2021年諾貝爾物理學獎：復雜系統科學的新紀元

樊京芳，金瑜亮

①北京師范大學，北京 100875；②中國科學院理論物理研究所，北京 100190；③中國科學院大學，北京100049

1991年，諾貝爾獎委員會給物理學家de Gennes的頒獎詞里提到“復雜性”(complexity)一詞。復雜系統科學經過30年迅速發展，研究對象已經超過單純的物理體系，涵蓋了從玻璃到氣候、地球等廣泛復雜系統。2021年的諾貝爾物理學獎頒發給3位在復雜系統科學方面獲得杰出成就的科學家，說明該領域的研究已經獲得學術界的重視，甚至有可能引發自然科學的變革，標志著一個新紀元的開端。

1 地球系統科學

地球作為一個復雜的自適應系統，從組成結構上看主要包括大氣圈、水圈、冰凍圈、巖石圈和生物圈5大圈層。同時，各個圈層之間和內部具有高度的非線性相互作用和反饋回路(圖1)[1]。實際上每個圈層本身也可以被視為一個獨立的復雜體系，并可以進一步分解為更專業的子系統。然而，隨著對地球系統多組分之間物理、化學、生物以及人類相互作用的日益了解，人們意識到應該將地球系統作為一個整體看待。這些研究和其結果產生出一門新的學科——地球系統科學。正如汪品先院士所言，“地球系統科學不應當理解為各門地球科學的疊加，而是探索其圈層相互作用，整合其各種學科，將地球作為一個完整系統來研究的學問”[2]。

圖1 地球復雜系統示意圖[1]

地球系統科學是一門基于觀測的實驗學科，依賴于技術、儀器和全球合作。全球尺度上長期連續的觀測僅僅有60年左右的歷史，最早可以追溯到1957年10月4日蘇聯成功發射世界首顆人造衛星之時。隨后，美國于1958年1月31日將“探險者一號”衛星送上太空。衛星、遙感和測繪是地球系統科學產生的前提，有了遙感技術才有全球視野。1999年德國物理學家Hans Joachim Schellnhuber甚至把遙感技術的發明比作“第二次哥白尼式革命”。第一次是依靠望遠鏡，哥白尼在《天體運行論》提出的“日心說”挑戰了當時人們深信不疑的“地心說”；第二次依靠遙感技術從太空看地球，從而產生“地球系統科學”[3]。他進一步指出，地球系統可以用一個簡短的數學形式來描述E=(N,H)，其中N指的是自然因素，H代表的是人類的驅動因素。

伴隨著地球系統科學的發展，20世紀80年代后相繼成立四大全球環境變化計劃，為研究全球氣候變化提供了合作的國際框架。四大全球環境變化計劃為：世界氣候研究計劃(WCRP,World Climate Research Programme) ；政府間氣候變化專門委員會(IPCC, Intergovernmental Panel on Climate Change)；國際地圈生物圈計劃(IGBP,International Geosphere-biosphere Programme)和國際全球環境變化人文因素計劃(IHDP, International Human Dimensions Programme)。2001年，四大全球環境變化計劃聯手成立了地球系統科學聯盟(ESSP, Earth System Science Partnership)，對地球系統進行集成研究。該聯盟著重研究糧食、碳、水、人類安全等四大關乎人類生計與生存的關鍵可持續性問題，主要目的是綜合研究地球系統變化及其對全球的可持續性影響。

諾貝爾物理學委員會主席Thors Hans Hansson曾說：“今年獲獎的研究表明，我們關于氣候的知識，是基于對觀測的嚴格分析，建立在堅實的科學基礎之上的。”其中“堅實的科學基礎”體現在氣候模式的發展上。

1.1 氣候模式(climate model)

目前，氣候模式是研究地球復雜系統尤其是氣候系統時最重要的研究工具，被廣泛應用于預報天氣、理解氣候和預測氣候變化等方面。氣候模式的研究方法是建立包含復雜的動力學及熱力學過程和物理化學過程的數學模型，并基于觀測數據來模擬和預測氣候系統的演化。氣候模式不僅可以分析和理解一些氣候現象及整個地球氣候系統的物理學機制，還可以模擬和預測在氣候變化背景下氣候系統的演化方向等。

