基于時間步長線性疊加法的孔隙—彈性介質水力裂縫擴展機理研究

仲冠南，肖 驍，張慶軍，王守志，白景彪，張夢千，喻高明

1長江大學石油工程學院 2中國石油長慶油田分公司長慶實業集團有限公司 3中國石油長慶油田分公司第五采油廠 4中國石油青海油田公司采油二廠

0 引言

壓裂縫網規模設計和導流能力是油田壓裂開發成功的關鍵[1]。任何水力壓裂設計須考慮油藏的初始狀態(即局部應力條件、孔隙壓力、非均質性、各向異性、層理、斷層、天然裂縫以及已存在的人工裂縫)[2]。以往大量的數值模擬計算都集中在研究水力壓裂過程中各種參數如何影響復雜裂縫縫網的發展[3]，但現場裂縫監測實驗揭示了多級壓裂作業完成的水平井附近存在復雜的裂縫網絡，孔隙壓力是應力反轉的主要原因，反過來控制后續的水力裂縫重新定向。微地震結果指出了裂縫重新定向的發生，并得到由于儲層壓力衰竭導致的應力反轉現象。生產引起的壓實和沉降導致的孔隙壓力降低，會導致水力裂縫的重新定向和儲層主應力的反轉[4]。常規水力裂縫在地層界面的擴展形式主要有在界面處停止擴展、沿界面擴展、穿透界面擴展等3種[5]，水力裂縫的發育增長被限制為在每個時間步注入的所有流體體積。因此，水力裂縫必須擴展以容納注入的體積。由于假設所有水力裂縫具有相同的儲集能力和正的擴展速度，因此忽略了裂縫閉合和水力裂縫長度的減小[6-8]。另外，與常規靜態水力裂縫擴展建模方法相比，有限元法和邊界元法都需要網格劃分，計算非常耗時，特別是對于裂縫擴展的動態問題。TLSM優點之一是提供了非平面裂縫擴展的無網格化、封閉形式、半解析解，采用歐拉時間步長來模擬動態裂縫擴展，通過避免自適應網格劃分，實現多種競爭性水力裂縫擴展的快速模擬。TLSM的缺點是當前的模型都局限于線性彈性假設[9-10]。本文研究基于時間步長線性疊加法對TLSM模型進行了調整，考慮線性孔隙彈性，加入了時間步和裂縫體積耦合現場的壓裂試驗數據(DFIT)；考慮了孔隙彈性效應，定量描述裂縫擴展過程中空間應力集中變化的動態可視化，詳細確定孔隙壓力和遠場應力疊加實是否會改變水力裂縫的方向,有助于現場施工過程壓裂方案的調整，改善對縫網發育的控制。

1 數學模型建立

1.1 模型假設

為了簡化裂縫擴展問題，TLSM模型采用了以下假設:①假設所有水力裂縫具有相同的儲集注入流體的能力并能均勻擴展;②線彈性;③平面應變。彈性介質中各水力裂縫在任意點引起的應力集中可以用各方向位移之和來描述，用空間位移場的偏導數確定方向應變張量，然后從這些應變張量計算出定向主應力的大小。在裂縫尖端計算出的最大主應力方向決定了裂縫未來的生長方向。

1.2 基于時間步長線性疊加法的裂縫動態擴展數學模型

裂縫擴展的TLSM模型利用每個時間步上總的位移場變化來調整連續位移場的增量。每個時間步都考慮了同時注入的壓裂液體積，以及由這種施加的力產生的彈性變形。在每個時間步上都假定靜力平衡，使得在每個預定的時間步上，每個方向上所有力的總和都被約束為零。此外，每一個連續的時間步，水力裂縫在平衡狀態下穩定擴展，其線速度和角速度保持不變。將時間步長線性疊加法(TLSM)與現場診斷壓裂試驗數據相結合，集成到TLSM模型中，可以更真實地解釋水力壓裂的動態過程，考慮單個裂縫壓力載荷隨時間的變化。根據壓裂作用下位移場的總和,計算彈性介質中應力的大小。單裂縫坐標在x軸方向和y軸方向表示見式(1)、式(2)，其中r1,r2,r,θ1,θ2,θ,如圖1所示。

