憶阻開關混沌電路及其吸引子共存現象研究

馬銘磷 劉 穎 李志軍

(湘潭大學自動化與電子信息學院 湘潭 411105)

1 引言

1971年，美籍華裔科學家蔡少棠根據電路基本變量組合完備性原理預測了描述電荷與磁通關系元件的存在，并將其定義為憶阻器[1]。到2008年，惠普公司實驗室研究人員首次物理實現了憶阻器并在《Nature》 雜志上進行了報道[2]。憶阻器由于其非線性和記憶特性，在圖像加密[3,4]、神經網絡[5-8]、語音通信[9,10]、邏輯運算[11]、非線性混沌電路系統[12-14]等領域中都具有重大的潛在應用價值。最近幾年，對于憶阻器模擬器電路設計的成果也很豐富，典型的如譚志平等人[15]提出的浮地型憶阻器模擬電路；Wang等人[16]提出的多分段線性憶阻模擬電路；Bao等人[17]提出的1階廣義電壓控制型憶阻器模型。由于憶阻器具有非線性和記憶特性，基于憶阻的混沌電路比傳統的非線性電路具有更為復雜的動力學行為。

混沌系統不僅僅可以產生混沌吸引子，當系統參數在特定的情況下，根據初始條件的不同系統的運行軌跡也可能發生變化，從而產生幾個獨立的吸引子，形成多吸引子共存現象[18]。由于不同的狀態變量初始值可以將系統引向不同的吸引子，每個吸引子所對應的所有初始條件的集合就構成其吸引域。當系統的初始條件位于各個吸引域的邊界時，系統中只要有微小的噪聲存在都可能導致系統的運行軌跡發生變化，往往具有很復雜的動力學行為，這就導致了系統的運行軌跡變得不可預測。在實際應用中如果出現這種多吸引子共存現象會對電路的運行造成很大的影響，值得深入了解和研究。

目前對于分岔理論的研究大多是針對光滑動力系統進行的，而對于開關電路的動力學行為研究較少。近年來人們發現在開關電路中存在著豐富的非線性現象，邊界碰撞分岔是開關系統中很常見的問題，在機械振蕩器[19]、分段線性電路[20,21]和電力電子設備[22,23]中都可以找到邊界碰撞分岔的例子。這些研究表明邊界碰撞分岔可以直接導致系統運行軌跡發生變化。邊界碰撞中有一類特殊的分岔，其在分岔點同時產生多個共存吸引子[24]。當系統參數平穩變化時，在分岔點之后共存吸引子的吸引盆非常接近，以至于系統中存在的噪聲可以把系統運行軌跡從一個吸引子轉移到另一個吸引子。這就導致不可能預測系統在分岔之后運行軌跡將跟隨哪個吸引子，這是系統中不確定性的根本原因，稱這種分岔為多吸引子分岔。文獻[25]首次提出了一個具有多吸引子分岔的開關電路，在該系統分岔點之后出現了周期3極限環與混沌吸引子共存的現象，并驗證了多吸引子分岔在電路中的可實現性。

開關電路是典型的非線性系統，本文在文獻[25]的基礎上提出了一種包含兩個參考電壓和一個憶阻器的開關電路。由于憶阻器對流經的電荷具有記憶作用，因此基于憶阻器的電路能出現更豐富的非線性現象。本文提出的電路產生了非常復雜的非線性動力學行為，文中論述了隨系統初始值的改變而出現的多吸引子共存行為，包括不同混沌吸引子的共存、不同周期極限環的共存，以及周期極限環與混沌吸引子共存等現象。電路中存在的多吸引子共存現象對系統的運行可能帶來不可預計的破壞性，為了設計穩定可靠的開關電路，有必要對其運行機制進行深入了解，避免其產生一些非理想的破壞性結果。本文為進一步探索開關電路中混沌的應用以及對多吸引子共存現象的研究具有重要意義。

2 電路描述

本文所提憶阻開關混沌電路如圖1所示，其中包含一個方波電壓源V(t)，兩個電容C1和C2，一個電感L，兩個電阻R和RC，兩個電壓比較器U1和U2、兩個參考電壓Vref和-Vref、兩個開關S1和S2、一個憶阻器RM。其中比較器U1和比較器U2分別控制開關S1和S2的閉合以及斷開。根據開關S1和開關S2的狀態不同，圖1所示開關電路的工作拓撲也隨之改變。

圖1 憶阻開關混沌電路圖

圖2所示為文獻[17]所提出的電壓控制型憶阻器RM的等效模型，其中包括1個運算放大器U，3個電阻Ra, Rb和Rd, 1個電容C0以及2個乘法器M1和M2，值得一提的是，并聯電阻Rb可以避免直流電壓積分漂移，因此選用圖2所示憶阻器模型更適合硬件實驗。圖2所示的憶阻電路是一個一端接地的單端電路，其電路方程如式(1)所示

