基于滾珠絲杠副滾道磨損的摩擦力矩計算與試驗

潘承瑩，祖 莉，周長光，歐 屹

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

隨著滾珠絲杠副的運轉，滾珠不斷運動致使滾道發生磨損，摩擦力矩會隨之下降[1]。摩擦力矩作為滾珠絲杠副的重要性能，直接反映滾珠絲杠副的磨損和剛度[2]，具有重要的研究意義。

目前，滾珠絲杠副摩擦力矩的計算越來越受到關注[3]。日本某產品技術手冊給出了考慮螺旋角和預緊力的摩擦力矩計算公式，但其忽略了接觸角和滾道磨損的影響[4]；張佐營[5]分析了接觸角與摩擦力矩的映射規律；吳長宏[6]研究了螺旋角與摩擦力矩的映射規律；然而都只是單因素的理論分析。趙哲等[7]考慮螺母滾道的磨損分析了預緊力與摩擦力矩之間的聯系，但其忽略了絲杠滾道的磨損；張志強[8]定性分析了預緊力對摩擦力矩的影響，但沒有建立摩擦力矩計算公式。上述研究中對摩擦力矩的分析大都只是單獨考慮螺旋角、接觸角和預緊力的影響，缺少能夠綜合考慮多因素的摩擦力矩計算公式。

滾珠絲杠副發生劇烈磨損時，摩擦力矩以及其他服役性能均無法滿足使用需求，甚至出現故障情況，因此，為避免因劇烈磨損而影響使用，滾珠絲杠副服役時通常在穩定磨損階段下運行。為了反映滾珠絲杠副服役過程中(穩定磨損階段)滾道磨損情況以及摩擦力矩退化情況，本文綜合考慮接觸角、螺旋角以及滾道磨損量對摩擦力矩的影響，基于滾珠與滾道之間的變形量，通過計算磨損量，建立新的摩擦力矩計算公式，并開展4010型和4016型滾珠絲杠副摩擦力矩試驗以驗證本文模型的準確性。

1 滾珠絲杠副摩擦力矩理論計算

1.1 滾珠與滾道的彈性接觸變形

滾珠絲杠副不受載時，滾珠與滾道之間是點接觸，在法向載荷作用下，滾珠與滾道之間的接觸變為面接觸[9]，如圖1所示。

圖1 滾珠與滾道的接觸示意圖

彈性變形量δ可根據赫茲接觸理論[10]求得

(1)

式中：K(k)和E(k)為第一類、第二類完全橢圓積分；k為接觸橢圓參數，由式(2)求得[11]；E′為當量彈性模量；∑ρ為滾珠與滾道接觸區域的主曲率和；Q為法向載荷。

(2)

E′可通過絲杠螺母的的泊松比和彈性模量求得

(3)

式中：μi，μo分別為絲杠和螺母滾道泊松比；Ei和Eo分別是絲杠和螺母滾道彈性模量。

聯立式(1)～式(3)，滾珠與滾道的接觸變形量分別為

(4)

式中：δi和δo分別為滾珠與絲杠和螺母滾道的接觸變形；∑ρi和∑ρo分別為滾珠與絲杠和螺母滾道接觸區域的主曲率和；Qi和Qo分別為絲杠和螺母滾道接觸區域法向載荷。

1.2 絲杠副磨損量的計算

假設滾珠受載均勻，滾珠與滾道接觸面的磨損量可以寫為

(5)

滾珠與滾道接觸面面積表示為

(6)

式中：ai和ao分別為絲杠和螺母滾道接觸橢圓面長半軸；bi和bo分別為螺母滾道接觸橢圓面短半軸。

滾珠在螺母滾道上的滑動速度，可由式(7)求得[12]

(7)

式中：rb為滾珠半徑；rm為絲杠半徑；αi和αo為滾珠與絲杠和螺母滾道的接觸角；β為螺旋角；ωm為滾珠公轉角速度；ωs為絲杠角速度；ωt，ωn和ωb為滾珠自轉角速度ωR在t，n，b三個方向的絕對速度分量，計算公式為[13]

(8)

(9)

式中：r′=2rb/rm；βu2為滾珠自轉軸與t-b平面的夾角，其值近似45°；β2b為βu2在t-b平面的投影與b軸的夾角，實際研究中，β2b非常小，可以忽略不計。

滾珠與滾道的法向接觸載荷可以寫為[14]