氣候模式的開發依賴于經典物理學、計算數學、計算機科學和大氣動力學等學科的發展。真鍋淑郎(Syukuro Manabe)和克勞斯·哈塞爾曼(Klaus Hasselmann)就是因“對地球氣候建立物理模型、量化可變性并可靠地預測全球變暖”共同分享了2021年諾貝爾物理學獎一半的獎金。

氣候模式是研究氣候的理論體系，當前的氣候模式可分為能量平衡模式(energy-balance model)、輻射對流模式(radiative-convective model)、統計動力模式(statistical-dynamical model)和一般環流模式(general circulation model)四大類(圖2)。

圖2 氣候模式的分類[4]

(1)能量平衡模式是最簡單的氣候模式，從能量平衡方程出發研究不同物理因子(如二氧化碳)、反照率等的作用。該模式通常采用兩種簡單形式：零維模型，即地球作為一個點；一維模型，即考慮溫度在緯度上的差別。在一維模型中，每個緯度帶可由以下方程來描述：

其中：S(Φ)是緯度為Φ的年平均輻射強度；α(Φ)是對應的反照率，當T<-10°C時α=0.62，否則α=0.30；c指的是水平傳熱系數(3.81 W·m-2·K-1)；T(Φ)是緯度為Φ的地表溫度，代表全球平均地表溫度；A和B是控制長波輻射損耗的參數(A=204.0 W·m-2，B=2.17 W·m-2·K-1)。值得注意的是，在一些更復雜的能量平衡模型中還要考慮大氣和海洋之間的能量轉移。

(2)輻射對流模式，考慮一維的溫度垂直分布，常作為更復雜的模式的一部分，主要研究不同輻射過程的相互作用。該模式可以研究溫室氣體(如二氧化碳)對全球地表溫度的響應，其數學方程簡單描述為：

3個分式分別代表大氣頂層(上式)、云層(中式)和地表(下式)的能量平衡方程。其中，ac、αc、ε和αg代表云的短波吸收率、反照率、紅外發射率和表面反照率，σ是Stefan-Boltzmann常數。輻射對流模式包含有關整個大氣輻射通量的信息，包括太陽輻射通量、云量和陸地。

(3)統計動力模式考慮緯圈平均，對大型渦旋輸送參數化用來研究不同物理因子如二氧化碳、太陽常數等的作用。

(4)一般環流模式標志著氣候建模的一個真正概念上的突破，是最為完善的氣候模式。一般環流模型詳細研究不同物理因子如海溫、二氧化碳、太陽常數、陸面反照率等的作用，通常需要求解旋轉球體的納維-斯托克斯方程。三維的一般環流模型需要求解由動量守恒、質量守恒、能量守恒的微分方程和理想氣體方程組成的方程組：

1.2 真鍋淑郎及其開創性貢獻

真鍋淑郎(圖3)出生于1931年，1953年從東京大學理學部地球物理學科畢業后繼續在本校攻讀數學物理專業，1958年獲得理學博士學位。他畢業后于同年去美國氣象局的總循環研究部門(即現在的美國地球物理流體動力學實驗室(GFDL))工作。1997—2001年，真鍋在日本的全球變化前沿研究系統中擔任全球變暖研究部主任。2002年，他作為普林斯頓大學大氣與海洋科學計劃的客座研究合作伙伴回到美國，目前在普林斯頓大學擔任高級氣象學家。他曾經獲得2015年的本杰明·富蘭克林獎章和2018年的克拉福德獎。

圖3 2018年在克拉福德獎頒獎典禮上的真鍋淑郎

真鍋淑郎致力于研究和開發基于計算機的氣候模式，因建立使預測全球變暖成為可能的真鍋模型而聞名。1967年，真鍋淑郎和Wetherald首次開發出一維輻射對流模式[5]，把空氣團因對流而產生的垂直輸送和水蒸氣的潛熱納入其中，用來研究二氧化碳水平增加將如何導致氣溫升高。該模型顯示，大氣中二氧化碳濃度升高導致地球表面和對流層的溫度也隨之升高，而平流層的溫度隨之降低。他們進一步研究發現氧和氮對地表溫度的影響可忽略不計，而二氧化碳的影響很明顯：當二氧化碳水平翻倍時，全球溫度上升超過2 ℃(圖4)。他們的工作也為建立更復雜的氣候模式奠定了基礎。

