整體法在牛頓第二定律實驗中的運用探討

摘" 要 部分教輔書和中學教師在分析牛頓第二定律實驗時對整體法的運用存在一些疏漏，通過對此類問題進行探討，希望能引起重視并對教學起促進作用。

關鍵詞 整體法；牛頓第二定律；實驗；曲線坐標系

中圖分類號：G633.7" " 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2021）23-0117-02

1" 問題的提出與分析

例題1 如圖1研究加速度與質量的關系時，先平衡好摩擦力，再掛上砂和砂桶并保持它們的質量不變。若砂和砂桶的質量m與小車的總質量M間的關系不滿足條件m?M，由實驗數據作出a和1/（M+m）的圖像，則與本實驗對應的圖像是" " （選正確選項）。

【解法一】根據牛頓第二定律，以砂桶為研究對象，mg-T=ma；對小車，T=Ma；聯立得：a=1/（M+m）·mg。可知a—1/（M+m）是一條通過原點的直線，故選C。

【解法二】根據牛頓第二定律，以砂桶和小車整體為研究對象，mg=（m+M）a；得：a=1/（M+m）·mg。可知a—1/（M+m）是一條通過原點的直線，故選C。

【解法質疑】解法二存在問題，用整體法是有條件的：當幾個物體的加速度相同時（包括大小和方向），才可以看成整體。解法二的方程實際上是解法一兩個方程聯立所得，但解法二方便快捷，解釋往往是：小車和砂桶沿繩運動，沿繩運動的加速度大小相同，運用整體法，mg=（m+M）a。那么，加速度（方向）不相同，不能用整體法時又該如何處理？

【質疑分析】這里運用整體法還涉及繩的拉力是內力還是外力？某一力是內力還是外力，取決于系統的劃分范圍：若繩兩端所系物體均被劃在系統之內，則一般說來繩的拉力為內力；否則為外力。上述質疑中的整體，跟大學里講的質點組不是一回事，質點組是針對質心討論和列方程的，是普適的。從質點組力學知識中可以知道內力具有以下一些性質：

1）質點組內力的矢量和為零；

2）內力對任一點的力矩的矢量和為零；

3）內力的功之和一般不為零[1]。

當系著兩個物體的繩子跨過滑輪時，跨過滑輪的一對拉力不共線也不反向，第一點就不滿足。若再考慮繩與滑輪邊緣之間不光滑有摩擦力時，這一對拉力連等大這一性質也不具備了，這時繩中的拉力嚴格說是滑輪一側的繩子與其所系物體之間的作用力，以及滑輪另一側的繩子與其所系物體之間的作用力；也可說是繩一端所系的物體與繩所接觸的滑輪之間的作用力以及繩的另一端所系的物體與繩所接觸的滑輪另一側之間的作用力；也就是之前說的一對力實際上是兩對力，這兩對力的大小與方向可以不同。還可以通過一道2018年的江蘇高考題來論證這一觀點。

例題2 （2018·江蘇高考）某同學利用如圖2所示的實驗裝置來測量重力加速度g。細繩跨過固定在鐵架臺上的輕質滑輪，兩端各懸掛一只質量為M的重錘。實驗操作如下。

①用米尺量出重錘1底端距地面的高度H。

②在重錘1上加上質量為m的小鉤碼。

③左手將重錘2壓在地面上，保持系統靜止。釋放重錘2，同時右手開啟秒表，在重錘1落地時停止計時，記錄下落時間。

④重復測量3次下落時間，取其平均值作為測量值t。

請回答下列問題：

（3）滑輪的摩擦阻力會引起實驗誤差。現提供一些橡皮泥用于減小該誤差，可以怎么做？可利用橡皮泥平衡摩擦阻力，其方法為在重錘1上粘上橡皮泥，調整橡皮泥的質量直至輕拉重錘1能觀察到其勻速下落。

（4）使用橡皮泥改進實驗后，重新進行實驗測量，并測出所用橡皮泥的質量為m0。用實驗中的測量量和已知量表示g，得g=" " " " " " " " " " 。

【問題（4）解法】根據牛頓第二定律，以兩個重錘、鉤碼和橡皮泥的整體為研究對象：mg=（2M+m+m0）a。又H=1/2·at2，解得：g=2（2M+m+m0）H/mt2。

