原理

2.1 數學原理

完成一件事需要兩個步驟（無論第1步采用哪種方法，都不影響第2步方法的選取），做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法。

2.2 推論

完成一件事，需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法[2]。

舉例： 做一件事（從A到D）需2步完成： A→B→D， A→B有3種辦法，B→D有2種辦法，如圖2所示。

舉例圖2

則做這件事一共有3×2=6種辦法。

2.3 遷移應用——同分異構體數目判斷

例4 有機物甲分子式為C12H16O2，在酸性條件下水解生成乙和丙。丙遇FeCl3溶液顯紫色，核磁共振氫譜有四個峰且峰面積之比為1∶2∶2∶1，甲可能的結構有（? ）

A. 6種

B. 8種

C. 10種

D. 12種

解析： 丙遇FeCl3溶液顯紫色，則丙有酚羥基。丙的核磁共振氫譜有四個峰且峰面積之比為1∶2∶2∶1，則丙只能是苯酚。即有機物甲為羧酸苯酚酯，其基本結構為：OCOC5H11。有機物甲的同分異構體數目由兩個分子碎片的異構體決定： 酚類異構體數和戊烷基C5H11的異構體數決定。苯酚的酚類同分異構體只有1種，戊烷基異構體有8種，則甲的同分異構體數目可由分步乘法計數原理計算： 1×8=8種。

例5有機物甲分子式為C11H13O2Cl的芳香族化合物，在酸性水溶液中水解后生成乙和丙兩種物質，丙能使FeCl3溶液顯紫色，紅外光譜顯示丙中含有氯原子而無烴基取代基，則有機物甲可能的結構有幾種？

解析： 有機物甲在酸性水溶液中水解生成乙和丙，丙遇FeCl3溶液顯紫色，則丙有酚羥基。紅外光譜顯示丙中含有氯原子而無烴基取代基，則丙的苯環上只有羥基和氯原子。由此得出有機物甲為氯代苯酚與五碳飽和一元羧酸生成的酯。

氯代苯酚有鄰、間、對位3種同分異構體，五碳飽和一元羧酸的同分異構體數目由丁烷基決定，丁烷基有4種同分異構體。由分步乘法計數原理得有機物甲的同分異構體數為： 3×4=12種。

例6 [2013年全國卷Ⅰ， T12]分子式為C5H10O2的有機物在酸性條件下可水解為酸和醇，若不考慮立體異構，這些酸和醇重新組合可形成的酯共有（? ）。

A. 15種

B. 28種

C. 32種

D. 40種

解析： 由題意知該有機物為酯，水解可能的酸和醇如表1所示。

酸的同分異構體數為1+1+1+2=5;醇的同分異構體數為4+2+1+1=8。根據分步乘法計數原理，由水解產生的酸和醇重新組合的酯共有： 5×8=40種[3]。

3 綜合兩個數學計數原理進行推斷

例7 有機物甲分子式為C9H9O2Cl的芳香族化合物，能同時滿足下列條件的同分異構體可能有幾種？a.苯環上連接著Cl; b.在酸性水溶液中水解后的一種產物遇FeCl3溶液顯紫色。

解析： 在酸性水溶液中能水解，說明有酯基。水解后一種產物遇FeCl3溶液顯紫色，說明該水解產物中含有酚羥基。結合分子式可以推斷有機物甲是氯代苯酚與羧酸生成的酯。

每類酯由氯代苯酚與羧酸酯化而成，由分步乘法計數原理得同分異構體數如表2所示。

每類都可以構成酯，共有4類，由分類加法計數原理得同分異構體共有： 3+10+10+16=39種。

4 熟記分子“構件”異構體數目

記住苯環上不同個數取代基的同分異構體數目和不同數目碳原子的烷基的同分異構體數目，運用上文講的兩種數學計數原理，可以快速推斷同分異構體數目。

苯環連有不同數目和類別的取代基時的異構體數如表3所示。

不同碳原子數的烷基的同分異構體數如表4所示。

其中XYZW代表苯環上四種不同的取代基，比如苯環上有XYZW四種不同的取代基時有30種同分異構體。這些同分異構體數目是通過列舉法逐一寫出同分異構體后統計得出或通過排列組合數學推理得出的，因篇幅所限本文不再贅述，考生沒有必要也沒有時間在考場上逐一書寫或推理，熟記這兩個表格中的內容即可快速推理[4， 5]。