圖4 真鍋氣候模式揭示了大氣溫度、高度和二氧化碳濃度的關系[5]

此外，真鍋還發展了一個理想海陸分布下墊面的三維大氣環流模式，并模擬二氧化碳加倍情景時氣候的變化[6]。根據他的模擬，二氧化碳濃度若增加一倍(自300 ppm增至600 ppm，1 ppm=10-6)，全球平均溫度將上升2.93℃。這一結論為日后IPCC的第一次評估報告提供了重要論據。1969年真鍋淑郎和Bryan開發出首個海洋-大氣耦合環流模式用于對氣候進行模擬，該模式可以研究十年到百年時間尺度的氣候演化[7]。

1.3 克勞斯·哈塞爾曼及其開創性貢獻

1931年10月25日哈塞爾曼(圖5)生于魏瑪共和國時期的漢堡，父親埃爾溫·哈塞爾曼是經濟學家、記者兼出版商。1934年，希特勒掌權德國，哈塞爾曼舉家搬到英國倫敦北部的韋林花園市。1950年哈塞爾曼進入漢堡大學學習物理和數學，1955年獲得物理學與數學學士學位，1957年在哥廷根大學和馬克斯·普朗克流體動力學研究所獲得物理學博士學位。1964—1975年擔任漢堡大學地球物理研究所所長兼理論地球物理學教授，1975年2月至1999年12月任漢堡馬克斯·普朗克氣象研究所創始所長，1988年1月至1999年11月任德國氣候計算中心科學主任。哈塞爾曼的研究課題包括氣候動力學、隨機過程、海浪、遙感和綜合評估研究等，后期他的研究興趣主要集中在量子場論。

圖5 克勞斯·哈塞爾曼(圖片來自MPI)

除了這次的諾貝爾物理學獎外，哈塞爾曼獲獎無數，包括1971年美國氣象學會斯沃卓普獎章(Sverdrup Medal)、1997年皇家氣象學會西蒙斯紀念獎章(Symons Memorial Medal)、2002年歐洲氣象物理學會威廉·皮耶克尼斯獎章和2009年BBVA基金會知識前沿獎(氣候變化方向)等。

氣候模式研究的是氣象觀測量的統計平均(例如平均值、標準偏差等)，可以預測某地某時的平均溫度或降雨量，但是無法告訴你某地某時的天氣會怎么樣。盡管天氣是一個典型的混沌系統，但如何才能建立能夠預測未來數十年、甚至數百年的可靠氣候模式呢？在真鍋淑郎的研究[5]發表約10年后，克勞斯·哈塞爾曼受愛因斯坦有關布朗運動理論的啟發，創建了一個將天氣和氣候相關聯的模型——隨機氣候模式(stochastic climate models)回答了這一問題[8]。

哈塞爾曼將混亂變化的天氣現象作為快速變化的噪聲納入計算，并證明這種噪聲是如何影響宏觀的氣候變化的，從而為長期氣候預報奠定堅實的科學基礎。他將宏觀的氣候因素(如海洋)y和介觀的天氣變化(如大氣)x之間的相互影響簡化成如下方程：

其中所有xi的特征演化時間尺度遠小于yi的，后者表征“緩慢”的大尺度氣候觀測值的演化。在不失一般性的情況下，我們將x和y視為標量變量，就快速變量而言x=+x*，其中為y狀態下x的條件平均值。因為x比y的狀態變化得更快，所以，

假設快速變量x*(t)的變化可以近似為白噪聲，其中<ξ(t)ξ(t')> =δ(tt')，幅度取決于慢變量σ(y)的狀態，于是該確定性動力學就可以解釋為勢U(y)的一階導數。這樣我們就可以主要關注y(t)的變化規律的朗之萬方程：

對于氣候系統，通過朗之萬方程推導出Fokker-Planck方程，有助于進一步研究系統在給定狀態、給定時間時的概率。此外，對朗之萬方程求解可以得到一個重要的關系：即漲落耗散關系。這意味著我們可以通過噪聲天氣x的強度計算出宏觀氣候的漲落。

