一個圓錐曲線問題的解決與推廣

許銀伙

(福建省泉州外國語中學 362000)

轉化與化歸是高中重要的數學思想方法，它對于問題的思路探尋和簡化運算有著不可估量的作用.本文通過針對一個橢圓常規練習題的拓展探索，運用轉化與化歸思想，得出在圓錐曲線中同類問題的一般性結論.

(1)求橢圓E的標準方程；

(3)在平面直角坐標系xOy中，若存在與點M不同的點G，使得|GA||MB|=|MA||GB|成立，求點G的坐標.

(3)設存在符合條件的點G，由已知條件和橢圓的對稱性得點G必在y軸上，可設點G(0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2).

綜上得，符合要求的點G存在，且點G的坐標(0,2).

評注問題(3)的解決訣竅是利用對稱性判斷出所求點G必須在y軸上，然后把距離的乘積轉化為橫坐標和斜率的比，使其到兩個交點的連線斜率互為相反數，或者到兩個交點連線的傾斜角互補，再利用韋達定理得出結果.

解析設存在符合條件的點G，由已知條件和曲線的對稱性得點G必在y軸上，可設點G(0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2).

評注1.推廣一把原來問題一般化，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結論.

2.曲線E可以是焦點在x軸或y軸上的橢圓，還可以是圓.

解析設存在符合條件的點G，由已知條件和曲線的對稱性得點G必在x軸上，可設點G(x0,0)，A(x1,y1)，B(x2,y2).

評注1.推廣二只是把推廣一中曲線內的定點放到曲線的另一對稱軸，運用同樣的方法和技巧獲得一般化的結論.2.曲線E可以是焦點在x軸或y軸上的橢圓，還可以是圓.

評注推廣三只是把推廣二中橢圓換成焦點在同一坐標軸上的雙曲線，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結論.

解析設存在符合條件的點G，由已知條件和雙曲線的對稱性得點G必在x軸上，可設點G(x0,0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，顯然直線l的傾斜角不為0°.

評注推廣四把推廣三的雙曲線換成焦點在另一坐標軸上，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結論.

解析設存在符合條件的點G，由已知條件和雙曲線的對稱性得點G必在y軸上，可設點G(0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，顯然直線l斜率存在.

評注推廣五把推廣三中直線所過坐標軸上的定點換成另一坐標軸上，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結論.

評注推廣六把推廣四中直線所過坐標軸上定點換成另一坐標軸上，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結論.

推廣七已知拋物線E：y2=2px，過異于原點的定點M(t,0)的動直線l與拋物線E交于A,B兩點，是否存在與點M不同的點G，使得|GA||MB|=|MA||GB|成立；若存在，求點G的坐標.

解析設存在符合條件的點G，由已知條件和拋物線的對稱性得點G必在x軸上，可設點G(x0,0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，顯然直線l的傾斜角不為0°.

①當直線l斜率存在時，設l方程：x=t+my，代入拋物線E得：y2-2pmy-2pt=0，由已知得：Δ=4p2m2+8pt>0，y1+y2=2pm，y1y2=-2pt.

②當直線l斜率不存在時，由拋物線對稱性得G(-t,0)符合|GA||MB|=|MA||GB|.

綜上得：符合要求的點G存在，且點G的坐標(-t,0).

評注推廣七把推廣二中的曲線換成拋物線，運用上面的方法獲得一般化的結論.

推廣八已知拋物線E：x2=2py，過異于原點的定點M(0,t)的動直線l與拋物線E交于A,B兩點，是否存在與點M不同的點G，使得|GA||MB|=|MA||GB|成立；若存在，求點G的坐標.

類似推廣七得符合要求的點G存在，且點G的坐標(0,-t)，過程略.

評注1.推廣八把推廣七中拋物線對稱軸改變，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結論.

2.推廣七和八通常取定點M為拋物線的焦點作為質檢考題.

見微知著，舉一還三，是學好數學必需的能力與習慣，需要有意識的培養與磨練.本文通過針對一個普通練習題的拓展思考，獲得同類問題的一般性結論，既強化問題解決的方法和技巧，又加深對問題的本質認識，值得在數學學習與研究的過程中借鑒.