基于穩(wěn)定狀態(tài)預(yù)測(cè)的汽車側(cè)向穩(wěn)定性控制

李紹松，王旭陽，范陽群，于志新，崔高健

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

技術(shù)一直是交通運(yùn)輸系統(tǒng)新發(fā)展的核心。從車輛的角度來看，安全措施可以大致分為主動(dòng)安全和被動(dòng)安全，它們對(duì)提高車輛安全性能具有深遠(yuǎn)的影響。車輛主動(dòng)安全系統(tǒng)是指為預(yù)防和避免事故發(fā)生而設(shè)計(jì)的汽車系統(tǒng)，與車輛被動(dòng)安全不同，主動(dòng)安全具有在發(fā)生事故前減輕傷害嚴(yán)重性的功能。常用的主動(dòng)安全系統(tǒng)有車身電子穩(wěn)定系統(tǒng)(ESP)、自動(dòng)緊急制動(dòng)(AEB)、自動(dòng)緊急轉(zhuǎn)向(AES)等[1-2]。

模型預(yù)測(cè)控制(MPC)憑借在處理多目標(biāo)優(yōu)化及約束問題方面的優(yōu)勢(shì)，在汽車側(cè)向穩(wěn)定性控制領(lǐng)域備受學(xué)者青睞。輪胎對(duì)于車輛動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性至關(guān)重要,當(dāng)車輛側(cè)向加速度較小時(shí)，輪胎力處于線性區(qū)域。此時(shí)，可以用線性輪胎模型設(shè)計(jì)AFS控制器，有利于減少M(fèi)PC的計(jì)算負(fù)擔(dān)。當(dāng)車輛的側(cè)向加速度較大，或者道路附著系數(shù)較低時(shí)，輪胎力處于非線性區(qū)域，線性輪胎模型將不能反映輪胎力的實(shí)際變化趨勢(shì)。因此，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)采用非線性輪胎模型是非常必要的[3-4]。然而，非線性MPC需要在線求解帶約束的非線性優(yōu)化問題，計(jì)算負(fù)擔(dān)繁重[5-6]。

許多學(xué)者在進(jìn)行汽車穩(wěn)定性研究時(shí)通常假設(shè)側(cè)偏角和前輪轉(zhuǎn)角為較小值[7-8]，但不適于高速極限工況下輪胎側(cè)偏角較大的情況。為了利用輪胎的非線性特性，文獻(xiàn)[9]以前輪側(cè)向力而非前輪轉(zhuǎn)角作為控制系統(tǒng)的輸入，將非線性輪胎模型融入到線性MPC中；文獻(xiàn)[10]在預(yù)測(cè)時(shí)域每一時(shí)刻對(duì)輪胎力模型進(jìn)行線性化處理，充分利用輪胎的非線性特性，拓寬了AFS的工作范圍;文獻(xiàn)[11]將刷子輪胎模型分為兩段，在輪胎側(cè)偏角飽和之前的輪胎力由刷子公式表示，當(dāng)側(cè)偏角超出飽和角時(shí),認(rèn)為輪胎力維持峰值不變;文獻(xiàn)[12]利用雅克比矩陣對(duì)非線性系統(tǒng)在每一時(shí)刻進(jìn)行線性化，得到運(yùn)動(dòng)方程的解析表達(dá)式，將一個(gè)復(fù)雜的非線性問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)二次規(guī)劃問題，減少了控制器的在線計(jì)算負(fù)擔(dān)。

文中提出一種新型的LTV-MPC方法，利用MPC控制器在上一時(shí)刻優(yōu)化求解的控制序列,對(duì)車輛穩(wěn)定狀態(tài)趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，在此基礎(chǔ)上，將非線性輪胎模型簡(jiǎn)化為兩條直線，以此體現(xiàn)輪胎的非線性變化特性，并通過車輛穩(wěn)定狀態(tài)趨勢(shì)來調(diào)整輪胎側(cè)偏剛度，以期充分利用輪胎力，提升汽車的側(cè)向穩(wěn)定性能。

