基于虛擬彈簧阻尼的智能車輛路徑預瞄跟蹤控制*

唐雨 冀杰 任玥 趙穎 黃城

（西南大學，重慶 400715）

主題詞：自動駕駛 路徑跟蹤 質量彈簧阻尼 固有頻率 阻尼比

1 前言

路徑跟蹤控制是實現汽車智能化的關鍵技術之一，它主要通過車載傳感器檢測自身位置與期望軌跡的相對偏差，根據路徑跟蹤控制策略計算出轉向角大小和方向，控制車輛沿期望路徑自主行駛[1-3]，在保證車輛主動安全性與穩定性方面具有重要意義。

國內外諸多學者對車輛路徑跟蹤控制的關鍵技術進行了相關研究。由于車輛參數具有不確定性，文獻[4]提出了一種對車輛不確定性和外部干擾具有較強魯棒性的自抗擾控制（Active Disturbance Rejection Control，ADRC）算法，文獻[5]研究了一種基于狀態估計的自適應滑模控制策略，將估計結果作為跟蹤控制系統的輸入量，提高了路徑跟蹤過程中車輛的橫向穩定性。另外，由于車輛動力學行為相對于控制輸入存在時間滯后：文獻[6]、文獻[7]結合單點預瞄方法，分別提出一種非奇異終端滑模控制和自適應滑模控制策略，但所設計的控制器只考慮了橫向位置誤差，未充分考慮車輛橫擺誤差的影響；文獻[8]、文獻[9]提出一種預瞄式模型預測控制（Model Predictive Control，MPC）算法，對車輛相對于車道中心線的橫向運動狀態（車輛橫向位移及橫擺角）偏差進行預瞄，但其優化求解過程計算量較大，導致實時性較差。

通過文獻分析可知，路徑跟蹤控制器主要根據車輛與道路之間的橫向偏差、橫擺角偏差來確定車輛的前輪轉向角，若控制器結構過于復雜，則求解時間較長，將難以在實車上進行實時控制。在工程應用中，質量彈簧阻尼（Mass-Spring-Damper，MSD）模型具有結構簡單、響應速度快、易于控制等優點，當質量、彈簧剛度和阻尼系數確定之后，可根據2個物體之間的相對距離和相對速度求解其運動響應，這與駕駛員在路徑跟蹤過程中的操作行為較為契合。受此啟發，本文在車輛與道路間構建虛擬MSD系統，用于解決車輛的道路跟蹤問題。目前，MSD控制主要應用于車輛隊列及飛行器編隊中[10-13]，利用虛擬MSD 理論已開發出很多具體功能，為本文研究奠定了重要的理論基礎。

由此，本文提出了一種基于虛擬MSD 模型與駕駛員預瞄理論相結合的路徑跟蹤控制系統：根據車輛在預瞄點處的橫向位置偏差和橫擺角偏差建立狀態方程，運用MSD 模型，將智能車輛的路徑跟蹤問題轉化為道路曲率變化激勵下的車輛橫向位置偏差及橫擺角偏差振動響應問題。基于此過程設計虛擬彈簧阻尼控制律，以穩定性和快速性為控制目標對控制器參數固有頻率和阻尼比進行約束，并提出系統誤差性能函數，優化求解得到控制參數的最優值，最終通過仿真分析及實車試驗對控制器的有效性進行驗證。

2 曲率激勵下的虛擬MSD模型

2.1 預瞄式MSD運動模型

基于駕駛員預瞄與虛擬彈簧阻尼理論，建立如圖1所示的車輛路徑跟蹤運動模型。

圖1 預瞄式MSD運動模型

圖1 所示的車輛運動模型模擬了駕駛員的預瞄行為，以受控車輛為虛擬MSD模型的質量元件，在預瞄點處構建2組虛擬的彈簧和阻尼器。其中：虛擬彈簧S1和虛擬阻尼器D1用于描述預瞄點處橫向偏差的響應特性，S1的振幅與橫向距離偏差ys成正比，而D1的振幅與橫向偏差變化率y˙s成正比；虛擬彈簧S2和虛擬阻尼器D2用于描述橫擺角偏差的響應特性，S2的振幅與橫擺角偏差φr成正比，而D2的振幅與橫擺角偏差變化率φ˙r成正比。因此，2組彈簧和阻尼器共同構成了二自由度彈簧阻尼系統，同時對橫向偏差及車輛橫擺角偏差進行控制，從而實現智能車輛的路徑跟蹤。