圖2 憶阻器RM等效電路

則系統方程式(2)轉換后的無量綱狀態方程組為

則系統方程式(3)轉換后的無量綱狀態方程組為

則系統方程式(4)轉換后的無量綱狀態方程組為

在此電路中，當開關S1和S2斷開時，由于其輸入電壓為方波，當輸入電壓的幅值達到一定值時，此電路的工作狀態在圖3(a)、圖3(b)、圖3(c) 3種電路狀態下不停變換；同樣當開關S1或S2閉合時，由于其輸入電壓為方波，電路的工作狀態也在圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)3種電路狀態下不停變換，且在同一時間電路只工作在其中一種狀態下。

圖3 開關電路的工作狀態電路圖

3 仿真實驗

該電路數值仿真得到的時序波形如圖4所示，當開關S1和開關S2斷開時，即當電阻R與電容C2兩端的電壓之和大于-Vref且小于Vref時，比較器U1和比較器U2的輸出端輸出為零，電路沒有達到發生邊界碰撞的條件，此時系統仿真時序波形圖如圖4(a)所示，系統的運行狀態是周期的。可以注意到其中VU1和VU2始終為0 值，即S1與S2始終保持為斷開的狀態，此時電路工作模式拓撲圖始終為圖3(a)所示。當開關S1或開關S2被導通時，即當電阻R與電容C2兩端的電壓之和小于-Vref或者大于Vref時，比較器的U1和U2的輸出端輸出不全為零，此時電路工作模式在圖3(a)，圖3(b)，圖3(c)3種電路模式下轉變。當輸入電壓V(t)的電壓峰值小于3.29 V時，其數值仿真得到的時序波形圖如圖4(b)所示，VU1和VU2在0與1值之間無序跳變，此時系統的工作狀態處于混沌態。當輸入電壓V(t)的電壓峰值大于3.7 V時，依據電路初值狀態的不同，電路的時序波形圖分別如圖4(c)、圖4(d)、圖4(e)所示，開關S1和開關S2被有序導通，此時系統中存在幾種不同的周期極限環共存。當V(t)的電壓峰值等于3.7 V時，系統中發生了邊界碰撞，在V(t)的電壓峰值大于3.7 V時，依據系統初始狀態的不同，系統的運行軌跡也改變，這表明在V(t)的電壓峰值等于3.7 V時系統中出現了邊界碰撞分岔。

圖4 電路時序波形圖

當系統的參數固定，各參數的初始狀態發生變化時，系統的運作軌跡也改變并形成不同的混沌吸引子，從而形成了多吸引子共存現象。選擇系統參數為a=50,b=5000,c=d=1×109,f=1/30,h=1/3×108,m=n=50000。用Ep表示參數E的正值，當Ep增大時，該憶阻分段光滑系統狀態變量Z的分岔圖如圖5所示。圖5為共存分岔圖，其中紅色部分對應系統初始狀態為(0, 0, 0, -1)、藍色部分對應系統初始狀態為(0, 0, 1, -1)、綠色部分對應系統初始狀態為(1, 1, 1, -1)；從 圖5可以看出，系統呈現了不同周期數的極限環共存、周期與混沌吸引子共存等復雜的動力學行為。

如圖5所示，當Ep<0.28時，系統中存在3個單周期極限環的共存。從圖中可以看出當選取系統初始值為(1, 1, 1, -1)時，系統的運行軌跡在Ep>0.28后開始變得不穩定，在兩種單周期極限環之間跳變。隨著Ep的增大，在Ep=0.38，選取系統初始值為(0, 0, 0, -1)時，系統的運行軌跡也開始在兩種單周期極限環之間跳變。這種狀態持續到Ep=0.74時，系統發生邊界碰撞，兩種系統運行軌跡都進入了混沌態，此時系統中存在混沌態和單周期狀態的共存。當Ep=1.4時，系統發生邊界碰撞由原來的周期1極限環進入混沌態。此時系統運行狀態為混沌態，系統具有良好的混沌魯棒性，一直持續到Ep=3.28時，系統由混沌態開始過渡到周期態。在3.283.7時，系統中存在著兩種穩定的周期2極限環和周期5極限環的共存。