圖1 基于Sneddon解析解的修正坐標系

(1)

(2)

式中：ux—裂縫在x方向的位移量，m;uy—裂縫在y方向的位移量，m;p—水力裂縫內壓,MPa；ν—體積泊松比；E—體積楊氏模量。

應變張量單元通過對位移在x、y方向的偏導數來計算:

(3)

x和y方向的總應力由應變張量(εxx，εyy，εxy)確定為:

(4)

(5)

由于剪切應力不受地層孔隙壓力的影響，因此剪切應力表示為：

(6)

主應力的大小計算為：

(7)

(8)

最大主應力方向不受孔隙壓力的影響，最大主應力方向為：

(9)

所有疊加的水力裂縫的彈性位移方向相加得到多裂縫，多裂縫x軸和y軸的坐標表示為：

(10)

(11)

計算了多裂縫的總位移場后，依次求解裂縫的應變、應力和應力分布。

1.3 裂縫擴展準則

采用最大周向應力準則描述裂縫擴展過程,當裂縫尖端位置處的最大拉應力超過巖石抗拉強度,裂縫向前擴展;反之,裂縫停止擴展[9]。當滿足斷裂擴展準則時,裂縫擴展的方向總是與最大拉應力方向正交。每個裂縫尖端坐標位置表示為：

Zj(tj)=Zj-1(tj-1)+V[Zj-1(tj-1)]Δt

(12)

式中：Z—二維空間中裂縫尖端位置；t—二維空間中裂縫尖端位置的時間，s;V—裂縫擴展速度，m/s；Δt—時間步長,s。

裂縫擴展速度V可以描述DFIT數據中泵速的任何變化。此外，時間步參數Δt用于描述DFIT數據中的注入開始時間、注入持續時間和停泵時間。

2 壓裂模型及仿真分析

2.1 現場壓裂實驗數據及模擬參數

選取某凹陷東部區塊，油藏是受一近東西向北頃弧形斷層控制的斷鼻構造，地層南傾，地層傾角13°；孔隙度分布區間10%～16% ，平均13.6%，滲透率0.5～1.5 mD，屬特低滲儲層；油藏埋深 3 280～3 420 m，地層壓力43.44～44.86 MPa，地層溫度120 ℃，壓力系數1.125，屬偏高壓系統。

從DFIT數據中收集的B213水平井第五段參數用于時間步長線性疊加法(TLSM)模擬，其中該井的裂縫延伸壓力64.54 MPa，注入排量1 m3/min，裂縫延伸開始時間0 min，注入時間 4.5 min，濾失停止時間7.39 min，濾失停止時的泵壓54.26 MPa。

平衡地應力后，設置壓裂階段注入速率恒定為 1 m3/min，注入時間4.5 min，模擬參數結果顯示注入開始時孔隙水在壓裂點附近聚集，孔隙水壓力上升至破裂壓力后裂縫開始延伸，裂縫延伸壓力為64.54 MPa,預設模型TLSM中總得注入體積4.36 m3，壓裂后最終裂縫長度延伸至1.29 m，裂縫縫寬0.015 m，裂縫縫體積0.78 m3，裂縫數量196條，裂縫尖端位置坐標為(0，7.62)，(0，-7.62)。

2.2 模型驗證

為驗證TLSM模型的準確性，將基于TLSM模型計算得到的裂縫垂直于裂縫中心的應力大小σyy的數值與經典Sneddon解[10]進行對比,見圖2。

圖2 經典Senddon解與本文TLSM模型結果的對比

對比結果表明 TLSM解與經典的Sneddon解具有很好的匹配性。雖然這里應用的LSM是基于Sneddon的，但解的匹配證明了TLSM模型的位移方程(10)和方程(11)，以及通過位移梯度和本構方程得到了正確的結果。驗證了本文模型在裂縫擴展描述上的準確性。

