自適應二階滑模的有限時間收斂角度約束制導律*

王 洋，孔令云，陳明淑

（西京學院理學院，西安 710123）

0 引言

由于傳統比例制導律所需測量量少且結構簡單，因此，在實際導彈系統中比例制導律得到了廣泛應用［1-2］。然而隨著現代信息化戰爭的發展，對導彈的任務需求不再是單一的命中目標，還需要滿足一定的約束條件。其中，為了發揮戰斗部的威力，需要導彈以一定終端約束角度命中目標，這就是角度約束制導模式［3］。

基于滑模控制的強魯棒優點，許多角度約束滑模制導律都采用滑模控制方法設計［4］。但是這些傳統滑模制導律有兩個問題：一方面，傳統滑模面為線性收斂，收斂速度較慢；另一方面，傳統滑模制導律含有非連續切換項，會引起抖振問題。

為了提高滑模控制的收斂速度，文獻［5］提出了具備有限時間收斂特性的終端滑模面。文獻［6］針對終端滑模的奇異問題提出了非奇異改進方法。基于有限時間收斂滑模控制理論的發展，有國內外學者提出了有限時間收斂的角度約束制導律。文獻［7］基于非奇異終端滑模面以及快速冪次趨近律，設計了有限時間收斂角度約束制導律。但是，在目標存在機動加速度時，文獻［7］的狀態誤差無法收斂到零。文獻［8-9］采用非奇異終端滑模設計角度約束制導律，從而保證了目標機動時狀態誤差依舊能有限時間收斂到零。但是，文獻［8-9］方法使用的非連續切換項又帶來了抖振問題。

近年來，隨著二階滑模控制理論的發展，具備了在實現狀態誤差有限時間收斂的同時解決抖振問題的可能［10-11］。文獻［12-13］皆采用二階滑模理論進行角度約束制導律設計，在目標機動的情況下，可無抖振地實現系統誤差有限時間收斂。然而，這些基于傳統固定增益二階滑模設計的制導律，需要提前已知目標加速度等未知干擾的微分上界。實際上目標機動情況復雜，因此，難以提前預知相關上界信息。

基于以上問題，本文提出了一種新型基于自適應二階滑模的有限時間收斂角度約束制導律。首先，構建了角度與角速度誤差的非奇異有限時間收斂滑模面，保證系統誤差在滑模面上有限時間快速收斂。其次，基于參數自適應二階滑模算法設計制導律，保證滑模面的有限時間可達。由于參數自適應變化，無需提前已知目標機動的相關上界信息，所設計制導律具有強適應能力。最后，在各種目標機動情況下與傳統有限時間收斂滑模制導律以及有限時間收斂二階滑模制導律進行仿真對比，結果表明所設計的制導律同時具備有限時間收斂及強適應能力。

1 問題描述

圖1 導彈-目標攻防對抗關系

可以建立導彈以及目標的位置方程

可以建立如下的導彈-目標相對運動方程

設計目標：考慮期望終端角約束為qd，本文設計目標為期望終端角在有限時間tk內可達，同時，視線角速率有限時間tk內收斂到0：

其中，tk為正常數。

2 模型推導

3 制導律設計

3.1 非奇異有限時間收斂滑模面設計

3.2 基于傳統切換項的制導律設計

針對滑模面式（14），采用傳統滑模控制理論，可以設計如下的有限時間收斂滑模制導律（Finitetime-convergent sliding-mode guidance law，FTCSMGL）：

3.3 基于二階滑模的制導律設計

為了解決FTC-SMGL 的抖振問題，采用二階滑模設計制導律，首先給出二階滑模控制的相關引理：

引理3（二階滑模控制算法）［16］：考慮如下系統

由引理3 可知，只要參數滿足式（29），則s 及s˙將在有限時間收斂到0，由此式（16）將在有限時間成立，按照引理2 設計滑模面參數就能保證x1及x2有限時間收斂到0。

證明完畢。

3.4 基于自適應二階滑模的制導律設計

對于FTC-SMGL 與FTC-SSMGL 來說，分別需要已知不確定項上界dmax或者不確定項微分上界。實際上，由于目標機動情況復雜，難以提前已知相關信息。因此，在面對復雜的目標機動時，以上制導律存在難以適應的問題。為了解決二階滑模算法需要已知不確定項上界信息的問題，已經出現了相關的參數自適應算法，接下來本文將基于自適應二階滑模算法設計角度約束制導律，在解決抖振問題的同時，避免使用與目標機動等相關的未知信息，首先給出需要用到的引理：

引理4（自適應二階滑模控制算法）［17］：考慮如下的系統

其中，p4為正常數。

定理3：如果系統式（9）采用式（37）FTC-ASSMGL，其中的制導律參數q1、q2、α1以及α2滿足引理2 的要求，制導參數p4滿足引理4 的要求，則系統狀態x1及x2可在有限時間內收斂到0。

證明：將制導律式（37）代入式（18）可得

可知系統狀態滿足引理4 所給出的形式，由引理4 可知，s 及s˙將在有限時間收斂到0，由此將在有限時間成立，按照引理2 設計滑模面參數就能保證x1及x2有限時間收斂到0。

證明完畢。

4 仿真驗證

仿真中考慮3 種制導方法：式（19）給出的FTCSMGL，式（28）給出的FTC-SSMGL 以及式（37）給出的FTC-ASSMGL。3 種方法滑模面的參數相同，都取為q1=0.1，q2=0.2，α1=0.428 6 以及α2=0.6。3 種制導律所用到的參數分別取為φ1=0.03，φ2=0.004，λ2=0.11，k2=0.008 以及p4=0.014。

考慮兩種不同幅值及變化率的目標機動場景：

圖2 場景1 仿真結果（AT=10sin（t/5））

表1 脫靶量

圖3 場景2 仿真結果（AT= 70sin（2t））

5 結論

基于非奇異有限時間收斂滑模面及參數自適應二階滑模算法，本文提出了一種新型有限時間收斂角度約束制導律。所設計的制導律參數能夠自適應變化，避免了傳統基于二階滑模或切換項設計時需要目標機動上界信息的問題，更加符合戰場使用實際。同時，所設計的制導律可以保證角度與角速率誤差有限時間快速收斂，且制導指令連續無抖振。最后，在各種機動目標下仿真，結果驗證了上述優點。