1 車輛動(dòng)力學(xué)模型

文中重點(diǎn)研究汽車的側(cè)向穩(wěn)定性控制，主要涉及汽車的側(cè)向運(yùn)動(dòng)和橫擺運(yùn)動(dòng)，因此，車輛模型選用簡(jiǎn)化的“自行車”模型，如圖1所示。

圖1 車輛模型

車輛側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

文中忽略輪胎縱向力的影響，采用純側(cè)向滑移工況下的Pacejka輪胎模型[13]計(jì)算輪胎的側(cè)向力

Fy=μDsin(Carctan(Bα-E(Bα-arctan(Bα))))，

(2)

式中：μ——路面附著系數(shù)，已知量；

a0=1.5；

a1=0；

a2=1 050；

a3=1 020；

a4=7；

a5=0；

a6=0.2。

前后輪胎側(cè)偏角和垂直載荷定義如下：

(3)

(4)

不同路面附著系數(shù)和載荷下的輪胎側(cè)向力曲線如圖2所示。

(a) 不同附著系數(shù)下的輪胎側(cè)向力

(b) 不同載荷下的輪胎側(cè)向力

2 汽車側(cè)向穩(wěn)定性控制器設(shè)計(jì)

控制策略邏輯結(jié)構(gòu)包括參考模型、被控車輛穩(wěn)定狀態(tài)預(yù)測(cè)模塊、模型預(yù)測(cè)控制器和被控車輛，其中被控車輛選用CarSim車輛模型。參考模型根據(jù)駕駛員輸入δf,dri計(jì)算出期望橫擺角速度γref。被控車輛穩(wěn)定狀態(tài)預(yù)測(cè)模塊用于預(yù)測(cè)車輛的穩(wěn)定狀態(tài)。模型預(yù)測(cè)控制器優(yōu)化計(jì)算出被控車輛的前輪轉(zhuǎn)角。

整體控制框圖如圖3所示。

圖3 整體控制框圖

2.1 參考模型設(shè)計(jì)

車輛的橫擺角速度與車輛的操縱穩(wěn)定性密切相關(guān)。因此，文中以橫擺角速度為控制目標(biāo)，設(shè)計(jì)參考模型[14]

(5)

式中：O=lf+lr。

質(zhì)心側(cè)偏角可以體現(xiàn)汽車當(dāng)前所處的穩(wěn)定狀態(tài)，其值越小,表示車輛側(cè)向滑移越小，因此將質(zhì)心側(cè)偏角的參考值設(shè)為零。

2.2 簡(jiǎn)化的非線性輪胎模型設(shè)計(jì)

線性模型預(yù)測(cè)控制方法中，由于輪胎模型是線性的，控制器會(huì)認(rèn)為只要不斷增大輪胎側(cè)偏角就可以增大輪胎側(cè)向力，這可能導(dǎo)致控制器計(jì)算出超出輪胎附著極限的側(cè)向力。為了避免這種情況，通常需要對(duì)輪胎側(cè)向力或其相關(guān)量進(jìn)行約束，實(shí)際控制器中的約束有時(shí)則更加保守[15]。這將導(dǎo)致輪胎力不能被充分利用，限制AFS的工作范圍。當(dāng)車輛的側(cè)向加速度較大或者路面附著系數(shù)較低時(shí)，輪胎力常處于非線性區(qū)域，甚至進(jìn)入滑移區(qū)域。此時(shí)，基于線性輪胎模型設(shè)計(jì)的 AFS 控制器將不能滿足控制需求。為避免上述情況發(fā)生，需要考慮輪胎的非線性特性。如果直接使用魔術(shù)公式等非線性輪胎模型，將會(huì)加重控制器的計(jì)算負(fù)擔(dān)，不適于高速極限工況的汽車穩(wěn)定性控制。因此，文中嘗試采用線性擬合方法將魔術(shù)公式輪胎模型簡(jiǎn)化為兩條直線，在體現(xiàn)輪胎非線性特性的同時(shí)，大大減輕控制器的計(jì)算負(fù)擔(dān)。簡(jiǎn)化的非線性輪胎模型輪胎力表達(dá)式為