3 仿真結果分析

在水力壓裂改造開始前，初始孔隙壓力隨空間變化，但不存在應力張量場，裂縫內壓力為零時，最大主應力分布如圖3。主應力方向無空間變化，處處為零，如圖4。

圖3 裂縫內壓力為零時最大主應力分布圖

圖4 時間為零時主應力方向分布圖

壓裂改造開始后，t=0.093 min,隨著裂縫的發育，隨著裂縫的擴展，最大主應力和最大主應力方向線進一步發生變化。孔隙壓力梯度的存在對最大主應力大小開始產生影響，但不影響主應力方向線。最大主應力改變的范圍僅限于水力裂縫附近，而由于水力裂縫引起的應力張量場使壓力場發生變化，主應力軌跡在孔隙—彈性或彈性介質中隨處可見,如圖5和圖6所示。

圖5 裂縫內壓力為64.54 MPa時最大主應力分布圖

圖6 時間為0.093 min時主應力方向分布圖

t=4.583 min時，壓裂改造結束，停泵。圖7和圖8顯示了注入結束時最終壓裂裂縫的TLSM模擬結果，緊接在裂縫內壓力因停泵而降低。觀察到水力裂縫在變孔隙壓力區域內均勻發散。該階段水力裂縫擴展引起的應力對儲層孔隙壓力起主導作用。

圖7 裂縫內壓力為64.54 MPa時最大主應力分布

圖8 時間為4.583 min時主應力方向分布圖

t=7.389 min時，停泵后，天然裂縫施加的遠場應力改變了兩個水力裂縫的擴展方向。最終的水力裂縫在濾失后的擴展形態如圖9和圖10所示。

圖9 裂縫內壓力為54.61MPa時最大主應力分布圖

圖10 時間為7.389 min時主應力方向分布圖

兩個水力裂縫的動態擴展采用局部孔隙壓力梯度模擬，雖然單獨的孔隙壓力梯度不會導致任何可識別的裂縫重新定向，但近地應力場擾動存在時，這種重新定向就會出現。采用TLSM模型對孔隙彈性和遠地應力場的競爭效應進行了應力場模擬得出:

(1)孔隙壓力的空間變化不影響裂縫的擴展方向(圖7和圖8)。

(2)應力狀態的集中變化出現在在離水力裂縫最近的區域。

(3)近場應力的疊加(在這種情況下是受壓的天然裂縫)會導致應力反轉以及先前對稱的水力裂縫模式的重新定向。

4 結論與認識

(1)孔隙壓力損耗不會單獨引起的主應力場重新定向，孔隙壓力梯度變化不是引起應力反轉的主要影響因素，而是當遠地應力場和近地應力場疊加時，發生應力反轉現象。

(2)當附近的新井受到水力壓力時，干預會引起近場應力的局部變化，從而在井附近產生偏地應力場。另外，預先存在的天然裂縫也可能引起近地應力場的變化。在高孔隙壓力區和低孔隙壓力區觀察到的水力裂縫的重新定向可能不是孔隙壓力空間變化而產生的，而是由陰影應力的空間變化引起的。

(3)注入過程中(x,y)=(0,0)處的最大主應力隨著裂縫的擴展而急劇增加，主應力先是指數級下降，然后隨著裂縫閉合而趨于平緩，而注入壓力保持不變。說明最大主應力的變化主要是由裂縫擴展時裂縫幾何形狀的變化引起的，而不是注入壓力的變化引起的。

(4)應力狀態的變化集中發生在在最靠近水力裂縫的區域，近地應力的疊加和受壓的天然裂縫，導致應力反轉，與孔隙壓力不同，儲層中的應力重新定向可以歸因于干預措施所施加的近地應力的變化。