通過隨機氣候模式，哈塞爾曼還開發出可識別人類對氣候系統影響的方法，分離出自然噪聲和人類活動噪聲的影響。他發現，氣候模式以及觀測和理論考量，均包含了有關噪聲和信號特性的充分信息。例如，太陽輻射、火山爆發或溫室氣體的濃度變化會留下獨特的信號和印記被分離出來。 圖6展示了哈塞爾曼隨機氣候模式可以用來識別氣候變化中人類活動的指紋。從科學上進一步證實，人為原因產生的二氧化碳排放導致了全球變暖的結論。

圖6 哈塞爾曼隨機氣候模式用來識別氣候變化中人類活動的指紋[9]

2 帕里西與自旋玻璃理論

喬治·帕里西(圖7) 因其“發現了從原子到行星尺度的物理系統中無序和漲落的相互影響”而獲得2021年諾貝爾物理學獎，并分享其中一半的獎金。帕里西最著名的工作是給出Sherrington-Kirkpatrick(SK)自旋玻璃模型的嚴格解，其他重要工作包括部分子密度的QCD演化方程(也稱為Altarelli-Parisi方程或者DGLAP方程)、描述界面生長的動力學標度的Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)方程、鳥群中的渦動等。

圖7 意大利物理學家喬治·帕里西(圖片來自Morning Express)

2.1 帕里西其人

帕里西1948年8月4日出生于意大利羅馬，1970年畢業于羅馬大學，導師為尼古拉·卡比博(Nicola Cabibbo)。之后他在意大利弗拉斯卡蒂國家實驗室、美國哥倫比亞大學、法國高等研究院、巴黎高等師范學院以及羅馬第二大學、第一大學等地工作。1980年帕里西在中國科學院理論物理研究所擔任客座教授，并與吳詠時教授合作發表論文[10]。有意思的是，帕里西的導師卡比博曾與諾貝爾獎擦肩而過，2008年諾貝爾物理學獎獲得者、日本科學家小林誠和益川敏英的工作是對卡比博早年研究(卡比博-小林-益川矩陣)的推廣。這一遺憾最終由他的學生帕里西彌補。

由于在物理學多個領域的重要貢獻，帕里西獲得榮譽無數。獲得的重要獎項包括1992年的玻爾茲曼獎、1999年的狄拉克獎、2002年的費米獎、2005年的海涅曼數學物理獎、2021年的沃爾夫獎等。在獲得2021年的諾貝爾物理學獎后，可以說帕里西幾乎獲得物理學領域重要獎項的“大滿貫”。此外，帕里西還是意大利猞猁之眼國家科學院、法國科學院、美國國家科學院的院士，并在2018—2021年擔任意大利猞猁之眼國家科學院院長。

帕里西才思敏捷，具有天才式的跳躍性思維，他興趣廣泛、為人和善且幽默。當被問到是否曾經預料會得諾貝爾獎時，帕里西用統計物理學家特有的方式回答：“我知道這一概率不是零。”帕里西研究的問題涉及物理學的多個領域，他和很多物理學家都有過合作(圖8)。

圖8 帕里西在他70歲生日研討會上收到的禮物(印有他的317位合作者名字的海報)

2.2 無序體系

要理解帕里西在“無序材料和隨機過程理論中的革命性貢獻”，需要先了解什么是無序系統。讓我們來看兩個典型的無序系統的例子。

(1)結構玻璃。自然界中的物質通常有氣相、液相和固相三種物相，例如水(H2O)的三相分別為水蒸氣、(液態)水和冰。液體通過降溫可以形成固體(例如水結冰)。一般情況下，這種過程形成的固體為晶體。晶體與液體在分子的微觀排列上有本質的不同：液體中分子的排列是無序的，而晶體中分子則按照一定的規則排列成有序的晶體結構(圖9左)。有些液體如果降溫的速率足夠快，則會形成“無序”的固體(圖9右)，亦稱(結構)玻璃(之所以叫結構玻璃，是為了區分下文的自旋玻璃)。例如，石英玻璃正是通過對高溫下熔融的二氧化硅液體淬火(快速降溫)制備得到。有意思的是，在一些特殊的實驗條件下，水在極低溫(遠低于零度)下也可以形成無定形冰(或稱玻璃態水)[11]。與普通的、“有序”的冰不同，無定形冰中水分子的排列是無序的。