由振動力學原理可知，虛擬MSD 系統提供的虛擬側向力Fc和橫擺力矩Tc可分別表示為：

式中，k1、k2分別為虛擬彈簧S1和S2的剛度系數；c1、c2分別為虛擬阻尼器D1和D2的阻尼系數。

由圖1可得車輛的預瞄運動模型為：

式中，v為車輛質心速度；β為車輛質心側偏角；ls為預瞄距離；r為橫擺角速度；vx為車輛縱向速度；φd為預瞄點處的期望橫擺角；κ為道路曲率；yc為車輛質心處的橫向距離偏差。

當車輛質心側偏角較小時，可近似得到：

式中，vy為車輛橫向速度。

2.2 車輛動力學模型

為了兼顧控制模型的實時性和有效性，本文選用二自由度車輛模型作為研究對象，如圖2所示，并假設：車輛縱向速度保持不變，只需要考慮車輛的橫擺運動和橫向運動；忽略空氣動力學及道路坡度影響；車輛以前輪轉向，后輪保持轉向角度為0°。圖2 中，XOY為絕對坐標系，xocy為車輛坐標系，oc為車輛質心。

圖2 車輛二自由度模型

根據車輛動力學原理及牛頓運動定律，車輛的橫向動力學模型可表示為：

式中，m為整車質量；Fli(i=f,r)分別為車輛前、后輪縱向力；δf為前輪轉角；Fci(i=f,r)分別為根據Pacejka輪胎模型得到的車輛前、后輪側向力；Iz為車輛繞垂直軸的轉動慣量；lf、lr分別為質心到前軸和后軸的水平距離；αi(i=f,r)分別為前、后輪滑移角；B、C、D和E為Pacejka 模型參數。

由圖2可知，分析輪胎受力時若僅考慮輪胎的側偏特性，當滑移角α和前輪轉角δf較小時，可將側偏力線性近似為：

式中，ci(i=f,r)分別為前、后輪側偏剛度。

對建立的車輛MSD運動模型及車輛動力學模型進行綜合分析，對式（3）和式（4）求導，并結合式（7）～式（11）可得：

將式（1）和式（2）代入式（12）和式（13）中，可得在道路曲率變化的激勵下，基于虛擬MSD 模型的車輛路徑跟蹤響應方程：

3 虛擬MSD控制策略設計

智能車輛的路徑跟蹤需要實現橫向和橫擺運動的協同控制，是具有多狀態變量的問題。基于虛擬MSD的控制方法將運動主體通過虛擬彈簧和阻尼器互相連接，因此運動主體之間存在彈簧力和阻尼力，從而使系統趨于相對運動的平衡位置，保持系統穩定，實現控制目標。因此，本文將車輛的運動狀態（車輛橫向距離及橫擺角）作為控制器的參考輸入，根據車輛動力學特性設計虛擬MSD 路徑跟蹤控制器，通過控制前輪轉角實現車輛的路徑跟蹤。

智能車輛軌跡跟蹤控制系統的實質是以前輪轉角為輸入的單輸入多輸出系統，而式（14）僅為MSD 系統的狀態響應，無法直接作為智能車輛的控制輸入，需進一步轉化為車輛的前輪轉角控制量δf后對車輛進行控制。

綜合考慮車輛質量、虛擬彈簧剛度及阻尼系數的影響，將式（14）進一步轉化為：

對式（15）進行求解，得到在不同控制器參數下的系統狀態x(t)的響應。根據圖2構建的二自由度車輛動力學模型，整合式（7）～式（13），得到考慮橫向距離偏差和橫擺角偏差的MSD控制器的前輪轉向角分別為：