(10)

式中：Fa為軸向載荷(當不受軸向載荷時，Fa為預緊力)；Z為滾珠個數。

滾珠在滾道中運動時，只有部分滾道與滾珠接觸，滾珠與滾道實際接觸情況的修正系數可由式(11)求得

(11)

式中，Li，Lo分別為絲杠、螺母有效行程。

將式(6)、式(7)、式(10)及式(11)代入式(5)，絲杠和螺母滾道的磨損量可以寫為

(12)

故滾珠絲杠副磨損量Δδz為

(13)

式中，m為螺母的個數。

滾珠絲杠副磨損階段的摩擦力矩是基于磨損量的計算得到，因此，在進行摩擦力矩分析之前需進行磨損量的計算。通過對多個滾珠絲杠生產廠家調研可知，目前行業內對輕預緊等級的4010型和4016型滾珠絲杠副的使用最為廣泛，因此，本文選擇以輕預緊等級滾珠絲杠副進行理論計算以及試驗研究。由于滾珠絲杠副使用廠家的實際使用工況為潤滑脂潤滑，且生產廠家推薦的潤滑條件也是脂潤滑，為模擬使用情況下的滾珠絲杠副磨損情況，本文理論計算和試驗所采用的4010型和4016型號雙螺母滾珠絲杠副的潤滑條件為脂潤滑，根據文獻[15]所列的磨損系數表，針對滾珠絲杠副的材料GCr15，磨損系數的取值范圍為0.59×10-11～0.82×10-11，試驗中需對滾珠絲杠副充分潤滑，則滾珠絲杠副在運行中潤滑條件良好，此時，磨損系數較小取值為0.6×10-11。4010型和4016型雙螺母滾珠絲杠副具體參數如表1所示。

表1 4010型和4016型雙螺母滾珠絲杠副參數

1.2.1 4010型絲杠副的磨損量計算

計算4010型滾珠絲杠副磨損量：①取時間t=17x(單位：h,每跑和17 h進行一次摩擦力矩試驗，x為自然數，取1，2，3，…)，轉速n=1 000 r/min代入式(12)，得到轉速1 000 r/min下的4010型樣件的磨損量；②取時間t=17x(參數與取值如前)，轉速n=500 r/min代入式(12)，得到轉速500 r/min下的4010型樣件的磨損量；計算結果如表2所示。

表2 4010型滾珠絲杠副磨損量計算值

1.2.2 4016型絲杠副的磨損量計算

采樣點的選取對于摩擦力矩理論值與試驗值擬合程度影響比較大，此處將4016型絲杠副采樣取值與4010型作出區別，則4016型絲杠副采樣點分段處理。

計算4016型雙螺母滾珠絲杠副磨損量

(40 h以前每跑和5 h進行一次摩擦力矩試驗，40 h以后每隔55 h進行一次摩擦力矩試驗，x為自然數，取1,2,3,…)，轉速n=1 000 r/min代入式(12)，得到轉速1 000 r/min的4016型樣件的磨損量；

(參數與取值如前)，轉速n=500 r/min代入式(12)，得到轉速500 r/min的4016型樣件的磨損量。計算結果如表3所示。

表3 4016型滾珠絲杠副磨損量計算值

1.2.3 理論磨損量分析

圖2為4010型和4016型雙螺母滾珠絲杠副磨損量的理論變化圖，可以看出：①同一規格滾珠絲杠副在不同轉速下的磨損情況不同，轉速越高，磨損越快。運轉相同時間，同一型號滾珠絲杠副在轉速1 000 r/min下的磨損量是轉速500 r/min時磨損量的兩倍；②在同等轉速下，不同型號滾珠絲杠副磨損情況不同，4010型磨損量變化的速度是4016型滾珠絲杠副磨損量變化速度的1.38倍。可見實際工況(轉速)與結構參數(螺旋角、滾珠滾道尺寸、楊氏模量)會影響滾珠絲杠副的磨損量。

圖2 滾珠絲杠副理論磨損量

1.3 基于滾道磨損的摩擦力矩的計算

滾珠絲杠副的摩擦力矩主要由絲杠滾道的摩擦力和螺母滾道的摩擦力產生的力矩構成，如式(14)所示。

(14)

