軸向移動(dòng)懸臂梁振動(dòng)響應(yīng)及模型預(yù)測(cè)控制

陳 浩，陳繼開(kāi)，段應(yīng)昌，賀宇鋒,，羅 翔

(1.東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 211189；2.陸軍工程大學(xué) 訓(xùn)練基地，南京 210001)

軸向運(yùn)動(dòng)梁?jiǎn)栴}在很多系統(tǒng)中都有應(yīng)用，比較常見(jiàn)的有機(jī)械人手臂運(yùn)動(dòng)、火炮系統(tǒng)的炮管、大型衛(wèi)星伸展結(jié)構(gòu)以及平推式架設(shè)的軍用橋梁等。其中平推式架設(shè)的橋梁車是我軍目前工程保障車中的重要裝備，采用平推式架設(shè)方法，可以實(shí)現(xiàn)大跨度的障礙架設(shè)。在架設(shè)過(guò)程中，通過(guò)配備多組滑輪進(jìn)行橋梁支撐，并采用銷齒傳動(dòng)推動(dòng)橋梁軸向架設(shè)。但由于橋梁跨度較大，在架設(shè)過(guò)程中常出現(xiàn)振動(dòng)問(wèn)題，長(zhǎng)時(shí)間的振動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響架橋車的使用壽命，同時(shí)也會(huì)對(duì)架橋作業(yè)帶來(lái)安全隱患。從結(jié)構(gòu)上看，平推式架橋結(jié)構(gòu)是一種典型的軸向運(yùn)動(dòng)梁系統(tǒng)，而軸向運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)力學(xué)相應(yīng)及振動(dòng)控制問(wèn)題一直是國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)。李山虎等[1]通過(guò)多尺度法推導(dǎo)了伸展懸臂梁的獨(dú)立模態(tài)振動(dòng)控制的近似理論解；劉寧等[2]研究了在移動(dòng)質(zhì)量作用下的軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁的振動(dòng)問(wèn)題，并采用修正的Galerkin法對(duì)振動(dòng)方程進(jìn)行離散并求解。Michaltsos[3]對(duì)不同移動(dòng)速度的質(zhì)量載荷影響下的橋梁振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了研究；華洪良等[4]采用Rayleigh-Ritz法推導(dǎo)了軸向移動(dòng)懸臂梁的時(shí)變動(dòng)力學(xué)方程，提高數(shù)值計(jì)算效率。上述等人的研究?jī)?nèi)容集中在對(duì)不同工況下軸向移動(dòng)懸臂梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)上。

Wang等[5-6]對(duì)軸向移動(dòng)梁的橫向振動(dòng)抑制問(wèn)題進(jìn)行研究;Zhu等[7]從能量角度采用邊界控制策略來(lái)抑制軸向移動(dòng)梁或弦的振動(dòng)；王亮等[8]采用LQR(linear quadratic regulator)法設(shè)計(jì)了主動(dòng)振子和主動(dòng)力控制器，通過(guò)數(shù)值計(jì)算比較兩種振動(dòng)控制效果。張偉等[9]采用自適應(yīng)控制方法對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)弦和作動(dòng)器組成的系統(tǒng)進(jìn)行橫向振動(dòng)控制，振動(dòng)抑制效果明顯。劉定強(qiáng)等[10]采用二次最優(yōu)控制和速度反饋法對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)矩形薄膜橫向振動(dòng)的控制問(wèn)題進(jìn)行分析。

本文以平推式架橋車為研究對(duì)象，首先基于歐拉梁理論，采用拉格朗日法建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，通過(guò)以冪級(jí)數(shù)函數(shù)為基函數(shù)來(lái)構(gòu)造試函數(shù)的假設(shè)模態(tài)法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)求解，并對(duì)架設(shè)過(guò)程的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行參數(shù)化分析，為實(shí)際架橋車的作業(yè)和保養(yǎng)提供指導(dǎo)。然后針對(duì)架設(shè)過(guò)程的可能出現(xiàn)振動(dòng)不確定干擾問(wèn)題，擬采用一種模型預(yù)測(cè)控制的思想進(jìn)行主動(dòng)抑振分析。模型預(yù)測(cè)控制的核心思想是模型預(yù)測(cè)-反饋校正-滾動(dòng)優(yōu)化，基于模型預(yù)測(cè)控制進(jìn)行主動(dòng)力控制可以有效抑制不確定干擾因素影響下的振動(dòng)。

