精軋機分速箱齒輪系統動力學建模與試驗研究

張科，張明，張雄飛，賈國平

（1.河北鋼鐵集團邯鄲鋼鐵集團有限責任公司大型軋鋼廠，河北 邯鄲 056015；2.河北工程大學機械與裝備工程學院，河北 邯鄲 056038；3.邯鄲市永年區職業技術教育中心，河北 邯鄲 057150）

熱軋精軋機組傳動系統包括電機、減速機、主軸、分速箱、接軸和輥系組成。熱軋精軋機傳動系統通過齒輪分速箱使上下輥系進行等速轉動。分速箱作為傳動系統的一部分，其動力學特性對軋機傳動系統至關重要。近年來，熱軋機傳動系統振動問題頻繁，劇烈振動傳遞到分速箱中，當振動頻率與分速箱系統固有頻率相接近時，發生劇烈共振，加劇傳動系統的振動程度，引起分速箱等部件發生磨損，甚至重大事故。研究分速箱的動態特性，對揭示振動傳遞、放大機理，保障設備穩定運行具有重要作用。分速箱主要由箱體、人字齒齒輪軸、軸承部分組成。齒輪系統中具有軸與軸承支承結合部和輪齒嚙合結合部，結合部的動態特性對整個齒輪系統的動力學特征有著重要的影響。因此，建立分速箱齒輪系統動力學模型關鍵是軸承支撐剛度和齒輪嚙合剛度計算。

1 齒輪動力學模型建立

齒輪分速箱中齒輪軸是由兩個斜齒輪組成的人字齒傳動結構，如圖1所示。在齒輪傳動中，由于一個齒輪軸上的兩個斜齒輪嚙合產生的軸向動態嚙合分力相互抵消，因此，齒輪系統主要有扭轉振動和橫向振動(在二維平面內的平移運動），振動形式表現為齒輪系統的彎-扭耦合振動。在這種情況下，一對斜齒輪副的典型的動力學模型如圖2所示。

圖1 齒輪彎-扭耦合動力學模型

圖2 齒輪彎-扭耦合動力學模型

圖2 中Ip、Ig分別為主、被動齒輪的轉動慣量，mp、mg分別為主、被動齒輪的平動慣量，Rp、Rg分別為主、被動齒輪的分度圓半徑，Cpy、Cgy分別為主、被動齒輪的y方向平動的阻尼系數，kpy、kgy分別為主、被動齒輪的y方向平動的剛度。

齒輪動力學模型為一個二維平面振動系統，為簡化計算，不考慮齒面摩擦，輪齒的動態嚙合力沿嚙合線方向作用，因此，該模型為4自由度系統，分別為主、被動齒輪繞旋轉中心的轉動自由度和y方向的平移自由度。其廣義坐標矩陣[]δ為：

式中，yp、yg分別為主、被動齒輪y方向的平移振動位移；θp、θg分別為主、被動齒輪繞旋轉中心轉動位移。

由圖2可知，P點的振動位移與主動輪廣義坐標之間的關系為：

G點的振動位移與被動輪廣義坐標之間的關系為：

設輪齒嚙合的法向剛度為km，則橫向剛度為

因此，系統的動力學分析模型為

式中，切向動態嚙合力Fp為

將切向動態嚙合力Fp代入式（5）中，并整理成下面矩陣形式

由于求解系統的固有頻率，因此可以不考慮阻尼矩陣和激振力矩陣。只需要求解出剛度矩陣和質量矩陣便可。則

2 參數計算

2.1 質量參數計算

根據上下齒輪軸的零件圖可以計算出齒輪軸的質量及轉動質量。其中mp= 13703.9kg，Ip= 1059.4kg?m2，mg=10943.3 kg，Ig= 933.8kg?m2。

2.2 齒輪嚙合剛度計算

對斜齒輪系統，由于其嚙合是由輪齒的一端開始，并逐漸擴展至整個齒面，最后由輪齒的另一端退出嚙合的。因此，斜齒輪輪齒的嚙合綜合剛度雖然是時變的，但并不像直齒嚙合剛度存在著階躍性突變，而是在某一均值下的微小波動。由此，輪齒嚙合剛度用平均剛度來簡化對線性耦合振動動態特性的分析是適宜的。影響輪齒嚙合剛度的主要因素有：齒形參數(齒厚、齒高、齒形及曲率半徑)、設計參數(螺旋角β、重合度αε、齒圈截面形狀等)、齒輪制造誤差及齒向嚙合誤差。可以根據一種常用的方法來確定輪齒平均嚙合剛度。該方法中定義了單對齒嚙合剛度和平均嚙合剛度。

對于外嚙合剛性齒輪，在載荷作用下，其單對齒剛度可按下式計算：

式中，Zv2、Zv2分別為大、小齒輪的當量齒數。

式中，αε為端面重合度。

上式適用于 45β≤ °的斜齒輪。而此分速箱中齒輪的螺旋角β= 25.7245°。

總嚙合剛度為

式中，b為齒輪寬度，b=0.76m。

則依據公式(10)～(12)可計算出km1=km2= 1.86× 1 010N/m 。

此分速箱中，由于每個齒輪軸中都有兩個齒輪，在此把兩個單個齒輪看作并聯關系，即齒輪軸上的齒輪嚙合剛度等于其上兩個斜齒輪的嚙合剛度之和。則齒輪軸的總嚙合剛度為k= 3.72× 1010N/m。