式中：M為滾珠絲杠副摩擦力矩；Mo，Mi分別為螺母、絲杠滾道產生的摩擦力矩；FfA，FfB分別為滾珠與螺母、絲杠滾道的摩擦力；LA，LB分別表示螺母、絲杠滾道摩擦力的力臂。

圖3為滾珠受力圖，接觸點與橢圓接觸面中心點的距離相較于滾珠半徑是極小的，此時將接觸點等效成接觸面中心。故滾道接觸點A、B到絲杠中心的垂直距離(滾道摩擦力力臂)可以近似表示為

圖3 滾珠的受力分析

(15)

而滾珠與滾道的摩擦力可表示為

(16)

式中，f為摩擦因數，根據趙哲等所列的摩擦因數表以及使用的脂潤滑工況，摩擦因數取值為0.004。

將式(15)和式(16)代入式(14)可得滾道處的摩擦力矩為

(17)

隨著運轉時間的增加，滾道磨損越嚴重，會導致預緊力衰退，法向載荷改變。預緊力Fx的退化公式為[15]

(18)

式中：Fp為初始預緊力。

將式(18)代入式(10)可得出法向接觸載荷的變化，并結合式(17)得出絲杠副滾道處的摩擦力矩

(19)

滾珠絲杠副摩擦力矩計算式(19)由絲杠滾道與螺母滾道兩部分摩擦力矩構成，這兩部分摩擦力矩都考慮了接觸角、螺旋角和預緊力，其中預緊力與磨損量有直接的關聯，故建立的摩擦力計算公式能夠綜合體現接觸角、螺旋角與磨損量。

將表2及表3中磨損量計算值分別代入式(18)得到預緊力，再結合式(19)，得到4010型和4016型雙螺母滾珠絲杠副摩擦力矩的理論值，計算結果如表4、表5所示。

表4 4010型滾珠絲杠副摩擦力矩計算值

表5 4016型滾珠絲杠副摩擦力矩計算值

圖4為4010型和4016型雙螺母滾珠絲杠副摩擦力矩的理論變化圖，可以看出：①同一型號滾珠絲杠副在不同轉速下摩擦力矩變化情況不同，轉速越高，摩擦力矩下降越快；②運轉相同時間，同一型號滾珠絲杠副在轉速1 000 r/min的摩擦力矩下降速度是轉速500 r/min時摩擦力矩下降速度的兩倍；③在同等轉速下，4010型和4016型滾珠絲杠副摩擦力矩下降速度接近一致，4010型絲杠副摩擦力矩下降速度是4016型絲杠副摩擦力矩下降速度的1.04倍，結構參數(4010型絲杠的螺旋角為4.55°，4016型絲杠的螺旋角為7.01°，)會導致摩擦力矩值的大小有差異，但當工況(轉速)一致時，對摩擦力矩下降速率的影響并不大。

圖4 滾珠絲杠副理論摩擦力矩

2 滾珠絲杠副摩擦力矩試驗

2.1 試驗方法

對4010型和4016型滾珠絲杠副開展滾珠絲杠副摩擦力矩測量試驗。其中：①設定檢測條件：速度為100 r/min，采樣頻率20 Hz，根據滾珠絲杠副使用廠家的實際使用工況為脂潤滑，且生產廠家所規定潤滑條件也是脂潤滑，為模擬使用情況下的滾珠絲杠副磨損情況，潤滑條件為脂潤滑；②在摩擦力矩試驗臺上安裝被測樣件，以檢測條件所需要的轉速進行5 min跑和，使滾珠絲杠副充分潤滑；③按照檢測條件試驗絲杠副的摩擦力矩，當絲杠副完成一次往復運動后停止試驗，取絲杠勻速運動時(去除啟停加減速階段力矩測量點)正反向摩擦力矩的檢測數據；④連續進行3次檢測，取3次檢測的平均值作為原始數據。

整體的試驗流程如圖5所示，首先需將絲杠放在恒溫室中充分靜置(2 h以上)，使絲杠各部位達到熱平衡。其次測量滾珠絲杠副的初始摩擦力矩。最后針對不同的絲杠副設定截尾時間m，并設定采樣點n，即在跑和裝置上每跑和n小時進行一次摩擦力矩測量試驗，當累計時長達到截尾時間mh或出現不可修復故障終止試驗。