1 架橋車橋梁動(dòng)力學(xué)模型

架橋車裝備的架設(shè)機(jī)構(gòu)是采用銷齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，橋梁內(nèi)倆側(cè)安裝有連續(xù)排列的銷軸，然后在支撐橋梁的機(jī)構(gòu)上有一個(gè)用于主動(dòng)驅(qū)動(dòng)的齒輪，因此整個(gè)架設(shè)過(guò)程可以簡(jiǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)諧作用力激勵(lì)下的軸向移動(dòng)懸臂梁系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 軸向移動(dòng)懸臂梁模型

圖1中，以橋梁固定端為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，外伸橋梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)(t)，橋梁以速度v向前推出，齒輪對(duì)橋梁的激勵(lì)力為F，激勵(lì)力作用位置距離原點(diǎn)為ξ，橋梁的橫向位移用為w(x(t),t)表示，橋梁的彈性模量、密度、橫截面積與慣性矩分別為E，ρ，A，I。

在推橋過(guò)程中，梁上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為

X=[x(t),w(x(t),t)],x∈(0,L(t))

(1)

則梁上任意一點(diǎn)的速度矢量由坐標(biāo)矢量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(2)

因此，系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式為

(3)

式中：(·)為對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；()′為對(duì)x求導(dǎo)。

而梁的勢(shì)能可以表示為

(4)

考慮整個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼作用，定義梁的耗散函數(shù)為

(5)

式中，c=2mδiωi,δi為各階模態(tài)阻尼比，ωi為各階模態(tài)頻率。

由式(3)、式(4)、式(5)，可得到軸向運(yùn)動(dòng)梁的拉格朗日函數(shù)

(6)

2 橋梁的橫向振動(dòng)方程

通過(guò)能量法求出橋梁運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，對(duì)其離散化后即可推導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)振動(dòng)方程。假設(shè)模態(tài)法是利用有限個(gè)已知的模態(tài)函數(shù)來(lái)確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，因此本文通過(guò)假設(shè)模態(tài)法對(duì)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)進(jìn)行離散化處理，一般在靜止懸臂梁系統(tǒng)中，梁的模態(tài)函數(shù)表示為

式中,λi=βiL為特征方程cosλichλi+1=0的根。根據(jù)特征方程的解可以得到橋梁的固有頻率，橋跨的固有頻率ω和λ的關(guān)系如式(8)所示。式(8)表明橋梁各階模態(tài)頻率與橋梁長(zhǎng)度成反比。

(8)

由式(7)可知，懸臂梁的模態(tài)函數(shù)由一系列的三角函數(shù)和雙曲函數(shù)組成，形式比較復(fù)雜，計(jì)算起來(lái)十分不易。根據(jù)文獻(xiàn)中的擬合原則，本文采用5階冪級(jí)數(shù)函數(shù)來(lái)擬合靜止梁的模態(tài)函數(shù)，與懸臂梁的模態(tài)函數(shù)相比，冪級(jí)數(shù)的計(jì)算推導(dǎo)相對(duì)簡(jiǎn)單，提高了動(dòng)力學(xué)建模效率。然而對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)，懸臂梁的固有模態(tài)函數(shù)是沒(méi)有意義的，因此取懸臂梁的瞬時(shí)模態(tài)函數(shù)作為擬合對(duì)象，梁豎直方向的振動(dòng)位移w可以表示為

(9)

由于物體的前三階模態(tài)一般最易被激發(fā)，所以本文以下采用三階模態(tài)截?cái)嗖⑹?9)表示成矩陣的形式

w=Φ(δ)q(t)

(10)

式中：Φ(δ)=[φ1φ2φ3];q(t)=[q1(t)q2(t)q3(t)]T。將式(10)代入式(6)中，并通過(guò)拉格朗日方程可推導(dǎo)得到軸向移動(dòng)橋梁的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

(11)

式中:M為質(zhì)量矩陣;C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;Q為廣義力向量，具體的表達(dá)式為

M=m1

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

從上述表達(dá)式可知，由于橋梁軸向移動(dòng)的影響，梁的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣都是時(shí)變參數(shù)，所以軸向移動(dòng)梁的振動(dòng)方程是一個(gè)二階時(shí)變方程。同時(shí)，本文在推導(dǎo)橋梁動(dòng)力學(xué)方程時(shí)忽略橋梁的結(jié)構(gòu)阻尼，而式(13)阻尼項(xiàng)C中除了由于橋跨結(jié)構(gòu)阻尼產(chǎn)生的c3，其余部分是由于橋跨的軸向運(yùn)動(dòng)以及彎曲變形引起的，也因此不能通過(guò)模態(tài)疊加的原理將多自由度的振動(dòng)方程解耦成單自由度方程，這樣就難以直接求出式(11)的精確解析解。所以本文采用求解精度較高的Newmark-β數(shù)值法計(jì)算振動(dòng)方程的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

