利用指針式電流表搭建瓦特秤

劉天奇，崔芳鳴，馮一辰

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

利用電流表測量微小質量的實驗已經有報道[1]，但該實驗需要對裝置進行定標，其測量分辨率由于受制于定標物的精度，而無法達到較高的水平，且不能充分發揮電學量測量精度高的優勢. 上世紀七十年代英國物理學家基布爾為了定義國際標準電流單位——安培，發明了基布爾秤[2]. 隨著量子霍爾效應以及約瑟夫森結現象的發現，基布爾秤將經典力學的現象與量子力學聯系起來，通過實驗設計，基布爾秤成為可以高精度測量普朗克常量的裝置，后來由此提出了用基本常量定義國際標準質量單位——千克. 因此基布爾秤在計量學上具有十分重要的地位.由于基布爾秤的基本原理公式左右兩端均為功率的量綱，因此基布爾秤又被稱為瓦特秤. 它的2種工作模式中，涉及2個物理過程：通有電流的線圈在磁場中受力；該線圈在磁場中運動切割磁感線產生感應電動勢. 從基本原理出發，有很多方法可以制造簡易的瓦特秤.

制造瓦特秤需要產生合適的磁場，并找到符合需求的線圈. 對此可以從基本零件開始構建瓦特秤[3]，也可以考慮改裝存在類似結構的電子元器件[4]，如揚聲器. 實驗室中常見的指針式電流表具有上述的結構：有良好的磁場，且有通過電流后會在磁場中受到安培力的線圈；如果人為地撥動指針，電流表內的線圈便會切割磁感線產生感應電動勢. 基于此，本文利用大學物理實驗中常用的萬用表、穩壓電源等，通過改裝指針式電流表制成了簡易的實驗裝置，驗證了瓦特秤的工作原理，同時由于電學量的測量分辨本領大于力的測量，因此基于瓦特秤原理設計的裝置在測量微小力方面具有優勢.

1 實驗原理

實驗分為2個過程：首先，金屬導體在磁場中運動產生感應電動勢ε[圖1(a)]，其次金屬導體在同一磁場中靜止并通過恒定電流I[圖1(b)].

取該金屬導體的一段微元，長度為dl，發生2次過程所處位置相同，且磁感應強度為B，第1個過程中導體微元運動速度的垂直導體分量為v(平行于導體的速度分量在此過程不起作用)，第2個過程中導體中自由電子平均遷移速度為u，受到的安培力為dF.同時設該段導體單位長度內自由電子電荷量為ρ.則帶電粒子在電磁場中的受力(洛倫茲力公式)[5]為

dF·v=ρdlu×B·v=

ρdlu·(B×v)=j·(B×v)dl，

(1)

同時，根據電動勢的定義：非靜電力對單位電荷所做的功，在這里非靜電力即為洛倫茲力沿導體方向的分力，所以

ρdlv×B·dl=-ρdl·dU,

(2)

(a)在磁場中運動的金屬導體

(b)靜止在磁場中的通電導體圖1 實驗過程

將式(2)代入式(1)，計算得到

dF·v=jdU.

(3)

式(3)的成立需要滿足以下條件：導體在靜止受安培力及運動產生感應電動勢這2種狀態時，其他條件(如磁場分布等)保持不變；導體運動和受力均在磁場中的同一位置且導體本身不影響磁場(默認此處的導體為非鐵磁材料).只有滿足了上述條件，才能保證磁場強度相等.從對一段導體元的微分式引申到整個導體，如果這2個過程發生在同1個導體上，且導體在磁場中的相對姿態保持不變，那么磁場在導體處的分布則可認為保持不變，積分可得滿足整個導體的表達式：

Fv=UI.

