“模”出本質(zhì) 發(fā)展思維
——模型思想在“稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”中的應(yīng)用

江蘇省無錫市安鎮(zhèn)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 許海英

數(shù)學(xué)新課標(biāo)中明確要求：讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。數(shù)學(xué)模型思想是數(shù)學(xué)學(xué)科核心思想的重要組成部分，主要指在認(rèn)識、理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識時(shí)能夠?qū)⒊橄蠡臄?shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等以形象化的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表示。培養(yǎng)模型思想不僅有助于學(xué)生掌握知識的內(nèi)在本質(zhì)，更能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維能力，從而提高其解決問題的能力。

由于小學(xué)生自身認(rèn)知水平相對較低，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，教師需要引導(dǎo)其發(fā)展數(shù)學(xué)思維，并重視培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)模型思想。這對教師來說是一種能力的挑戰(zhàn)，教師要能善于捕捉教材中數(shù)學(xué)知識與模型思想的契合點(diǎn)，積極創(chuàng)新教學(xué)模式，將抽象的數(shù)學(xué)知識在模型思想的助力下形象化，便于學(xué)生理解和掌握，同時(shí)也發(fā)展了學(xué)生的思維能力。“稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是百分?jǐn)?shù)知識的一個(gè)難點(diǎn)，不少學(xué)生對這類“看似差不多的題目”表現(xiàn)出不知所措。其實(shí)學(xué)生可以運(yùn)用建模思想解決相關(guān)問題，以不變的數(shù)量關(guān)系為“型”，“模”出知識本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。下面筆者就具體談一談。

一、還原問題，滲透模型思想

教師所提出的數(shù)學(xué)問題是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要基礎(chǔ)。好的數(shù)學(xué)問題能喚起學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)探索，激發(fā)思維。“稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”比學(xué)生已學(xué)的“百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”更復(fù)雜一些，主要是題目中的單位“1”未知，量率又不對應(yīng)，但內(nèi)在本質(zhì)是不變的，那就是它們有著一致的數(shù)量關(guān)系。基于這一點(diǎn)，教師反而可以將問題情境還原到之前，讓學(xué)生在“走走回頭路”的過程中喚起已有經(jīng)驗(yàn)，得出數(shù)量關(guān)系，滲透模型思想。

【教學(xué)片段一】

復(fù)習(xí)引入：錢大伯原計(jì)劃培育400棵松樹苗，實(shí)際比原計(jì)劃多20%， ？

1.嘗試畫線段圖

提問：先畫誰的棵數(shù)？為什么？（圈出單位“1”）

2.觀察

提問：實(shí)際培育棵數(shù)與原計(jì)劃之間有什么關(guān)系？（相機(jī)板書）

原計(jì)劃培育的棵數(shù)×20%=實(shí)際比原計(jì)劃多培育的棵數(shù)

3.提出問題

①實(shí)際比原計(jì)劃多培育多少棵？

②實(shí)際培育多少棵？

4.在線段圖中補(bǔ)充問題并獨(dú)立解題

解題1：400×20%=80（棵）

解題2：400×20%=80（棵）

5.比較

這兩題有什么相同點(diǎn)？又有什么不同點(diǎn)？相同點(diǎn)：單位“1”已知，都用乘法計(jì)算。不同點(diǎn)：問題不同。

第一題：求“實(shí)際比原計(jì)劃多培育的棵數(shù)”=原計(jì)劃培育的棵數(shù)×20%（一步計(jì)算）

第二題：求“實(shí)際培育棵數(shù)”=原計(jì)劃培育的棵數(shù)+實(shí)際比原計(jì)劃多培育的棵數(shù)（兩步計(jì)算——先求多出來的棵數(shù)，再求實(shí)際培育的棵數(shù)），或者用原計(jì)劃培育的棵數(shù)×（1+20%）。

理解數(shù)量關(guān)系對于解決實(shí)際問題來說是至關(guān)重要的，而看似復(fù)雜多變的百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題相較于小學(xué)階段的其他實(shí)際問題，它們內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系反而顯得簡單而清楚：“一個(gè)量是另一個(gè)量的百分之幾”或“一個(gè)量比另一個(gè)量多（少）百分之幾”，無論單位“1”是已知還是未知，量率對應(yīng)與否，其基本的數(shù)量關(guān)系都是這樣的。既然如此，那學(xué)生的學(xué)習(xí)就可以以此為起點(diǎn)，還原問題情境，先從舊知中尋找數(shù)量關(guān)系，滲透模型思想。

二、發(fā)掘本質(zhì)，形成模型思想

在學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，特別是遇到比較難理解的內(nèi)容時(shí)，教師要抓住相關(guān)知識點(diǎn)之間的緊密聯(lián)系，創(chuàng)新教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用觀察、對比、操作、交流等多種方式，透過數(shù)學(xué)表象看到數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助他們形成相應(yīng)的建模思想。結(jié)合本節(jié)課，在兩道復(fù)習(xí)題的基礎(chǔ)上，教師又進(jìn)行了兩次改編。學(xué)生在層層對比中感悟到“萬變不離其宗”，數(shù)量關(guān)系并沒有發(fā)生變化，解題思路逐漸明朗。

