借助GeoGebra發展學生直觀想象素養

隨著課程改革全面推進，傳統的“一支粉筆、一塊黑板”的授課模式已無法適應時代要求。信息技術的發展與應用為教與學方式變革提供了可能。教學軟件的應用為數學教學打開了一扇新門。直觀想象是連接現實與數學的橋梁，其作用不可估量。教師借助GeoGebra（以下以“經典5”為例），能變靜為動，形象化表達數學知識，打破“意會”與“言傳”之間的壁壘，必將成為培育學生直觀想象素養的有效利器。

一、直觀想象與動態幾何軟件GeoGebra

作為數學學科核心素養之一的直觀想象，其核心主要在于利用圖形來表征數學問題，建立形與數之間的聯系，從而使學生加深對事物本質和規律的認識^[1]。GeoGebra憑借可視化手段，溝通“數與形”之間的聯系，促進學生對數學知識的直觀感知和整體把握，誘發學生的空間想象。GeoGebra的應用能與直觀想象深度結合，加深學生對數學知識的理解，培育其直觀想象素養。正如曹一鳴教授所言：“GeoGebra作為動態幾何軟件，可以實現傳統數學課堂中所無法實現的靈活的動態演示，更好地實現數形結合，培養學生的直觀想象素養，實現多元表征的呈現與連接?！?sup>[2]

二、借助GeoGebra發展學生直觀想象素養的實踐

（一）多區域聯動，構建數與形之間的內在聯系

GeoGebra有多種視圖區，這些區域不是彼此無關的個體，而是相互聯系的整體。比如在繪圖區創建一個圖形，代數區會同步顯示它的具體信息;反之，在代數區變動圖形的具體信息，繪圖區內的圖形也會發生相應變化。教師利用這種功能，能實現數與形的呼應，讓學生“觀賞”數學抽象之美。

【例1】（2018年合肥三模理12）已知函數 （）=²---2有零點、，函數 （）=²-（+1）-2有零點、，且<<<，則實數的取值范圍是。

A.（，-2） B.（，0）

C.（-2，0） D.（1，+∞）

【點撥1】根據函數 （）、 （）的解析式與條件“ < < < ” 做出圖象（如圖1），由兩個函數圖象的位置關系，可得 （） > 0， （） = 0， （） = 0， （） < 0， （） < 0， （） = 0， （） = 0， （） > 0?；?，得 （1-） < 0， （1 - ） < 0， （1 -） > 0， （1-） > 0。要確定的符號，需要知道、、、與1的大小關系。由于的值不確定， 因此無法直接由圖1得出它們的大小關系。下面，借助GeoGebra來做實驗。

【實驗1】先輸入 （）=²---2，創建滑動條，范圍為[-5，5]，增量為0.01;再輸入 （）=²-（+1）-2，利用“零點值”工具創建 （）的零點、， （）的零點、（如圖2）;創建直線=1，然后拖動滑動條，觀察。

【結論1】函數 （）的圖象與 （）圖象的交點始終在直線=1上。

【點撥2】結合圖1，有<<1<<。由 （1-） < 0，得 < 0。再由兩函數圖象的交點在軸下方，知 （1）= （1） < 0，即 > -2，故-2 < < 0。借助GeoGebra來驗證這個結果，并探索當取其他值時，這兩個函數的零點的大小關系。

【實驗2】拖動滑動條，觀察。

【結論2】當-2 < < 0時，<<<;

當>0時，<<<;

當=0時，=<=;

當=-2時，<<=;

當-2.25<<-2時，<<<;

當=-2.25時，<=<;

當<-2.25時，<，，不存在。

反思：建立數與形的聯系是直觀想象素養的主要表現之一，是培育與評價學生直觀想象素養的基本途徑之一。GeoGebra是從數到形再到數之間自由轉換的橋梁，教師可以用它將數與形溝通起來，達到借形釋數、以數輔形以及數形結合的功效。本例中，“兩函數圖象恒過直線=1”是隱藏很深的條件，如何把它挖掘出來并確定它與零點的大小關系是解題的難點。借助GeoGebra可以直觀地看到這個結果，并能“細致入微”地看到的取值不同導致兩函數圖象的位置差異，進而為解決問題提供啟迪。