圖5 狀態變量Z隨參數E變化的系統共存分岔圖

圖6給出了隨系統參數E變化時，系統的XZ平面相軌圖，從此圖可以看出，在E相同而電容、電感、憶阻器的初始條件不同的情況下、系統產生了不同的共存吸引子。

當E=±0.34時，系統的X-Z平面相軌圖如圖6(a)所示，存在3種單周期極限環共存。其中紅色部分、藍色部分和綠色部分所對應的系統初始值分別為(0,0,0,-1)，(0,0,1,-1)和(1,1,1,-1)。當E＝±1時，系統的X-Z平面相軌圖如圖6(b)所示，其中綠色部分與藍色部分的混沌吸引子重疊，可以看到系統中存在單周期與混沌吸引子的共存。當E=±3.28時，系統的X-Z平面相軌圖如圖6(c)所示，系統中存在兩種不同的混沌吸引子共存現象。當E=±3.4時，系統的X-Z平面相軌圖如圖6(d)所示，系統中存在兩種上下對稱的雙周期極限環共存。當E=±4時，系統進入了穩定的周期態，系統的X-Z平面相軌圖如圖6(e)所示，系統中存在上下對稱的雙周期極限環和5周期極限環共存。

圖6 隨參數E變化的X-Z相軌圖

4 電路仿真

采用PSIM電路仿真軟件對圖1所示電路進行電路模擬仿真，進一步驗證其動力學特性，其模擬電路仿真原理圖如圖7所示。其中方波電壓源的頻率為30 kHz，占空比為50%，p為乘法器M2的比例因子，其他電路元件參數如表1所示。實驗得到的電路時序波形如圖8所示，對應得到的關于電感iL與電壓VC2的相圖如圖9所示。

圖9 電路的PSIM仿真相圖

表1 憶阻開關混沌電路的參數選取

圖7 PSIM仿真電路原理圖

如圖8(a)所示，當V(t)=±1.2 V電路參數的初始值為(0,0,0,-1)時，電阻R和電容C2兩端的電壓值之和沒有達到參考電壓Vref和-Vref，此時比較器的輸出持續為零，開關S1和開關S2始終沒有被導通，電路工作在1個周期1的極限環狀態下。當V(t)不變，電路參數的初始值為(0,0,1,-1)時，如圖8(b)所示，電阻R和電容C2兩端的電壓值之和在運行過程中達到了參考電壓Vref和-Vref，比較器U1和U2輸出端輸出無序的高低電平，電路工作狀態為混沌態。這兩種狀態在V(t)=±1.2 V時在系統中共存。圖8(c)為當V(t)=±2 V時的電路時序圖，圖8(d)為當V(t)=±3.4 V時的電路時序圖，可以看出此時開關S1和開關S2也是無序的導通，電路工作在混沌態。圖8(e)和圖8(f)分別為當V(t)=±4 V時的兩種周期2態，如圖8(e)所示，每兩個周期，開關S1被導通兩次，開關S2被導通一次。而圖8(f)正好與之相反，每兩個周期，開關S1被導通1次，開關S2被導通2次。圖8(g)為當V(t)=±4 V時的另一種情況，每5個周期，開關S1被導通4次，開關S2被導通3次。在V(t)=±4 V時，這3種狀態在系統中共存。當電路中存在噪聲時，這幾個吸引子之間很容易互相切換。

相圖如圖9所示，其中IL表示流過配電感的電流，VC2表示電容C2兩端的電壓。圖9(a)為V(t)=±1.2 V時對應的單周期相圖。圖9(b)為V(t)=±1.2 V時對應的混沌態的相圖。可以看出在V(t)=±1.2 V時，系統中存在單周期與混沌態的共存。當V(t)=±2 V時，系統相圖如圖9(c)所示，系統工作在混沌態且隨著V(t)在1.4 V時發生邊界碰撞，此時電路工作的混沌態與V(t)=±1.4 V之前的混沌態不同，此時系統具有良好的混沌魯棒性。在V(t)=±3.4 V時，系統中還存在圖9(d)所示混沌態與圖9(c)所示混沌態共存。在V(t)=±4 V時得到圖9(e)、圖9(f)、圖9(g)的系統相圖，可以看出此時電路中存在上下對稱的周期2與周期極限環的共存。

5 結束語

本文構建了一個具有多吸引子共存現象的憶阻開關電路，并將其建模為分段光滑的數學模型，進行了Matlab數值仿真和PSIM電路仿真，其結果表明，當電路中出現邊界碰撞時有可能導致系統中出現多吸引子分岔現象，在分岔點之后系統中可能出現不同形式的混沌吸引子共存，不同形式的周期極限環共存等現象。實驗驗證了在開關電路中出現的多吸引子分岔現象，進一步推進了開關電路在混沌系統中的應用。此外，所構造的憶阻開關混沌電路其電路結構較為簡單，相比于一般的混沌電路，該電路的動力學行為更加復雜，在隨機數的產生、混沌保密通信、圖像加密中具有潛在的應用價值。