3 基于Newmark法的模型預(yù)測(cè)控制

本文的研究對(duì)象始終處于軸向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而使系統(tǒng)的質(zhì)量參數(shù)、剛度參數(shù)以及阻尼參數(shù)都隨時(shí)間變化，使用較廣泛的PID(proportion intergration differentiation)控制在這種含有時(shí)變參數(shù)的系統(tǒng)中難以實(shí)現(xiàn)全局穩(wěn)定[11]。針對(duì)本文系統(tǒng)時(shí)變特性，考慮通過(guò)模型預(yù)測(cè)控制的思想將系統(tǒng)全局最優(yōu)問(wèn)題分解成有限時(shí)間局部最優(yōu)進(jìn)行滾動(dòng)求解。在有限時(shí)域內(nèi)通過(guò)Newmark法對(duì)模型輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)，根據(jù)預(yù)測(cè)時(shí)域的輸出進(jìn)行優(yōu)化控制得到當(dāng)前時(shí)刻的最優(yōu)控制力，并隨著時(shí)間的推進(jìn)，不斷進(jìn)行局部最優(yōu)求解從而實(shí)現(xiàn)全局的振動(dòng)抑制控制。即通過(guò)預(yù)測(cè)模型-反饋校正-滾動(dòng)優(yōu)化三部分進(jìn)行振動(dòng)控制。

考慮在距離橋梁固定端的某位置施加橫向控制力，根據(jù)實(shí)時(shí)振動(dòng)輸出對(duì)控制力進(jìn)行調(diào)整達(dá)到抑制橋梁振動(dòng)目的。在不考慮外界擾動(dòng)情況下，式(11)可寫(xiě)成以下形式

(17)

式中,U為控制力向量。

根據(jù)Newmark-β法的假設(shè)[12]可以得到

(18)

式中，β和γ為按積分的精度和穩(wěn)定性要求進(jìn)行調(diào)整的參數(shù)。本文取β=0.5，γ=0.25，此時(shí)計(jì)算結(jié)果是無(wú)條件穩(wěn)定的。由式(18)可解得

對(duì)動(dòng)力學(xué)方程離散化，考慮t+Δt時(shí)刻的振動(dòng)方程為

(20)

(21)

其中，

(22)

(23)

(24)

(25)

其中,

(26)

(27)

結(jié)構(gòu)t時(shí)刻的加速度向量可以通過(guò)求解t時(shí)刻的離散動(dòng)力學(xué)方程得到

(28)

所以式(25)可以轉(zhuǎn)為

Xt+Δt=dt+ΔtXt+mt+ΔtUt+nt+ΔtUt+Δt

(29)

其中,

(30)

定義目標(biāo)函數(shù)

(32)

式中:w(t)=[w(t+Δt)/t…w(t+NΔt)/t]T，w(t+NΔt)/t為以t時(shí)刻狀態(tài)預(yù)測(cè)的N個(gè)采樣時(shí)刻后的輸出；wr(t)為期望軌跡，本文中取為0；Q為N×N階響應(yīng)權(quán)矩陣；R為(N+1)×(N+1)階控制權(quán)矩陣；N為預(yù)測(cè)步數(shù);Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，顯然這兩個(gè)參數(shù)的取值將影響模型預(yù)測(cè)的精度。

已知每個(gè)采樣t時(shí)刻的狀態(tài)根據(jù)式(29)可預(yù)測(cè)出未來(lái)N個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)值w(t)，以式(32)的優(yōu)化函數(shù)對(duì)未來(lái)N個(gè)時(shí)刻的預(yù)測(cè)響應(yīng)值進(jìn)行最優(yōu)計(jì)算，得到未來(lái)N個(gè)時(shí)刻的最優(yōu)控制序列U(t)，取控制序列的第一個(gè)最優(yōu)控制力作用在當(dāng)前時(shí)刻。在t+Δt時(shí)刻，系統(tǒng)將根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)實(shí)際響應(yīng)值重新預(yù)測(cè)未來(lái)N個(gè)時(shí)刻的系統(tǒng)響應(yīng)，并重復(fù)進(jìn)行上述最優(yōu)控制計(jì)算過(guò)程。采樣開(kāi)始系統(tǒng)每次滾動(dòng)一個(gè)采樣步長(zhǎng)，并在每個(gè)采樣時(shí)刻都會(huì)根據(jù)當(dāng)前實(shí)際響應(yīng)值預(yù)測(cè)未來(lái)時(shí)刻的響應(yīng)值進(jìn)行最優(yōu)控制，從而實(shí)現(xiàn)全局的最優(yōu)控制。