綜合考慮路徑跟蹤過程中橫向距離偏差和橫擺角偏差，本文取總的控制律為：

式中，λ1＞0和λ2＞0為控制加權參數。

橫向距離偏差反映了路徑跟蹤控制的精度，橫擺角偏差則反映了路徑跟蹤控制的穩定性，因此，本文以橫向偏差為主要性能指標，橫擺角偏差為次要性能指標，并經過多次仿真采樣測試，選取性能較優的加權參數為：λ1=0.7，λ2=0.3。

4 任意道路曲率激勵下的MSD系統響應

在智能車輛的路徑跟蹤過程中，外部激勵函數會隨著道路曲率的不同而變化，為得到任意激勵函數下虛擬MSD 系統的控制響應，本文采用脈沖響應法對振動方程式（15）進行求解。

任意激勵函數的幅值大小隨時間變化，一般作用一段時間后停止作用。對于任意函數f(t)，可將其分解為一系列強度為f(t)dτ的脈沖信號，如圖3所示。求解時，先求得每一個沖量f(t)dτ引起的系統響應h(t-τ)，然后利用疊加原理，對所有脈沖引起的響應進行疊加，利用杜哈梅積分得到系統模型在整個激勵函數f(t)作用下的響應。

圖3 杜哈梅積分

圖3中的任意激勵函數f(t)可視為一系列微脈沖的組合，利用疊加原理，任意激勵函數f(t)引起的響應等于所有時刻脈沖響應的總和。所以，MSD 系統對任意激勵的響應為：

式中，h(t-τ)為t=τ時刻的單位脈沖響應函數。

對于單位沖量I=1 N·s，t=0時刻單位脈沖δ(t)激勵下的運動響應為：

將式（20）帶入式（19）中，得到MSD 系統對任意激勵的響應為：

式（21）為杜哈梅積分，利用該公式即可得到式（15）中任意激勵下MSD 系統的狀態響應，進一步可得到車輛前輪轉角δf的控制響應。

5 MSD控制參數優化及確定方法

在智能車輛的自動駕駛過程中，需要兼顧路徑跟蹤控制器的系統穩定性和響應速度。MSD模型中固有頻率ωn和阻尼比ξ是決定上述性能的2 個重要控制參數，不同的取值對系統狀態的影響非常大。因此，本文對圖1 所示系統中MSD 模型的ωn和ξ分別進行求解和優化，在保證控制器穩定性的同時提高系統的響應速度，以實現更理想的路徑跟蹤性能。

MSD 系統根據阻尼比的大小可分為過阻尼（阻尼比ξ＞1）、臨界阻尼（ξ=1）和欠阻尼（ξ＜1）系統，不同阻尼比下的MSD系統在零初始狀態脈沖激勵下狀態響應如圖4所示。

圖4 不同阻尼比下的MSD系統脈沖狀態響應

其中：過阻尼和臨界阻尼系統的響應曲線按指數規律衰減，車輛運動狀態不會產生振蕩，能夠滿足系統穩定性要求，是較為理想的控制狀態；欠阻尼系統的響應曲線為非周期性運動，車輛運動狀態在平衡位置附近往復振動，最終衰減穩定在平衡位置。阻尼比越小，系統達到穩態需要的時間越長，阻尼比過小甚至會導致系統始終無法達到穩定狀態。

結合理論分析及圖4所示的仿真結果，為滿足系統穩定性要求，本文對MSD 控制系統的阻尼比施加初始約束：

在路徑跟蹤過程中，車輛頻繁轉向會極大地影響駕駛員的舒適性和車輛的控制穩定性。因此，本文將前輪轉向角的角速度及其最大超調量作為衡量系統穩定性的指標。假設系統在設定時間內可達到穩定狀態，且整個過程無振蕩現象，最大轉向角等于轉向角穩態值，則理想前輪轉角及其角速度應分別滿足如下約束：

式中，δss為理想轉向角穩態值，t0為系統達到穩態的時間。

為了平滑MSD 系統參數的優化求解過程，在上式約束中加入緩沖區域，將式（23）約束轉化為前輪轉角及其角速度軟約束：

當道路曲率為常數，系統達到穩態時，根據文獻[6]中的方法得車輛穩態轉向角為：

式中，L=lf+lr為軸距。

以如圖5 所示直線-圓弧工況為例，定義車輛縱向速度為72 km/h，分別對2 組MSD 控制器單獨控制時的車輛狀態進行求解，采用控制變量法，對2 組MSD 模型的系統參數進行優化。