圖5 試驗流程

2.2 滾珠絲杠副摩擦力矩試驗臺

滾珠絲杠副摩擦力矩試驗臺用來測量滾珠絲杠副正反行程的摩擦力矩，如圖6所示，測量過程采用一端固定、一端支撐的安裝方式，固定端使用三爪卡盤裝夾被測絲杠副，支撐端采用頂尖。試驗臺中部安裝可移動的摩擦力矩測量平臺，采用直線滑軌進行移動，通過力傳感器動態測量被測滾珠絲杠副摩擦力矩。

圖6 滾珠絲杠副摩擦力矩試驗臺

測量期間，由于安裝在螺母上的螺釘與防轉棒接觸，防轉棒限制螺母的旋轉運動，只能帶動工作臺在絲杠軸向方向運動。在運轉過程中，由力傳感器測得的圓周運動的摩擦力乘以力臂L即為滾珠絲杠的摩擦扭矩。

3 試驗數據分析

3.1 摩擦力矩試驗數據

針對廠家A的4010型規格滾珠絲杠副，先在摩擦力矩試驗臺上對樣件進行初始摩擦力矩的測量并記錄，其次設定轉速1 000 r/min在滾珠絲杠副跑和裝置上進行跑和(行程600 mm)，每跑和17 h后將樣件從跑和裝置中取出，并在摩擦力矩試驗臺上進行摩擦力矩試驗；直至跑和153 h，或出現不可修復故障，終止試驗。測量數據如表6所示。

表6 A廠家4010型絲杠副摩擦力矩試驗值

針對A、B、C廠家的4016型滾珠絲杠副，應先測量被測絲杠副的初始摩擦力矩值，在絲杠副跑和裝置上設定轉速500 r/min進行跑和(行程600 mm)，每跑和5 h后將樣件從跑和裝置中取出，并在摩擦力矩試驗臺上進行摩擦力矩試驗，直至跑和至40 h；40 h以后每跑和55 h取出樣件進行摩擦力矩測量試驗，直至跑和至370 h，或出現不可修復故障，終止試驗。測量數據如表7所示。

表7 A、B、C廠家4016摩擦力矩試驗值

圖7為4010型和4016型滾珠絲杠副實測摩擦力矩曲線，可以看出，四個產品的摩擦力矩試驗值變化情況存在共同趨勢：滾珠絲杠副摩擦力矩均隨著時間增加而逐漸減小，且明顯存在兩個不同的下降階段，因為絲杠副在運轉初始時是處于磨合磨損階段，絲杠副的形貌并不是完全一致的，這就導致內部受力不完全一致，磨損比較嚴重，故摩擦力矩下降較快；而運轉過一段時候后，滾珠絲杠副處于穩定磨損階段，內部載荷受力相對均勻，磨損相對較平穩，摩擦力矩下降較慢。所以可以根據摩擦力矩下降情況來反映滾道的磨損，當滾珠絲杠副摩擦力矩下降速度大時表明滾道的磨損嚴重，而絲杠副摩擦力矩下降速度小時則表明滾道磨損相對穩定。

圖7 摩擦力矩試驗曲線圖

3.2 摩擦力矩試驗與理論對比分析

將穩定磨損階段摩擦力矩試驗值與理論值進行比較驗證摩擦力矩計算公式的正確性。對A廠家不同規格的兩個產品在穩定磨損階段的實測值擬合，并與摩擦力矩計算值比較，如圖8、表8所示。

圖8 A廠家4010型和4016型樣件摩擦力矩實測值與理論值對比

表8 A廠家4010型滾珠絲杠副摩擦力矩理論與試驗值誤差

圖8(a)表明穩定磨損階段4010型樣件的擬合曲線和理論曲線整體走勢比較一致，兩條曲線在測量時間點下的數值是接近的，如表8所示，MF為基于摩擦力矩試驗值擬合的結果；MT為摩擦力矩理論值；γ1為試驗與理論的相對誤差，可以發現A廠家4010型樣件摩擦力矩試驗與理論值相對誤差在4.026%內，誤差較小。

根據圖8(b)可以發現穩定磨損階段4016型樣件的擬合曲線與理論曲線幾乎完全重合。從表9可知，試驗值擬合后，滾珠絲杠副摩擦力矩試驗與理論值的相對誤差極小，在0.606%以內。