例8 [2013新課標Ⅰ卷，T38（6）]F（C8H8O2）的同分異構體中，既能發生銀鏡反應，又能與FeCl3溶液發生顯色反應的共有?? 種，其中核磁共振氫譜為5組峰，且峰面積比為2∶2∶2∶1∶1的為?? （寫結構簡式）。

解析： 能發生銀鏡反應說明有醛基，又能與FeCl3溶液發生顯色反應說明有酚羥基，故F有兩類不同類型的取代基，如表5所示。

同分異構體有13種，其中峰面積之比為2∶2∶2∶1∶1的結構簡式為：HOCH2CHO。

例9 [2014全國Ⅰ卷，T38]F（C8H11N）的同分異構體中含有苯環的有?? 種（不考慮立體異構）。其中核磁共振氫譜中有4組峰，且面積比為6∶2∶2∶1的是?? （寫出其中的一種結構簡式）。

解析： 含苯環，摳除一個ph—，?！狢2H6N，則F為胺，有下列8種情況，見表6。

含有苯環的同分異構體有19種，其中核磁共振氫譜中有4組峰，且面積比為6∶2∶2∶1的有下列三種，任寫一種即可：

H3CNH2H3C、CH3NH2CH3、NCH3CH3

例10 芳香族化合物甲的分子式為C12H16O2，在酸性水溶液中水解后滴加FeCl3溶液顯紫色，水解的一類產物至少含有兩個碳原子，則有機物甲的芳香族類化合物的同分異構體有多少種？

解析： 摳除酯基中的CO后，兩個分子“構件”有12種組合，如表7所示。

根據分類加法計數原理，把12種組合的同分異構體數目加起來即得符合條件的同分異構體總數——117種。

恩格斯說：“科學之所以成為科學是因為應用了數學?！被瘜W不能排斥數學，相反，要習慣運用數學的知識、數學的觀念去解決化學問題。如在定量實驗中運用回歸直線方程解決化學問題;在計算化學中運用熱力學數據判斷反應的可行性問題;在醫藥制造和材料合成中運用計算機程序設計有機物分子可能結構并運用數學手段篩選具備一定結構特點的有機物目標分子和可能可行的合成路線。本文運用數學計數原理解決有機物同分異構體數目判斷問題，并非純數學運算，依據題給限定條件推理有機物的可能結構對考生有機化學知識的熟練程度提出較高要求，因而運用本文述及的方法解決此類問題不會削弱試題對考生必備知識和學科能力的考查。另外，這兩個數學原理雖對部分化學教師而言有些陌生，但對于參加高考的學生而言因高中數學課上剛學過，高考前又復習過，可謂輕車熟路，教學實踐也不止一屆證明運用數學計數原理解決同分異構體數目的判斷問題是可行的。

參考文獻：

[1][2]李勇. 普通高中課程標準實驗教科書·數學選修2[M]. 北京： 人民教育出版社， 2009： 2～5.

[3]霍本斌. 再談如何確定有機物同分異構體的數量[J]. 化學教學， 2013， （10）： 64.

[4]周偉華. 限定條件下單苯環有機物同分異構體書寫與判斷[J]. 中學化學， 2018， （6）： 47～48.

[5]朱建兵， 袁春仙， 王秋霞. 有限制條件的同分異構體書寫策略[J]. 化學教學， 2012， （8）： 62～63.