圖5 直線-圓弧工況

分別將不同ωn和ξ帶入式（15），結合式（16）、式（17）和式（21），得到不同參數組合下路徑跟蹤控制系統的前輪轉角及其角速度響應，如圖6和圖7所示。

圖6 橫擺角MSD穩定性約束

圖7 橫向間距MSD穩定性約束

當最大前輪轉角大于理想穩態值時，MSD 系統的控制量存在超調，當最大前輪轉角小于理想穩態值時，MSD系統無法在有限時間內達到穩態，這2種情況均不符合理想控制要求。為滿足系統控制穩定性要求，根據約束方程式（24），得到滿足最大轉角的參數組合，如圖6a和圖7a中曲線所示。

最小前輪轉角角速度大于0時，MSD系統無法在有限時間達到穩態，最小前輪轉角角速度小于0 時，MSD系統在控制過程中存在振蕩現象，這2種情況均不符合理想控制要求。為滿足系統控制穩定性，根據約束方程式（24），得到滿足最小前輪轉角角速度的參數組合，如圖6b和圖7b中曲面所示。

結合式（24）中前輪轉角約束及前輪轉角角速度約束，此時最大前輪轉角等于理想穩態前輪轉角，最小前輪轉角角速度為0，系統最大超調量為0，且無振蕩現象，達到了優化效果，此時對應的參數組合即為滿足系統穩定性約束的所有參數組合。

為了平滑路徑跟蹤過程中系統的動態響應，進一步提高控制系統的穩定性及快速性，在對MSD 控制器參數進行優化時，以車輛質心的橫向距離偏差、橫擺角及轉向角響應為指標，構建系統誤差性能函數：

式中，δf(t)為t時刻車輛的前輪轉角；δss(t)為t時刻理想穩態轉向角；yc(t)為t時刻車輛質心處橫向距離偏差；φr(t)為t時刻車輛橫擺角偏差；P、Q、R為性能函數的權重因子。

將前文得到的滿足穩定性約束的參數組合代入系統性能誤差函數進行求解，得到滿足約束的不同參數組合對應的系統誤差，對其進行最小值求解，得到系統誤差函數的最優值并定位該點的ωn和ξ參數值，即為該工況下的最優參數組合，如圖8a、圖9a 所示。2 組MSD 控制器參數最優值分別為：ωn1=1.932 4，ξ1=1.12；ωn2=2.224，ξ2=1.191。

圖8 橫擺角MSD最優參數

圖9 橫向間距MSD最優參數

將滿足穩定性約束條件的參數組合代入式（16）、式（17）中，并對轉向角響應進行求解，得到受控車輛轉向角隨時間變化的曲線，如圖8b和圖9b所示，從圖中可以看出，選擇最優ωn和ξ數值時，控制系統的穩定性和快速性均能得到滿足。

6 仿真分析與試驗驗證

為了驗證本文所設計控制器的有效性，在MATLAB/Simulink 中搭建虛擬MSD 模型，并結合CarSim 中車輛模型進行聯合仿真分析，仿真參數如表1 所示。

表1 車輛仿真數據

6.1 仿真測試道路模型

道路模型是車輛路徑跟蹤控制的參考軌跡，在控制過程中，實際軌跡與參考軌跡間的偏差是評價路徑跟蹤控制器最重要且最直觀的指標。為了更加規范地對本文設計的MSD 控制器進行測試，參考CJJ 37—2012《城市道路工程設計規范》及ISO 3888-2《乘用車車道急劇改變操縱用試驗車道》，選用雙移線軌跡作為本文的參考軌跡，用于分析車輛在標準測試工況下的路徑跟蹤性能及轉向操縱穩定性，如圖10所示，路徑參數如表2所示。