4 數(shù)值計(jì)算及仿真分析

4.1 架設(shè)參數(shù)分析

根據(jù)實(shí)際架橋車的參數(shù)，本文設(shè)置梁的初始長(zhǎng)度為2 m，架設(shè)過(guò)程中橋梁推送長(zhǎng)度為12 m，激勵(lì)力作用點(diǎn)距離固定端ξ=0.925 m，等效梁的寬度b=0.234 m，厚度h=0.6 m，密度ρ=3 233.6 kg/m3，彈性模量E=2.06×1011Pa，銷齒間距d=0.06 m，前三階阻尼比均為0.014，激勵(lì)力幅值為200 kN，時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.02 s。

實(shí)際橋梁穩(wěn)定推送速度在0.6～1.0 m/s，分別以0.6 m/s和1.0 m/s的速度推送橋梁至14 m過(guò)程中橋梁末端振動(dòng)情況，如圖2～圖5所示。

圖2 v=0.6 m/s橋梁末端位移

圖3 v=0.6 m/s橋梁末端加速度

圖4 v=1.0 m/s橋梁末端位移

圖5 v=1.0 m/s橋梁末端加速度

圖6 一階模態(tài)頻率變化

從圖6可知，在推橋初始階段，由于橋梁長(zhǎng)度較短，使最易激發(fā)的一階模態(tài)頻率也相對(duì)較高，因此在初始階段應(yīng)盡快將推橋速度提升至最高速度1.0 m/s；隨著梁長(zhǎng)的增加，激勵(lì)力頻率會(huì)慢慢接近橋梁的一階模態(tài)頻率，為了盡可能避免共振出現(xiàn)，在推橋長(zhǎng)度至8 m時(shí)會(huì)和最高推橋速度下的激勵(lì)力產(chǎn)生共振，應(yīng)開(kāi)始逐漸降低推橋速度以降低激勵(lì)力頻率來(lái)避免共振。但是由于推橋最低速度的要求，激勵(lì)力頻率不可避免的會(huì)接近橋梁各階模態(tài)頻率而發(fā)生共振，因此為了能夠高效率架橋的同時(shí)盡量減少振動(dòng)，有必要對(duì)橋梁進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)抑制。

4.2 模型預(yù)測(cè)控制分析

權(quán)系數(shù)矩陣分別設(shè)為Q=6×1012×IN×N,R=I3(N+1)×3(N+1)。其他相關(guān)仿真參數(shù)如表1所示。

表1 相關(guān)仿真參數(shù)

分別對(duì)比圖7(a)、圖7(b)可知，在橋梁受到不同大小的擾動(dòng)力時(shí)，基于模型預(yù)測(cè)的控制算法都可以將共振區(qū)的最大峰值減少約55.9%，同時(shí)當(dāng)橋梁離開(kāi)共振區(qū)后，能夠在2 s內(nèi)迅速衰減至穩(wěn)定。而當(dāng)推橋速度發(fā)生變化后，橋梁共振區(qū)域也相對(duì)發(fā)生變化，從圖7(a)和圖7(c)的對(duì)比可知，推橋速度也略微影響了振動(dòng)控制的效果，振動(dòng)抑制比下降到31%，但是由于高速架橋發(fā)生共振較早，整體的振動(dòng)幅值就相對(duì)較小，因此總體控制效果還是比較明顯。以上對(duì)比驗(yàn)證了模型預(yù)測(cè)控制策略具有較好的魯棒性，在外界不同的干擾情況下都能夠取得不錯(cuò)的控制效果。

圖7 不同工況下振動(dòng)響應(yīng)

從式(32)可知，根據(jù)未來(lái)N個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)計(jì)算對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制力序列，因此預(yù)測(cè)步數(shù)N和時(shí)間步長(zhǎng)Δt必定會(huì)影響最優(yōu)控制力，有必要分析N和Δt對(duì)振動(dòng)控制的影響。保持橋梁推送速度和激勵(lì)力不變，分別改變預(yù)測(cè)步數(shù)和時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行仿真對(duì)比。圖8是時(shí)間步長(zhǎng)保持在0.02 s，不同預(yù)測(cè)步數(shù)對(duì)振動(dòng)峰值的影響結(jié)果圖，圖9則是預(yù)測(cè)步數(shù)固定為5步，不同時(shí)間步長(zhǎng)下振動(dòng)峰值變化曲線結(jié)果圖。