圖9 晶體(左)和結構玻璃(右)

(2)自旋玻璃。物理系統中的無序，不但可以出現在微觀粒子的排列中，也可以出現在相互作用中。自旋玻璃就是對應于后者的一個典型體系。帕里西對于自旋玻璃模型有過很形象的描述[12]：在很多文學作品中(例如莎士比亞的戲劇)人物之間有著錯綜復雜的關系，為了對此建立數學模型，不妨用Jij來表示i、j兩者之間的關系，Jij=1表示兩者為朋友，Jij=1表示兩者為敵人。假設所有人分成了兩派，每個人(Si表示)必須選擇其中之一站隊(Si=+1或-1)。對于有N個人的關系網絡，可以用H來描述所有人的舒適程度(物理上稱為哈密頓量)，即

對于復雜的人際關系，可以進一步假設Jij是隨機的，且取+1或-1的概率各為50%。在這些條件下，式(7)就是一個自旋玻璃模型。如果Jij是 一個常數(Jij=1)，式(7)就對應了著名的Ising模型。

自旋玻璃模型最早由Edwards和Anderson在1975年提出，簡稱EA模型[13]。在EA模型中，自旋相互作用網絡是規則的晶格，而且只有近鄰的自旋之間才有相互作用。如果自旋之間是無限長程相互作用的，或者說式(7)里面的每個自旋都與其他N-1個自旋作用，那么式(7)就變成一個平均場自旋玻璃模型(SK模型)[14]。

2.3 自旋玻璃與阻挫

式(7)的自旋玻璃模型是描述無序材料最基本的數學模型。例如，對于隨機摻雜的合金來說，Si代表每個原子具有的自旋，Jij則代表自旋之間的相互作用。由于自旋之間的距離是隨機的，它們之間的相互作用Jij也具有隨機漲落。

自旋玻璃中一個重要的問題是找到能夠最小化H的所有{S1,S2…SN}的解。從計算復雜度理論的角度來看，這是一個NP完備(NP-complete)問題。這就意味著，隨著N的增大，即使對于最好的算法來說，計算所花的時間也會指數級exp(cN)增長，其中c為常數。這從算法的角度體現了求解自旋玻璃問題的難度。

帕里西的重要貢獻之一是基于統計物理的方法(復本理論replica theory)精確求解SK模型[15]，得出H的極小值為-0.7633N3/2。有意思的是，這個結果表明在人際關系網絡問題中，如果每個人在選擇站隊的時候都足夠聰明，使得所有人的舒適程度最大(H最小)，那么最終平均每個人的朋友只會比敵人多0.3817N1/2(如果N=108，這個數字是4)！如果用最簡單的方式——擲硬幣決定站隊的話，這個數字是0(朋友和敵人一樣多)。

出現上面兩種現象(求解時間指數增長；最優解接近于隨機選擇結果)的原因是自旋玻璃中存在大量的“阻挫”(frustration)。如圖10所示(N=3為例)，如果式(7)中任何的Jij=1，那么所有的自旋無論取+1(向上)還是-1(向下)都使H最小；如果有一個Jij=1，那么就不存在一個使得所有自旋都“舒服”的狀態。這種阻挫的數量隨著N的增大迅速增多。阻挫的存在是自旋玻璃模型復雜性的本質原因。

圖10 阻挫(黑邊表示Jij =1；紅邊表示Jij =1)

2.4 復本方法與自旋玻璃相變

根據統計物理，為了理解一個微觀物理模型的宏觀性質，我們需要先根據其哈密頓量計算配分函數Z，然后再計算自由能F=-kBTlnZ，其中kB和T分別代表玻爾茲曼常數和溫度。在式(7)中，相互作用{Jij}是預先隨機給定的，叫淬火無序(quenched disorder)。與普通的系統不同，自旋玻璃模型的配分函數依賴于相互作用{Jij} ，因而其自由能需要對不同的{Jij} 做平均：

其中[lnZ]表示對淬火無序的平均。式(8)中淬火自由能(quenched free-energy)Fquench直接計算是非常困難的。然而，如果能夠將做平均和取對數的順序交換，所對應的退火自由能(annealed freeenergy)Fanneal就比較容易計算：