對比表8、表9，可以發現：①4010型和4016型滾珠絲杠副試驗與理論值的擬合值相對誤差很小，摩擦力矩計算公式吻合度較高，誤差在4.026%內；②采樣點對于摩擦力矩理論計算值與試驗值的的吻合程度有著重要的影響。4016型絲杠副(40 h之前每跑和5 h測量摩擦力矩，40 h后每跑和55 h后測量摩擦力矩)摩擦力矩試驗與理論值的差異明顯比4010型絲杠副(每跑和17 h測量一次摩擦力矩)小。

表9 A廠家4016型滾珠絲杠副摩擦力矩理論與試驗值誤差

A、B、C廠家的被測樣件(4016型)的基本參數一致，對三個廠家樣件摩擦力矩試驗值進行擬合，將擬合值與1.3節中4016型滾珠絲杠副摩擦力矩理論計算值進行比較，以進一步驗證摩擦力矩計算公式的準確性。圖9為A、B、C廠家4016型滾珠絲杠副摩擦力矩試驗與理論的對比圖。其中虛線表示理論摩擦力矩，實線表示3家廠家摩擦力矩擬合值。在穩定磨損階段，摩擦力矩擬合值與理論值趨勢一致，變化規律一致，基本吻合。

圖9 A、B、C廠家的4016滾珠絲杠副試驗與理論對比

由表10可知，穩定磨損階段，拐點40 h時，誤差相對而言較大，達到5.803%以上，這是因為3件樣件由于廠家的加工誤差并非同時進入穩定磨損階段，誤差略大；而從95 h以后，試驗樣件均已進入穩定磨損階段，3家樣件試驗與理論值的相對誤差小于4.976%。A廠家4010型滾珠絲杠副摩擦力矩試驗與理論相對誤差4.026%，4016型滾珠絲杠副摩擦力矩試驗與理論值的相對誤差在0.606%以內；而A、B、C三個廠家樣件的摩擦力矩試驗值與理論值的相對誤差小于4.976%。A廠家樣件的相對誤差相對于三個廠家4.976%而言較小，然而單個A廠家相對于三個廠家而言并不具有普適性，行業內各個廠家的加工工藝有差別會導致同一型號的滾珠絲杠副摩擦力矩試驗值與理論值的差異不一致，因此，本文摩擦力矩計算公式的誤差確定為三個廠家樣件的摩擦力矩試驗值與理論值的相對誤差4.976%。結合圖9,可知相比束方婷等提出的滾珠絲杠副摩擦力矩理論計算模型，本文建立的摩擦力矩模型理論值更貼近試驗值，誤差更小，驗證摩擦力矩計算公式的準確性。

表10 3家產品的摩擦力矩的相對誤差

依據圖10，隨著運行時間的增加，本文提出的滾珠絲杠副摩擦力矩理論計算值與試驗的誤差越來越小，這是因為滾珠絲杠副在運行過程中，隨著跑和時間的增加，滾動體承載會越來越均勻。

圖10 A、B、C廠家4016型樣件摩擦力矩誤差趨勢

4 結 論

基于滾珠絲杠副磨損量的計算，推導了能夠反映滾道磨損的摩擦力矩的計算公式，以4010型和4016型雙螺母滾珠絲杠副為例，計算兩個樣件的摩擦力矩并進行理論分析。其次對同廠家的兩種不同規格的樣件(4010型和4016型滾珠絲杠副)進行試驗驗證，再以試驗的4016型樣件為參考，選擇不同廠家的4016型產品進行摩擦力矩試驗。試驗結果表明：

(1)穩定磨損階段下，建立的滾珠絲杠副摩擦力矩計算公式與試驗結果的誤差在4.976%以內，相比束方婷等提出的摩擦力矩計算模型，誤差更小，驗證了本文摩擦力矩計算公式的準確性。

(2)隨著運轉時間增加，滾動體承載會越來越均勻，試驗值與計算值相對誤差越來越小，摩擦力矩計算公式的精確性逐步提高，進一步表明計算公式的實用性。

(3)摩擦力矩能夠反映滾珠絲杠副的磨損情況——當滾珠絲杠副摩擦力矩下降速度大時表明滾道的磨損嚴重；而當滾珠絲杠副摩擦力矩下降速度小時則表明滾道磨損相對穩定。現階段行業內未形成統一的磨損量測量方法與測量標準，本文建立的摩擦力矩與磨損量的關系式為磨損量的測量提供一個新的方法，通過測量滾珠絲杠副的摩擦力矩，結合本文提出的摩擦力矩與磨損量關系式間接實現磨損量的測量。