【教學(xué)片段二】

1.改編題目（例題）

錢大伯實(shí)際培育480棵松樹苗，實(shí)際比原計(jì)劃多20%，問原計(jì)劃培育了多少棵？

（1）觀察比較

與兩道復(fù)習(xí)題相比，有哪些相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

相同點(diǎn)：根據(jù)“實(shí)際比原計(jì)劃多20%”得出單位“1”不變——還是把原計(jì)劃培育松樹苗棵數(shù)看作單位“1”，且數(shù)量關(guān)系也不變。（強(qiáng)調(diào)原來三個(gè)數(shù)量關(guān)系式）

不同點(diǎn)：原來單位“1”已知，現(xiàn)在單位“1”未知。

（2）修改線段圖

思考：線段圖哪些地方不變，哪些地方要變？

指出：因?yàn)閿?shù)量關(guān)系不變，所以圖的整體框架都不變，只要調(diào)換已知量和未知量。

（3）交流解題方法

提問：現(xiàn)在要用什么方法做？為什么用方程或除法計(jì)算？（單位“1”未知）

追問：可以依據(jù)哪個(gè)數(shù)量關(guān)系式進(jìn)行列式？你是怎么想的？（強(qiáng)調(diào)依據(jù)原數(shù)量關(guān)系式思考列式，不過要看清已知量）

（4）獨(dú)立解答后交流

解：設(shè)原計(jì)劃培育x棵松樹苗。

a：x+20%x=480

2.再次改編題目

錢大伯實(shí)際比原計(jì)劃多培育了80棵松樹苗，比原計(jì)劃多20%。原計(jì)劃培育松樹苗多少棵？

（1）獨(dú)立修改線段圖

（2）獨(dú)立解題

解：設(shè)原計(jì)劃培育x棵松樹苗。

（3）觀察比較異同

題問：①為什么還是用方程或除法解題？（單位“1”未知）

②為什么只要一步計(jì)算？你是怎么想的？（還是依據(jù)原來的數(shù)量關(guān)系，只不過80棵是實(shí)際比原計(jì)劃多培育的棵數(shù)=原計(jì)劃培育棵數(shù)×20%）

畫圖是解決問題的有效策略，可以使數(shù)量之間的關(guān)系可視化，變抽象為直觀。教師在出示例題后讓學(xué)生先初步觀察比較，再通過對線段圖上“哪些要改，哪些根本不要改”進(jìn)行思辨，使學(xué)生更深刻地領(lǐng)悟到各題中數(shù)量關(guān)系的一致性，促使模型思想在學(xué)生頭腦中逐步形成，接下來的學(xué)習(xí)就更為輕松。學(xué)生只需關(guān)注題目細(xì)節(jié)，如單位“1”是否已知，量率的對應(yīng)情況，從而更好地解決實(shí)際問題。

三、自主反思，建立模型思想

學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成，既需要教師的有意滲透引導(dǎo)，又需要靠學(xué)生自己在反思過程中深刻領(lǐng)悟。著名的荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：反思是重要的思維活動(dòng)，是思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力。因此，在學(xué)生思考之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生“回頭看走過的路”，自覺反思學(xué)習(xí)過程，建立模型思想，從而提升思維品質(zhì)。結(jié)合本節(jié)課來看，及時(shí)的回顧使學(xué)生再一次深刻感悟到了“百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也對此有了更完整、更系統(tǒng)的認(rèn)識。

【教學(xué)片段三】

提問：剛才我們了解了四道“百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”的題目，（出示）你發(fā)現(xiàn)了什么？

指出：根據(jù)每道題目中“實(shí)際比原計(jì)劃多培育20%”可知，四道題目兩個(gè)量之間的關(guān)系是不變的，解題時(shí)就只要依據(jù)不變的數(shù)量關(guān)系思考列式。但區(qū)別在于：單位“1”已知用乘法計(jì)算，單位“1”未知用方程或除法計(jì)算。此外，還需要注意看清已知量和所需要解答的問題，確定是一步計(jì)算還是兩步計(jì)算。

自主反思是建立模型思想的關(guān)鍵要素，學(xué)生通過對最后四道題目進(jìn)行整合對比，立即感覺把百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題學(xué)通了——只要找到變化中不變的數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合具體題目具體分析就可以了。模型思想的建立使學(xué)生更好地認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，同時(shí)也從中學(xué)到了思考問題的角度與方法，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，提高了解決問題的能力。要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，教師首先自身要有一定的數(shù)學(xué)模型思想意識，并善于將其融入平時(shí)的課堂教學(xué)中，積極創(chuàng)新教學(xué)模式，這樣的課堂才會(huì)是高效的課堂。