(4)

等式左邊的受力與等式右邊的電流I在相同狀態下得到，左邊的速度v與右邊的導體兩端測得的電壓U是在另一狀態下得到的，此處的UI一般理解為虛功率，并不具有實際物理意義.(4)式兩邊均為功率量綱，本文的裝置也是基于此原理設計并完成對力的測量，只要測得某受外力的非鐵磁性通電導體在靜磁場中相對磁場保持靜止時通過的電流、在磁場中的靜止位置附近運動時的導體速度和兩端電壓，就可求出導體受力.通過瓦特秤這一原理便可以將微小力的測量轉化為電學量和位移的測量，從而制成微力傳感器.

F，v，U，I這4個物理量通過這2個過程聯系起來得到式(4)，因此當測得v，U，I后就可以計算出力F.與傳統的測力方法相比，免去了繁瑣而且容易引入誤差的定標步驟，避免了由于定標物本身精度不高導致的問題[2].

2 實驗裝置

實驗裝置采用指針式毫安表，從內部結構可知，當電表不通過電流時，指針轉動也會切割磁鐵的磁感線產生感應電壓.同時，由于除磁鐵外沒有鐵磁性物質，指針轉動過程不影響表內部的磁場.因此可以通過測量指針某點處的運動速度以及相應的電壓定出比例系數，在同一點處受力時，通過調整輸入的電流使得指針回到初始位置，根據電流大小測量出受力大小.對于這個裝置來說，電流表指針連接的線圈在磁場中的運動以角速度轉動，因此式(4)可改為

Fv=FLω=Gω=UI,

(5)

其中,L為電流表指針的受力點到旋轉軸的垂直距離，G為指針式電表指針受到的力矩.

在進行稱量實驗時，實驗裝置的構型圖和實物圖如圖2所示.

光路調整后，激光器發出的光經過凸透鏡剛好聚焦到指針式電表的指針上，使得指針擋住大部分激光;然后在光路后放置帶有標示線的光屏，通過調整凸透鏡以及激光器的高低，使得指針在平衡位置時，激光經過指針后發生的直邊衍射條紋中的某特定級次剛好與光屏上的標示線重合. 由于采用衍射的方法進行了光學放大，對指針是否位于平衡位置的判斷十分靈敏，整個裝置都必須放置在封閉的空間內以避免空氣流動對判斷指針是否回零產生干擾. 基于這套裝置，就可以通過測量指針在平衡位置附近運動時，某點末端的速度以及相應的感應電壓，將這個過程稱為動態法；再在指針末端測速點受力時，通過調整輸入電流使得指針在光屏上顯示回零，將此個過程稱為靜態法，并讀出當前電流. 根據以上3個物理量就可以反推出當前指針的受力.

(a)構型圖

(b)實物圖圖2 稱量裝置圖

動態法實驗裝置的構型圖和實物圖如圖3所示.

本文設計的裝置與基布爾秤的不同之處在于：傳統的基布爾秤裝置是通過線圈在磁場中平移切割磁感線產生感應電動勢，進而得到電壓與速度之間的關系，這樣設計的裝置比較復雜，線圈的運動狀態也不容易精確控制. 而指針式電表內部所設計的磁場與線圈的位置剛好使得磁場與線圈轉動產生的速度垂直，因此線圈的速度完全用來切割磁感線，不必再進一步求解速度垂直磁場的分量.

(a)構型圖

(b)實物圖圖3 動態法實驗裝置

3 實驗結果

在動態法測量中，位移傳感器連接示波器，實時輸出指針末端標記點的相對位移數據，并利用差分法平滑化后求得指針的速度，同時示波器的另一通道測量指針式電表兩端的感應電壓，將多組相同時刻的2路信號數據點放在同一張圖中，進行線性擬合，結果如圖4所示.

圖4 動態法感應電壓與指針速度的關系

由式(4)可知，電壓與運動速度呈正比關系，而此處的斜率為負的原因是測量感應電壓的正負極與速度規定的正方向相反. 但不難看出，整體符合線性趨勢，而且截距較小可忽略不計.

