數學通報上兩個幾何不等式的新隔離式*

鐘建新 謝 虹

(1.江西省贛州師范高等?？茖W校 341000;2.江西省贛州市第四中學 341000)

1 引理的給出

引理若a,b,c∈R+，則∑a3-(∑a2b+∑ab2)+3abc≥0．(∑表示循環和)

證明設a≥b≥c，則

∑a3-(∑a2b+∑ab2)+3abc

=(a3-a2b-a2c+abc)

+(b3-b2c-b2a+abc)

+(c3-c2a-c2b+abc)

=a(a2-ab-ac+bc)+b(b2-bc-ba+ca)

+c(c2-ca-cb+ab)

=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)

+c(c-a)(c-b)

≥a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)

≥b(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)

=b(a-b)2≥0，

引理得證．

2 問題的隔離

在△ABC中，記BC=a,CA=b,AB=c,其半周長、面積、外接圓半徑、內切圓半徑分別為p、S、R、r;ra,rb,rc、ha,hb,hc、ta,tb,tc、ma,mb,mc分別是△ABC對應邊上的旁切圓半徑、高、內角平分線、中線．

(當且僅當△ABC為正三角形時取等號)

證明

從而得ma≥ta，同理得mb≥tb，mc≥tc，

又據熟知的ta≥ha，tb≥hb，tc≥hc，

則

據熟知的Gerretsen不等式

16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2，則

又據歐拉不等式R≥2r，得4(R-r)≥2R，

據三角形面積公式得

據權方和不等式得

由上述引理得

2∑a3+6abc≥2(∑a2b+∑ab2)，

據熟知不等式

∑a3=2p(p2-6Rr-3r2)和abc=4Rpr，

結合Gerretsen不等式

16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2，

由此得到一個新隔離式

(當且僅當△ABC為正三角形時取等號)

證明因ma≥ta≥ha，mb≥tb≥hb，mc≥tc≥hc，得到不等式鏈

通分相加得

據 ∑bc=p2+4Rr+r2,

(p-a)(p-b)(p-c)=pr2，

abc=4Rpr，

又據Gerretsen不等式

16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2，則

對不等式左邊分拆得到

整理得

據熟知的不等式∑a3=2p(p2-6Rr-3r2)

和∑a2=2(p2-4Rr-r2)，

結合Gerretsen不等式

16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2，

根據三角形面積公式得

據熟知的不等式

由Gerretsen不等式p2≥16Rr-5r2，

由歐拉不等式2r≤R，得2r2≤Rr，

從而有9Rr≤10Rr-2r2，

從而得到另一個新隔離式