（二）便捷的工具欄，構建直觀模型，發展幾何直觀能力

GeoGebra擁有豐富的作圖工具，既能畫出數學教學所需要的基本圖形，又能構造出基本圖形的位置與數量關系。利用這些工具構建解決問題的直觀模型，配以動態演示，可為學生創造一個良好的糾正錯誤的情境，發展學生的幾何直觀能力。

【例2】已知&nbsp;=2，=3，則

的最小值為。

錯解：由平面向量加法法則，得

方向相同時等號成立。所以，的最小值是4。

點撥：從形式上看，該解法沒有問題。然而，由平面向量減法法則，得

，當且僅當，方向相反時等號成立。故4不是的最小值。因此，可以斷定問題出在“，方向相同”上。那么，如何判斷它們的方向是不是相同呢？顯而易見，將所有模相等的向量的起點平移到同一點，那么它們的終點構成的是一個以共同的起點為圓心、以模長為半徑的圓。因此，可構造兩個半徑分別為2和3的同心圓模型。

實驗：用圓工具創建半徑為2和3的同心圓、;用點工具在圓上創建點，用直線工具創建直線，用交點工具創建直線與圓的交點、，以及與圓的另一個交點。隱藏直線，并用向量工具創建 ==;用點工具在圓上創建點，再用向量工具創建 = 、 = + 、 = - ，故 =+。用文本工具分別創建文本、、+（如圖3）。拖動點在圓上運動，觀察。

結論：（1），不可能同向，即

的最小值不是4 ;（2）當，反向，即點與點或重合時，+取最小值6;（3）當點在圓弧的中點時，+取最大值7.21，是2&nbsp; 13的近似值。

解決：由圖3，可令 = ， = ， 則有²+² = 26，故可將問題轉化為在約束條件²+²=26，1≤≤5，1≤≤5下，求=+y的最小值和最大值，然后利用線性規劃的知識來解決問題。

反思：對于學生而言，判斷向量當 + ， -方向能否相同較為困難。教師借助GeoGebra構造同心圓模型，再配以動態演示，讓學生直觀地“看”出向量 + ， - 方向的不同以及在何種情況下取最值。學生借助該模型的直觀，進行代數換元，進而利用線性規劃的知識解決問題。例中，GeoGebra為學生搭建了可視化的平臺，引導學生經歷聯想模型、構造模型、利用模型解決問題的過程，在糾錯中發展幾何直觀能力。

（三）應用3D功能創建逼真的三維場景

用平面表達三維空間是很抽象的，尤其是“錯綜復雜”的線面關系，更是讓學生很頭痛。使用GeoGebra的3D功能，不僅能輕松完成圖形的“拉出”和“展開”等操作，而且能讓圖形旋轉起來（只需用鼠標拖曳一下），進而為學生呈現不同視角下的圖形樣態，提高學生的空間想象力。

【例3】直線與平面平行的性質定理的實驗操作。

分析：此實驗教學旨在培育學生發現與提出問題能力。人教A版教材先提問“如果一條直線與一個平面平行，能推出哪些結論？”然后，通過分析，得到“若過直線的平面與平面相交于，則∥”。接著給出證明。然而，“過直線的平面”（與平面不平行的）是“任意”的。如何理解“任意”是學生的思維難點。

實驗：構建直線與平面平行;在平面內創建點，并構造滑動條;過點和直線創建平面，并構造平面與平面的交線;再過點創建直線的平行線，與重合（如圖4）;然后拖動滑動條，觀察。

結論：當平面變化時，直線始終與直線平行。

反思：借助GeoGebra的3D功能，能夠為學生創設立體空間，讓學生在動感直觀中做出合情推理。然后，通過演繹推理驗證合情推理的結果，豐富幾何直觀與空間想象的經驗，發展直觀想象素養。