表2 路徑參數 m

圖10 雙移線路徑

雙移線工況的軌跡方程為：

其中：

式中，x、y分別為絕對坐標系下道路中心線橫、縱位置坐標；d為道路寬度。

由雙移線工況的軌跡方程式（27）及曲率κ計算公式（29）計算得到雙移線道路曲率，如圖11所示：

圖11 雙移線道路曲率示意

6.2 仿真驗證分析

為了驗證本文提出的控制器的性能，仿真車輛分別采用低速（36 km/h）和高速（72 km/h）2 種縱向車速對雙移線工況進行跟蹤，并將本文所設計的二自由度綜合預瞄式MSD 控制器與結構相似的線型二次型調節器（Linear Quadratic Regulator，LQR）進行比較，對比分析車輛的軌跡跟蹤效果、橫向間距偏差及橫擺角偏差，仿真結果如圖12、圖13所示，軌跡跟蹤的狀態偏差峰值及平均仿真時間如表3所示。

表3 仿真結果

圖12 36 km/h仿真結果對比

圖13 72 km/h仿真結果對比

由圖12、圖13 及表3 可知，在車速為36 km/h 和72 km/h 的仿真工況下，2 種控制算法均能較好地完成路徑跟蹤目標。由圖12b 和圖13b 可以看出，MSD 控制算法在2 種速度工況下均有更高的跟蹤精度。由圖12c 和圖13c 中可以看出，車速較低時，2 種算法下車輛橫擺角偏差變化情況基本相同，保持在相對較小的范圍內，隨著車速提高到72 km/h，2 種控制算法均能保持車輛穩定性，但LQR 控制器具有更高的穩定性。另一方面，在同一仿真步長下，MSD 控制方法具有明顯的實時性優勢。

從上述仿真結果可以看出，本文提出的綜合預瞄式MSD控制器在不同速度工況下均能保證控制系統的穩定性和實時性，有效提升車輛路徑跟蹤精度。

6.3 試驗驗證

為驗證本文設計控制系統的可行性，以圖14 所示的無人駕駛電動轉運車為試驗樣車進行了試驗驗證。

圖14 試驗車輛

選取的試驗場地如圖15 所示，試驗采用司南導航系統標定目標路徑作為控制器參考路徑，圖16 所示為轉換后的離線坐標數據，結合前文設計路徑跟蹤算法對該路徑進行跟蹤試驗。考慮到實車試驗的安全性及電動轉運車的局限性，試驗選取低速環境，試驗結果如圖17所示。

圖15 試驗道路真實場景

圖17 試驗結果

由圖17可知，在整個路徑跟蹤過程中，車輛前輪轉向角相對平穩，無明顯振蕩，且車輛橫向偏差始終控制在±0.3 m以內，航向角偏差控制在±0.12 rad以內。造成試驗誤差略大于仿真誤差的原因主要有：司南系統離線標定的道路信息存在一定誤差；試驗車輛部分動力學參數存在不確定性，只能通過試驗得到近似值；試驗過程中車輛速度存在波動。

基于以上無法避免的影響因素，其在路徑跟蹤過程中車輪轉向角無明顯抖動，跟蹤誤差在合理范圍內，這表明控制器控制車輛實現了對真實道路的良好跟蹤，進而證明了本文設計的綜合預瞄式MSD控制器在真實環境下的有效性。

7 結論

a.基于虛擬質量彈簧阻尼與駕駛員預瞄理論建立的路徑跟蹤數學模型能夠較為準確地模擬駕駛員路徑跟蹤特性并定量反映橫向距離偏差及橫擺角偏差等關鍵路徑跟蹤性能指標。

b.利用虛擬MSD控制器的參數優化方法，能夠確定2組固有頻率及阻尼比的最優值。仿真結果表明，在最優參數工況下，可以滿足虛擬MSD 控制器的約束條件，并使系統穩定性和快速性的綜合性能達到最優。

c.與LQR最優預瞄控制算法相比，提出的二自由度預瞄式MSD控制算法可以在保證車輛穩定性的基礎上，有效地提高路徑跟蹤精度，且具有明顯的實時性優勢，能夠適應實車實時路徑跟蹤控制。