圖8 不同預(yù)測(cè)步長(zhǎng)下的振動(dòng)峰值

圖9 不同時(shí)間步長(zhǎng)下的振動(dòng)峰值

首先從圖8中可以清晰的看到當(dāng)預(yù)測(cè)步數(shù)從10增加到19的時(shí)候，振動(dòng)響應(yīng)曲線幾乎沒(méi)有太大的區(qū)別，而預(yù)測(cè)步數(shù)從5增加到10的時(shí)候，振動(dòng)控制效果顯著提高。所以隨著預(yù)測(cè)步數(shù)N的增加，圖8的振動(dòng)峰值的總體趨勢(shì)是先減小然后保持穩(wěn)定，最后幾乎不隨著N值的變化而變化，這也是因?yàn)轭A(yù)測(cè)步長(zhǎng)過(guò)大導(dǎo)致預(yù)測(cè)模型失敗，同時(shí)隨著預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的增加，相應(yīng)的計(jì)算負(fù)擔(dān)也隨之增加；另外圖9的振動(dòng)峰值變化曲線表明隨著時(shí)間步長(zhǎng)的增加，振動(dòng)峰值也隨之增加，即振動(dòng)抑制效果下降，這也是因?yàn)闀r(shí)間步長(zhǎng)的增加等同于增加預(yù)測(cè)步數(shù)，自然也會(huì)出現(xiàn)預(yù)測(cè)過(guò)多產(chǎn)生的預(yù)測(cè)失效結(jié)果。此外當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)過(guò)大時(shí)還會(huì)出現(xiàn)計(jì)算精度較低、時(shí)延明顯等現(xiàn)象。因此根據(jù)上述分析對(duì)比，綜合考慮計(jì)算負(fù)擔(dān)以及控制效果，預(yù)測(cè)步數(shù)不宜超過(guò)10，時(shí)間步長(zhǎng)不宜超過(guò)0.03 s。

5 結(jié) 論

本文首先將某型架橋車的推送過(guò)程簡(jiǎn)化為軸向移動(dòng)懸臂梁系統(tǒng)，然后基于拉格朗日方程推導(dǎo)了模型的時(shí)變動(dòng)力方程，并采用計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)函數(shù)來(lái)擬合懸臂梁的振型函數(shù)，避免了大量的三角函數(shù)計(jì)算，從而提高時(shí)變動(dòng)力方程的求解速度。

接著通過(guò)分析架設(shè)參數(shù)對(duì)橋梁振動(dòng)的影響和主動(dòng)控制研究，得到以下結(jié)論：

(1)在推橋過(guò)程中，只有一階模態(tài)會(huì)被激發(fā)，從而形成以一階模態(tài)為主導(dǎo)振型的共振特點(diǎn)。因此為了盡量減少橋梁推送過(guò)程中的振動(dòng)情況，應(yīng)盡量避開(kāi)橋梁一階模態(tài)的共振頻率，根據(jù)橋梁一階模態(tài)頻率隨橋梁長(zhǎng)度的變化規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，在橋梁推橋初始階段，由于橋梁長(zhǎng)度較短，一階模態(tài)頻率遠(yuǎn)高于橋梁推送時(shí)產(chǎn)生的激勵(lì)力頻率，此時(shí)應(yīng)以最高架橋速度進(jìn)行推送，當(dāng)橋梁外伸長(zhǎng)度超過(guò)8 m后，需要慢慢降低架橋速度來(lái)避開(kāi)此時(shí)橋梁的一階模態(tài)頻率。通過(guò)理論分析，為實(shí)際架橋的速度控制提供了理論指導(dǎo)。

(2)基于Newmark法的模型預(yù)測(cè)控制能夠有效的降低推送過(guò)程中橋梁的振動(dòng)峰值，通過(guò)先預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)未來(lái)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，再確定當(dāng)前時(shí)刻的最優(yōu)控制力，控制效果明顯優(yōu)于基于全局的最優(yōu)控制，振動(dòng)抑制效果最高可達(dá)55.9%；在改變推橋速度和橋梁所受激勵(lì)力的幅值后，該控制策略仍能夠有效的對(duì)共振區(qū)振動(dòng)進(jìn)行抑制，表明基于模型預(yù)測(cè)的主動(dòng)控制魯棒性較好；最后分析了控制參數(shù)中最重要的預(yù)測(cè)步數(shù)對(duì)控制效果的影響，通過(guò)數(shù)值分析對(duì)比給出預(yù)測(cè)步數(shù)的推薦值，為實(shí)際設(shè)計(jì)控制器提供參考。