（四）豐富的指令集為數據整理與分析提供幾何直觀

頻率分布直方圖是反映數據分布特點的重要形式，而讓學生體會組距（或組數）對數據分布的影響是必要的。GeoGebra擁有的指令集能為該內容提供技術幫助。

【例4】樣本數據的分布。

分析：人教A版教材給出了100戶居民的月均用水量數據，單位為t（如圖5）。如何直觀感知組距（或組數）對數據分布的影響呢？

實驗：將數據創建到代數區，得到列表;輸入指令“組限（，）”，得到列表，并創建滑動條，范圍為1～40，增量為1;輸入指令“直方圖（false，，，true，1/100）”，得到直方圖;把比例“軸∶ 軸”改為“50∶1”，并創建文本“頻率/組距”和“月均用水量”（如圖6）。拖動滑動條，觀察。

結論：

（1）當=9時，數據的分布情況;

（2）拖動滑動條，觀察組距（或組數）對數據分布的影響，形成從直觀感知到理性分析的跨越。

反思：利用傳統的教學手段進行數據整理、分析并做出合理的判斷是很困難的。GeoGebra擁有豐富的統計指令，能使數據以圖表等直觀的樣態呈現，供學生分析，進而做出合理判斷，提升學生的數據分析素養。

（五）動態演示為誘思探究提供可視化平臺

探究數學對象的運動規律，始終是傳統的數學教學“難言的痛楚”。教師應用GeoGebra的動態演示功能，能很好地解決這個問題。“開啟跟蹤”按鈕或“軌跡”工具，就能使運動變化下的規律性變得一覽無余。

【例5】（2020年莆田市3月?？?6）△的內角、、的對邊分別為、、。已知cos + cos（+）=0， 是邊上的中線，且=1，則△面積的最大值為。

問題：易得=2 。當 =2時，點的軌跡是什么？

實驗：用點工具創建點，用線段工具創建長度為1的線段，用直線工具構建直線;創建滑動條，用位似工具創建點、，用中點工具構造的中點。用圓工具構造以為圓心、以為半徑的圓;在圓上創建點，再用線段工具構造線段、，用文本工具分別創建文本、、 。

結論：（1）拖動點在圓上運動，發現的值始終為常數2，即點的軌跡是以為直徑的圓（如圖7）。

（2）跟蹤圓，拖動滑動條，可得：當=1時，圓不存在;當∈（0，1）時，的值越小，圓越收斂于點;當∈（1，+∞）時，的值越大，圓越收斂于點（如圖8）。

反思：數學探究是有效發展學生直觀想象等數學學科核心素養的綜合性實踐活動。GeoGebra能為師生開展數學探究提供可視化的平臺，幫助學生打開探究數學奧秘之門，引領學生“窺視”數學的本質，探尋數學問題的源與流，讓學生的想象付諸可操作的探索活動之中。該軟件的應用可揭示數學知識本質，培育學生的問題意識和創新精神。

當然，GeoGebra只是一種信息技術，只是發展學生直觀想象素養的工具。在教學中，教師要依據教學內容做出抉擇，不能將數學課堂變成“炫技”的舞臺，不能背離技術應用的初衷。

注：本文系安徽省教育信息技術研究課題“借助GeoGebra培養高中生數學直觀想象素養的實踐研究”（立項號：AH2020045）的階段性成果。

參考文獻

[1] 代欽，王光明，吳立寶.新版課程標準解析與教學指導（高中數學）[M].北京：北京師范大學出版社，2018.

[2] 劉怡軒.GeoGebra在中學數學教學中的應用與展望——訪談曹一鳴教授[J].中學數學教學參考（上旬），2021（5）：42-44.

（作者系安徽省阜陽市臨泉田家炳實驗中學高級教師，阜陽市骨干教師）

責任編輯：祝元志