為了克服這個問題，Edwards和Anderson[13]提出一種復本技巧(replica trick)，即通過等式

把計算淬火自由能轉換成計算退火自由能。物理上，式(10)意味著對同一系統做n個相互獨立的復本，然后考慮所有復本的總自由能。當然，根據式(10)，最終需要讓復本的個數n趨于零，這意味著在計算中需要把n從整數延拓到實數。

朗道相變理論認為相變由序參量表征，帕里西基于復本的思想提出自旋玻璃模型需要考慮所謂的交疊序參量(overlap order parameter)：

一般情況下，qαβ是一個n×n的矩陣，稱為交疊矩陣(overlap matrix)。按照鞍點方法(saddlepoint method)，計算自由能需要找到一個qαβ矩陣使得自由能函數取極值(一階導數為零)。這意味著要求解n×(n-1)/2個方程(qαβ矩陣是對稱的)，而直接解析求解這么多方程基本是不可能的，理論上必需要假設qαβ的形式來簡化計算。最簡單的假設是復本對稱(replica symmetry)，即交換復本不會改變qαβ矩陣。在復本對稱假設下，只有一個獨立序參量(圖11)，即

圖11 交疊矩陣：(a)復本對稱；(b)一階復本對稱破缺；(c)二階復本對稱破缺

基于復本對稱假設的計算表明，自旋玻璃的序參量q在某一溫度Tc之上為零，Tc之下大于零。因此，體系在Tc處發生“自旋玻璃相變”。

2.5 復本對稱性破缺與帕里西解

基于復本對稱假設的理論雖然可以給出自旋玻璃相變，但是其本身存在不自洽之處。復本對稱理論得到的熵在零溫極限下為負數，S(0)≈-0.17，而根據熵的微觀定義(熵等于微觀構型數的對數)，離散變量體系的熵不可能為負，因而復本對稱的假設會導致“負熵災難”。另外，de Almeida和Thouless[16]發現(AT相變)，在低溫下復本對稱解并不穩定(自由能函數的二階導數會出現負值)。

為了克服這些問題，自然地我們可以假設交疊矩陣并非所有元素都相等，即(12)式不成立，也即低溫下會發生復本對稱性破缺，最簡單的破缺方式是一階復本對稱性破缺：假設在自旋玻璃相中復本會組織成多個集團，集團內的復本之間qαβ值為q1，集團間的復本間的qαβ值為q0(圖11)。一階復本對稱破缺理論(K=1)可以一定程度上修正負熵災難，給出S(0) ≈ -0.01。但是零溫下的熵還是負的，而且給出的解在低溫下也不穩定。當然，我們還可以進一步假設二階(K=2)、三階(K=3)復本對稱破缺(圖11)……

1980年左右，帕里西意識到只有全復本對稱破缺(K=∞)理論才會給出SK模型在低溫下的正確解[12,15]。全復本對稱破缺理論不但完美解決了負熵災難，給出S(0)=0，而且與模擬的結果吻合很好。另外，帕里西的解在數學上非常優美，其對應的交疊矩陣具有超度量性(ultrametric)，即對于任意3個復本兩兩配對形成的3個交疊量(q1,q2,q3)只能出現兩種情形：三者相等(等邊三角形q1=q2=q3)，或者兩者相等且小于第三者(等腰三角形q1>q2且q2=q3)。超度量性是三角不等關系(兩邊之和大于第三邊)的一種強化版本。超度量性也意味著在自旋玻璃相中，微觀構型以樹的形式組織具有分形(fractal)特征(圖12)。

圖12 具有超度量性的樹

2.6 帕里西解的廣泛應用

幾十年后帕里西提出的SK自旋玻璃模型的解被數學家嚴格證明。無序體系的性質極其復雜，很多科學家都致力于理解這些復雜性質。如果說自旋玻璃模型為實現這一目標提供了一個出發點，那么帕里西解則是其理論上的基石。目前，帕里西的理論已被廣泛地應用在無序體系的各類問題中，包括玻璃化轉變[17]、顆粒物質的非平衡相變[17]、優化問題[12]、物種的進化[12]、人腦的建模[12]、機器學習模型[18]以及引力理論[19]等。正如諾貝爾物理學獎評委會所說，帕里西的工作表明：“如果不正確地考慮無序、噪聲以及可變性，那么決定論將只是一種幻像”。