(6)

2.3 車輛穩(wěn)定狀態(tài)預(yù)測(cè)

1)提取上一時(shí)刻MPC控制器優(yōu)化求解的控制序列δFLM，將其依次代入二自由度車輛模型，獲取上一時(shí)刻控制序列所對(duì)應(yīng)的車輛狀態(tài)(β1,γ1)，(β2,γ2),…,(βm,γm)，并定義為狀態(tài)坐標(biāo)。

2)將狀態(tài)坐標(biāo)代入設(shè)定的控制器穩(wěn)定域[16]，判定車輛是否離開穩(wěn)定域進(jìn)入非線性區(qū)。

3)所設(shè)計(jì)的LTV-MPC控制器根據(jù)車輛的狀態(tài)趨勢(shì)，確定是否需要切換輪胎的側(cè)偏剛度，即從線性區(qū)的輪胎力直線段1切換到非線性區(qū)的輪胎力直線段2。

2.4 預(yù)測(cè)模型推導(dǎo)

當(dāng)LTV-MPC控制器判定車輛處于穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，LTV-MPC的預(yù)測(cè)模型與傳統(tǒng)LTI-MPC的預(yù)測(cè)模型相同。

當(dāng)LTV-MPC控制器判定車輛即將發(fā)生失穩(wěn)時(shí)，預(yù)測(cè)模型將進(jìn)行切換，切換后的預(yù)測(cè)模型為

(7)

將LTV-MPC的預(yù)測(cè)模型寫成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)空間形式

(8)

式中：

采用零階保持法進(jìn)行離散化處理，

Δx(k+1)=At,cxΔx(k)+Bt,cuΔu(k)+Bd,

y(k)=CΔx(k)+y(k-1),

(9)

式中：At,cx=eAt,x·Ts；

Bt,cu=eBt,u·Ts。

未來P步的預(yù)測(cè)輸出可以表示為

y(k+1|k)=CcAt,cxΔx(k)+

CcBt,cuΔu(k)+CcBd+y(k)，

(CcAt,cxBt,cu+CcBt,cu)Δu(k)+

CcBt,cuΔu(k+1)+

CcBd+y(k),

?

CcBd+y(k)。

(10)

2.5 目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)

目標(biāo)函數(shù)由橫擺角速度跟蹤誤差和控制輸入的加權(quán)組合構(gòu)成，

Jmpc=‖Γy(Y(k+1)-R(k+1))‖2+

‖ΓuΔU(k)‖2=

(11)

式中：Γy,Γu——分別為橫擺角速度跟蹤誤差與控制輸入的加權(quán)因子,Γy=diag(τy),Γu=diag(τu)。

以上跟蹤問題可以描述為

文中采用二次規(guī)劃(QP)方法求解上述帶約束的優(yōu)化問題，定義如下

(13)

式中：x=ΔU(k)；

H——黑塞矩陣；

g——梯度向量；

E，b——約束矩陣。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證新型LTV-MPC控制器的控制效果，搭建Simulink和CarSim聯(lián)合仿真平臺(tái)，通過正弦遲滯試驗(yàn)對(duì)所提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證。選擇B級(jí)車作為被控車輛，被控車輛和MPC控制器的主要參數(shù)分別見表1和表2。

表1 CarSim車輛模型參數(shù)

表2 AFS穩(wěn)定性控制器參數(shù)

此外，文中同時(shí)設(shè)計(jì)了傳統(tǒng)線性時(shí)變MPC控制器(LTI-MPC)與非線性MPC控制器(NMPC)進(jìn)行試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析。試驗(yàn)時(shí)，車輛以70 km/h的速度在路面附著系數(shù)為 0.3 的道路上進(jìn)行正弦遲滯操縱機(jī)動(dòng)試驗(yàn)。