有了動態法的斜率數據，可利用靜態法測指針末端標記點的受力. 本文測量了多種微小力.

首先是液體的蒸發曲線，將蘸有少許水的細線掛在指針的末端標記點處，通過測量并記錄不同時間的指針受力以繪制出水的蒸發曲線，如圖5所示.

圖5 指針上掛蘸水細線時指針受力隨時間變化

通常液體的蒸發曲線應呈指數衰減形式，由于整個系統的邊界條件復雜，而且還存在空氣濕度等因素的影響，圖5中曲線基本符合指數規律.

將指針放置在多種力場中進行實驗，首先在2個相對放置的超聲波換能器之間形成超聲駐波;然后將指針末端標記點置于超聲波換能器的中線處，將換能器加載正弦波信號；最后同時移動上下2個超聲波換能器從而改變與指針的相對位置，測量出空氣中駐波的聲壓分布. 由于指針不存在反饋調節，因此只在波節附近的半個周期可以穩定存在數據，連續測量了6個不同位置波節附近的數據，其中1個波節處的數據如圖6所示.

圖6 空氣中駐波的聲壓分布

測得的聲壓力分布符合預期的三角函數形式，根據三角函數的空間頻率多次測量取平均值反推出聲波的駐波波長為4.66 mm. 而根據信號發生器顯示的數據以及空氣中的聲速數據計算得到駐波的波長為4.32 mm，相對偏差為2.6%，由此驗印證這種方法的可行性.

最后，將金屬指針與一極板之間加載kV級別的電壓，由于電荷在電場的作用下重新分布，指針與極板之間會產生吸引力，這個力十分微弱，充分考驗了該方法測量微小力的能力. 由簡單的量綱分析可知，吸引力的大小與金屬指針和極板間電壓的平方成正比，同時指針與極板間距越小，吸引力越大. 控制極板間距在不同恒定數值的情況下，受力與電壓的關系如圖7所示.

圖7 不同控制距離下指針受力和極板間的電壓關系

圖7中實線為進行平方擬合的擬合線，圓圈為測量的數據點，不同顏色線代表在不同極板間距下的結果. 以某一位置為初始位置，分別向上移動0～6 mm，得到了圖7中的7條線.不難看出，整體的擬合效果符合理論預期. 考慮到受力與電壓的平方成正比，從數據擬合的準確度方面考量，直接將受力F與電壓的平方U2進行線性擬合，結果如圖8所示.

圖8 指針受力與電壓平方的關系

由圖8可知，線性擬合的結果十分理想，這驗證了量綱分析的正確性. 同時在電壓較低時測量的受力只有0.1 μN，利用電場力的微弱作用，基本達到了在當前實驗條件下系統的最高分辨本領.

4 結束語

本文利用大學物理實驗中常用的穩壓電源、示波器、萬用表、激光器等設備制成了分辨率為0.1 μN的高分辨微力傳感器，不需要進行定標操作，避免了傳統測力手段在定標中引入的誤差. 同時，裝置處于封閉空間，隔絕了外界的空氣擾動等不利因素，并利用這套設備測量了水的蒸發曲線、聲音駐波的聲壓分布以及電場力等微小力，測量結果與預期符合較好. 這些微小力的測量印證了該系統的可靠性，且可直接測量得到許多之前無法直接測量的微小力學量.

在實驗過程中，發現動態法的測量數據波動較大，這主要是示波器的采樣深度不夠導致的，可以替換為采樣深度更高的設備進行動態法數據的測量. 此外，在聲壓分布的測量中該系統無法測量波腹附近聲壓力，主要是由于該系統沒有反饋調節機制，在波腹附近受到聲壓力的正反饋偏移作用會使得指針無法穩定，未來可以通過為設備加裝反饋調節手段來提升系統的可用性以及易用性.

致謝：感謝白在橋老師對本實驗提供的支持！