多視角解析一道2021年三模壓軸題

賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學 835400)

一、題目呈現

(1)求橢圓C的標準方程；

二、總體分析

定點、定值是圓錐曲線中的常見問題，問題的呈現形式有：以兩直線斜率乘積、和、比值為定值引出的直線過定點；或已知直線過定點，能否得出兩直線斜率之積、和或比值為定值.本文擬以直線過定點，兩直線斜率比值為定值進行多視角探究，旨在理清問題的本質，找到解決此類問題的行之有效的方法.

三、試題解答

以下重點探討第(2)問.

視角1利用直線的普通方程求解.

將④⑤代入，化簡整理,得

視角2圓錐曲線齊次化，借助橢圓的第三定義求解.

又直線m(x+3)+ny=1過點F(-2,0)，所以m=1.

此時，直線方程設為mp+nq=1.⑦

直線過點(1,0)，所以m=1.

將⑦代入⑥，得9y2-30nxy-25x2=0，

評注以上三種解法的本質是圓錐曲線的齊次化，其中一種策略是平移圓錐曲線，比如以上的解法5，不過學生對這種方法有些陌生.筆者將方法稍微改變一下，步驟為：

(1)設直線方程為m(x-x0)+n(y-y0)=1；

(4)得出結論：比如以上的解法3和解法4.當然還需要借助橢圓的第三定義聯合求解.

視角3借助韋達定理求解.

評注圓錐曲線結合韋達定理，求解的方法又稱圓錐曲線的公式聯立，其實是一套求解橢圓(或雙曲線)與直線相交時，聯立方程求判別式、韋達定理與相交弦等問題的公式，平時并不多見.針對學有余力的學生，教師可以適當介紹，開闊學生的視野，提高學生的思維能力.

四、解后反思

《普通高中數學課程標準(2017)》指出，高中數學的六大素養為數據分析、邏輯推理、數學抽象、數學建模、直觀想象、數學運算.高中數學的學習急需提高學生的綜合能力.在數學學習的過程中，教師要鼓勵和引導學生在學習的過程中勤思考、多動腦，在對兩直線斜率比值、乘積以及和為定值的問題探究過程中，培養學生數學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養.教師可以根據核心素養所提出的相關理論進行教學方式、教學目的的調整，使學生能夠得到更全面的發展，將立德樹人的根本任務落到實處.

“一題多解”既可以豐富教學內容，也可以讓枯燥的數學課堂變得活潑生動，充分調動學生的積極性，讓每個學生都自覺地投入到課堂中來，不僅可以使學生集中注意力，還可以使學生的思維越來越縝密，考慮越來越周全.應用“多題一解”的教學，可以鍛煉學生歸納總結的能力，使得學生“做一題，會一類”.“多題一解”的數學教學方式，不僅能提高學生學習數學的能力，還能映射生活的哲理，對于學生生存能力的提高也有效果.