車輛橫擺角速度跟蹤結(jié)果如圖4所示。

圖4 橫擺角速度

從圖4可以看出，NMPC所控車輛的橫擺角速度跟蹤效果最好，LTI-MPC所控車輛的橫擺角速度在2.5～3.5 s發(fā)生明顯波動(dòng)，這是因?yàn)槠囈呀?jīng)發(fā)生側(cè)滑，輪胎力進(jìn)入了非線性區(qū)。LTV-MPC相比LTI-MPC，整體波動(dòng)明顯減小，LTV-MPC所控車輛的輪胎力在極限狀態(tài)下一直維持在峰值2 kN附近，并且LTI-MPC 控制車輛的橫擺角速度響應(yīng)相比LTV-MPC存在明顯延遲。

車輛質(zhì)心側(cè)偏角跟蹤結(jié)果如圖5所示。

圖5 質(zhì)心側(cè)偏角

從圖5可以看出，LTI-MPC所控車輛質(zhì)心側(cè)偏角的最大值與最小值分別為0.901°和-0.340°，LTV-MPC所控車輛質(zhì)心側(cè)偏角的最大值與最小值分別為1.141°和-0.346°，雖然兩者幅值相差不大，但LTI-MPC所控車輛的質(zhì)心側(cè)偏角波動(dòng)更為明顯。NMPC所控車輛的質(zhì)心側(cè)偏角最大值和最小值為0.388°和-0.366°，表明NMPC 所控車輛的穩(wěn)定性更好。

前軸輪胎側(cè)向力曲線如圖6所示。

圖6 前軸側(cè)向力

從圖6可以看出，LTI-MPC所控車輛的前軸輪胎力在2.2 s時(shí)急劇下降，表明輪胎力進(jìn)入了非線性區(qū)，這也導(dǎo)致橫擺角速度跟蹤效果不理想。相比之下，LTV-MPC能夠提前預(yù)測(cè)出汽車即將進(jìn)入失穩(wěn)狀態(tài)，并在2.1 s時(shí)進(jìn)行了輪胎側(cè)偏剛度的切換，使輪胎側(cè)向力在極限狀態(tài)時(shí)始終維持在峰值附近，充分利用輪胎力改善橫擺角速度的跟蹤效果，如圖7所示。

前輪轉(zhuǎn)角變化曲線，也同樣體現(xiàn)了LTV-MPC控制器能夠明顯改善控制器的控制效果,如圖8所示。

圖7 穩(wěn)定狀態(tài)預(yù)測(cè)

圖8 前輪轉(zhuǎn)角

3種控制器的優(yōu)化求解時(shí)間如圖9所示。

圖9 控制器求解時(shí)間

從圖9可以看出,LTI-MPC的平均求解時(shí)間為3.89 ms，LTV-MPC的平均求解時(shí)間為3.49 ms，NMPC的平均求解時(shí)間為144.67 ms。LTV-MPC的平均求解時(shí)間與傳統(tǒng)LTI-MPC的求解時(shí)間基本相同，但相比NMPC則提升了約41倍。

4 結(jié) 語

考慮輪胎的非線性特性，基于MPC優(yōu)化求解的控制序列對(duì)車輛穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，設(shè)計(jì)了一種新型的LTV-MPC控制器。當(dāng)預(yù)測(cè)出車輛即將發(fā)生失穩(wěn)時(shí)，所設(shè)計(jì)的LTV-MPC控制器能夠切換輪胎側(cè)偏剛度，充分利用輪胎側(cè)向力拓寬極限工況下AFS車輛的穩(wěn)定域。結(jié)果表明，LTV-MPC控制器相比傳統(tǒng)LTI-MPC控制器具有更好的控制穩(wěn)定性，但文中只進(jìn)行了仿真試驗(yàn)驗(yàn)證，下一步將繼續(xù)完善控制策略，搭建實(shí)車試驗(yàn)平臺(tái)，通過實(shí)車試驗(yàn)驗(yàn)證控制器的控制效果。