通過l×m×n的格點陣中至少兩點的直線條數的探究

姚 璐 李 洋

(首都師范大學附屬中學 100048)

引理1對任意的j≥k≥2，定義集合

Ak(j)={(x1,x2,…,xk)|1≤x1

證明對任意的(x1,x2,…,xk)∈Ak(j)，設x1,x2,…,xk的公差為d，則

由加法原理

特別地，我們有

ak(j)j234567…k2136101521…3012469…4001235…5000123…6000012…7000001………………………

特別地，我們規定當k>j時，ak(j)=0.

定義1對任意的正整數l，m，n，記

Ωl×m×n={(x,y,z)|1≤x≤l,1≤y≤m,1≤z≤n,x,y,z∈N*}.

定義2對任意的正整數k(2≤k≤n)，如果點列(P1,P2,…,Pk)滿足

①Pi(xi,yi,zi)∈Ωl×m×n,i=1,2,…,k；

②(x1,x2,…,xk)∈Bk(l),(y1,y2,…,yk)∈Bk(m),(z1,z2,…,zk)∈Bk(n)；

其中Bk(j)={(x1,x2,…,xk)|1≤xi≤j(i=1,2,…,k),x1,x2,…,xk是等差數列}，則稱點列(P1,P2,…,Pk)為Ωl×m×n的一個“好”k點組.

定義3Ωl×m×n的所有“好”k點組構成的集合為Bk(l,m,n)，記bk(l,m,n)= |Bk(l,m,n)|.

引理2設恰經過Ωl×m×n中j個點的直線條數為cj(l,m,n)，令bk(j)=2ak(j)+j，則

證明有兩種方式計算bk(l,m,n)，

(1)一方面，由x1,x2,…,xk∈Bk(l)，設x1,x2,…,xk的公差為dx,

①當dx=0時，x1=x2=…=xk；

②當dx>0時，(x1,x2,…,xk)∈Bk(l)?(x1,x2,…,xk)∈Ak(l)；

③當dx<0時，(x1,x2,…,xk)∈Bk(l)?(xk,xk-1,…,x1)∈Ak(l).

所以，x1,x2,…,xk有l+ak(l)+ak(l)=bk(l)種選擇.

同理y1,y2,…,yk有bk(m)種選擇；

z1,z2,…,zk有bk(n)種選擇.

由乘法原理

bk(l,m,n)=bk(l)·bk(m)·bk(n).

(2)另一方面，Ωl×m×n的所有“好”k點組(P1,P2,…,Pk)可以分為兩類：

①P1=P2=…=Pk，這樣的等距共線k點組共lmn個；

②P1,P2,…,Pk為同一條直線的等間隔的k個不同的點，設其所在直線上恰經過Ωl×m×n的j個點，則k≤j≤n.

設直線L恰經過Ωl×m×n中的j個點(其中k≤j≤n)，順次記作P1,P2,…,Pj，則

Pi1,Pi2,…,Pik∈Bk(l,m,n)的充要條件是

i1=i2=…=ik，(i1,i2,…,ik)∈Ak(j)

或(ik,ik-1,…,i1)∈Ak(j)，

所以，直線L上的k個不同的點組成的“好”k點組共2ak(j)個，故

注意到，當2≤j≤k-1時，ak(j)=0，故

由(1)，(2)得

=bk(l)·bk(m)·bk(n)，故

定理至少通過Ωl×m×n中兩點的直線條數記作N(l,m,n)，則

其中Un-1=(ui,j)(n-1)×(n-1)，

ui,j=ai+1(j+1)(1≤i,j≤n-1)；

Vn-1(l,m,n)=(v1,v2,…,vn-1)T，

(1≤i≤n-1).

證明令wi=ci+1(l,m,n)(1≤i≤n-1)，則由引理2

(v1,v2,…,vn-1)T=Un-1·(w1,w2,…,wn-1)T,

例如：N(5,6,7)可通過下述方式求出：

N(5,6,7)=(1,1,1,1,1,1)·

推論m×n的格點陣可以看作Ω1×m×n，若m×n的格點陣中，至少通過兩點的直線條數記作N(m,n)，則有N(m,n)=N(1,m,n).

特別地，我們有

N(m,n)n234567…m261118273851…320355275100…46293136181…5140207274…6306405…7536………………………