【質疑與分析】根據例題1的分析可知，式子mg=（2M+m+m0）a不能稱為整體法，就算強行將兩重錘、鉤碼、繩子和橡皮泥作為整體，該研究對象除了受到向下的重力外，還應受到滑輪對整體向上的支持力N。若規定豎直向下為正方向，設加速度的大小為a，右側重錘1下降，加速度為a，則左側重錘2上升，與規定的正方向相反，所以重錘2加速度為-a，整體法的牛頓第二定律方程應為：（Mg+Mg+

mg+m0g）-N=（M+m+m0）a-Ma。結果明顯是錯誤的。若分別隔離列式，設加速度的大小為a，右側繩子拉力大小為T1，左側繩子拉力大小為T2，滑輪對繩子的摩擦阻力大小為f。

對重錘1，（M+m+m0）g-T1=（M+m+m0）a；對重錘2，T2-Mg=Ma；對輕質繩最高點受力分析，T1=T2+f；再根據放入鉤碼m前，各物體勻速運動合外力均為零；聯立得：mg=（2M+m+m0）a。答案正確，過程復雜，也不是出題的主要意圖。

2" 問題的解決方案

這里建立一個曲線坐標系的數學模型來嘗試解決上述問題，即在繩上取某個點為原點，建立起一個描述物體運動位置的曲線坐標系[2]。如上述例題2，取重錘2為原點O，物體沿繩運動，規定從重錘2經滑輪到重錘1為該坐標系規定的正方向，則其沿繩運動的加速度為曲線坐標系下的切向加速度a，如圖3a所示。

再將兩重錘、鉤碼、繩子和橡皮泥組成的系統列牛頓第二定律F=Ma。其中，M為繩子上懸掛物體的總質量，F為曲線坐標系下的切向合力，所組成的系統與繩子運動方向相同的受力為動力，與繩子運動方向相反的受力為阻力，F為動力與阻力大小相減得到的切向合力，受力分析如圖3b所示。

重錘1所受的總重力（M+m+m0）g與坐標系規定的正方向相同為動力，重錘2所受的重力Mg和繩所受的摩擦力f都與坐標系規定的正方向相反為阻力。由于放入鉤碼m前，系統內沿繩方向的各物體所受的合力為零，故除鉤碼重力外，系統內其余的動力和阻力的切向合力為零，即mg=（2M+m+m0）a，如圖3c所示。

上述得到的方程看似簡單，本質上還是用隔離法分別對系統內各物體列牛頓第二定律方程聯立的數學結果。這里嘗試引進曲線坐標系的數學處理，使得系統內等大反向的作用力和反作用力在數學運算中抵消，實際上作用力和反作用力分別作用在系統內不同物體上，效果不能疊加，故此方程為數學表達式，不具有嚴謹的物理意義。但該方法用起來方便，特別是避免了繩子的拉力和滑輪對繩子支持力的出現，大大簡化了計算。

3" 結論

對于教材中的牛頓第二定律實驗的研究，總結下來一般可分為三個層次。

第一層次：T=Ma（假定已經平衡摩擦力，即除拉力T以外的合外力為零）。

第二層次：拉力T和懸掛物mg并不相等，mg-T=ma。

第三層次：聯立上述兩式子，消去T之后有mg=（M+m）a。

如果實驗的目的是探究牛頓第二定律，只能回到第一層次，因為第二和第三層次都是已知該定律的前提下才有的。如果一定要將第三層次的（M+m）看作整體，這種概念雖然有時候解題有效，但其實是某些特例情境下硬加進來的概念，不是普適的，不具有嚴謹的物理意義。建議在教輔書的編寫和教學中還需要做到措辭嚴謹，避免對學生造成誤導。

參考文獻

[1]王唐.淺談繩的張力[J].晉中師專學報，1995（2）：32-33.

[2]李文略.一般曲線坐標系下的質點動力學方程[J].淮陰師范學院學報（自然科學版），2014（2）：133-138.

作者：王雪茹，北京市第一七一中學，中學高級教師（100013）。