2.3 平移剛度kpy和kgy計算

圖3為分速箱中齒輪軸的軸承布置圖。根據圖3，kpy和kgy分別為上下兩組雙列圓錐滾子軸承徑向剛度的等效剛度。參考文獻7和文獻8，可知圓錐滾子軸承的徑向剛度計算公式為

圖3 分速箱中齒輪軸的軸承布置圖

式中，l為滾子全長，mm；z為滾子數；α為接觸角；aF為預緊力，N。

式中，d為軸承孔徑，mm。

查詢零件圖可知，l=82mm，α=11°z=28、30、23，0aF=2100N。

根據式（13），并基于串聯等效原則，可分別計算出，k=1.58× 1010N/m ，kgy= 1.46× 1 010N/m 。

綜合以上計算結果，則系統參數如表1所示。

表1 齒輪傳動系統參數表

把表1的參數代入公式(4)、(8)、(9)中，利用matlab求解特征值和特征向量的函數[ V ,D] = eig(K,M)，可以很方便地求出齒輪系統的各階固有頻率及主振型（表2）。

表2 主傳動系統的各階固有頻率及主振型（Hz）

可見，第一階固有頻率為零，表示存在剛體運動。這和采用的模型是相關的，因為齒輪在扭轉方向上是無約束的，數學上體現為剛度矩陣K并不是正定矩陣，而是半正定矩陣。第二階固有頻率為165.5Hz，振型表現為主動齒輪與被動齒輪反向平動和反向轉動。第三階固有頻率為180.2Hz，振型表現為主動齒輪與被動齒輪同向平動和反向轉動。第四階固有頻率為180.2Hz，振型表現為主動齒輪與被動齒輪同向平動和反向轉動。由動力學理論可知，設備的前幾階固有頻率振動容易被激發，而且當外界激勵載荷頻率與結構固有頻率相近時，產生較強的振動幅值。

3 齒輪箱振動測試

為驗證模型的準確性，對齒輪分速箱開展振動測試，分別在輸入側和輸出側箱體上布置加速度傳感器。采集分速箱輸入側和輸出側的動態響應信號。

在軋制過程中，該軋機出現了劇烈振動，振源位置為弧形齒接軸。振動是由于弧形齒磨損，嚙合間隙過大，產生嚙合沖擊引起的。因此，振動主要頻率為弧形齒嚙合頻率，加之結構的非線性將衍生出其二倍頻和三倍頻的振動頻率。分速箱與弧形齒接軸直接相連，接軸劇烈振動傳遞到分速箱中，引起分速箱出現振動。根據軋制工藝參數，計算弧形齒接軸嚙合頻率處在55～60Hz，其二倍頻、三倍頻分別處在110～120Hz和165～180Hz。因此，在分速箱振動測試試驗中，分速箱外界激勵載荷頻率為55～60Hz及其倍頻，且基頻載荷幅值最大（圖4）。

圖4 軋機傳動系統布置圖

圖5 和圖6為分速箱輸入側和輸出側的時域信號及其頻域信號。時域圖中，振動幅值在0.2g以內，振動強度整體比較穩定。頻域圖中，分速箱輸入側振動優勢頻率為55Hz、110Hz、145Hz和170Hz，其中145Hz頻率幅值最大，其次為55Hz；輸出側振動優勢頻率為55Hz、105Hz、145Hz、155Hz和170Hz，其中170Hz頻率幅值最大，其次為155Hz附近。總體來看，輸入軸和輸出軸在145～170Hz振動強度較大，超過了基頻引起的振動強度，說明145～170Hz處在分速箱固有頻率附近。外界激勵載荷頻率與分速箱固有頻率相接近，激發了分速箱的共振，使該頻率振動表現出了更強的振幅。

圖5 分速箱輸入側振動時域圖（左圖）、頻域圖（右圖）

圖6 分速箱輸出側時域圖（左圖）、頻域圖（右圖）

通過振動測試可以確定145～170Hz存在分速箱固有頻率，本文理論計算的分速箱二階固有頻率（165.5Hz）和三階固有頻率（180.2Hz）與實際振動測試結果相接近。說明本文建立的齒輪動力學模型是有效的，具有工程價值。

上述分析可知，分速箱固有頻率區間與接軸弧形齒嚙合頻率的二倍頻區間相接近，弧形齒的嚙合沖擊與分速箱齒輪系統發生共振，這也是造成軋機傳動系統振動不斷加劇的原因之一。因此，今后在分速箱結構設計中，需要考慮固有頻率的調整，使之避免與軋機系統其他部件的激振頻率相接近。

4 結語

（1）根據分速箱人字齒輪結構特點，建立了分速箱齒輪系統的彎-扭耦合動力學模型。計算了動力學模型中剛度、質量等關鍵參數，求解了分速箱齒輪系統的固有頻率，分別為0Hz、165.5Hz、180.2Hz和1202Hz。

（2）分速箱振動測試試驗中，外界激勵載荷頻率為55～60Hz及其倍頻；分速箱輸入軸和輸出軸在145～170Hz振動強度較大，超過了基頻引起的振動強度，145～170Hz區間處在分速箱固有頻率附近。

（3）本文理論計算的分速箱二階固有頻率（165.5Hz）和三階固有頻率（180.2Hz）與實際振動測試結果相接近，本文建立的齒輪動力學模型是有效的，具有工程價值。

（4）分速箱齒輪系統固有頻率與接軸弧形齒嚙合頻率二倍頻相接近，引起分速箱共振，加劇軋機傳動系統的振動。