單層鋁合金空間網格結構的阻尼特性

郭小農，張錦東，羅曉群，王 麗

(同濟大學 土木工程學院，上海 200092)

鋁合金空間網格結構被廣泛應用于體育館、展覽館等公共建筑中[1]。針對此類結構在工程設計和動力分析時的阻尼比取值問題，已有部分學者進行了研究。郭小農等[2]給出了鋁合金球面網殼的阻尼比取值，羅曉群等[3]對鋁合金球面網殼結構實際工程的阻尼特性進行了分析并給出了阻尼比建議取值。已有研究中，阻尼比取值通常為多組實測阻尼比數據的平均值。然而，相關研究表明，結構的阻尼比具有振幅相關性[4]；因此，有必要對鋁合金空間網格結構的阻尼特性進行深入分析，進一步了解其阻尼特性。

用于設計和分析鋁合金空間網格結構的阻尼比取值可以通過現場實測及分析獲得。其中一種常用的方法是應用基于輸出的模態參數識別(output-only modal analysis, OMA)法[5]對結構進行模態試驗以獲取阻尼比。此類方法無需對輸入進行測量，可方便地對大型結構進行模態參數識別、獲取結構的模態參數。相關研究人員已經應用OMA法中的頻域分解法[6]、隨機減量法[7]、隨機子空間法[8]實現了對土木工程結構的OMA法[9]，但是上述方法無法對非平穩信號進行識別。Huang等[10]提出的經驗模態分解法可實現對復雜信號瞬時特征的提取和對非平穩信號的分析，但不能有效分離密集模態信號。Chen等[11]提出的解析模態分解法相比于經驗模態分解法對密集模態和非平穩信號的識別效果更好，將解析模態分解法與Hilbert變換結合可實現對密集模態結構的模態參數識別[12]。

本文對4個鋁合金空間網格結構進行現場實測，采集測點的衰減振動響應。采用解析模態分解法識別鋁合金空間網格結構的自振頻率和阻尼比，分析了鋁合金空間網格結構的阻尼特性變化規律，為類似結構的動力分析和工程設計提供阻尼比取值參考。

1 結構模態參數識別方法

1.1 模態參數識別方法簡介

鋁合金空間網格結構具有結構規模大、模態密集的特點，為準確分離現場模態試驗中采集到的密集模態，本文采用解析模態分解(analytical mode decomposition,AMD)法進行模態參數識別。

0≤ω1<ωb1<ω2<ωb2<…<ωi<

ωbi<ωi+1<…<ωn-1<ωb(n-1)<ωn

(1)

由此，原始信號x(t)可分解為一系列單頻信號，分解過程由式(2)～式(3)給出

si(t)=sin(ωbit)H[x(t)cos(ωbit)]-

cos(ωbit)H[x(t)sin(ωbit)](i=1,2,3,…,n-1)

(2)

(3)

式中，H[·]為Hilbert變換。

利用式(1)～式(3)處理現場采集的結構振動信號，可將密集的多模態信號分解為一系列只含單模態特征的子信號。模態試驗中獲取的多模態衰減振動響應信號經解析模態分解后可得到一系列單模態衰減振動響應信號xj(t)。

得到第j階模態的單頻信號號xj(t)后，可構造解析信號

yj(t)=xj(t)+iH[xj(t)]=Aj(t)·e-iθj(t)

(4)

式中：Aj(t)為t時刻的振幅；θj(t)為t時刻的相位。

單模態自由振動衰減響應信號可表示為

A0e-ξjωjtcos(ωd,jt+φj)

(5)

對比式(4)和式(5)，采用非線性擬合方法，即可得到結構的第j階阻尼比ξj和自振頻率ωj。

1.2 模擬算例

為了驗證上節所述方法的準確性，給出一條包含三個主頻、時長為15 s、采樣頻率200 Hz的模擬振動衰減信號(單位mV)模擬結構的響應

x(t)=1.1e-0.03×2π×0.9tcos(2π×0.9t)+

2.0e-0.05×2π×1.2tcos(2π×1.2t)+

1.6e-0.04×2π×1.5tcos(2π×1.5t)

(6)

式(6)的模擬信號如圖1所示。此模擬衰減信號的理論自振頻率和模態阻尼比，如表1所示。

圖1 模擬振動信號

表1 模態參數理論值

在式(6)的模擬信號中加入10%的白噪聲，并采用1.1節中的方法對此模擬信號進行識別。含噪聲模擬信號時程曲線、幅值譜、分離出的單模態信號，如圖2所示。模態參數識別結果及誤差如表2所示。

圖2 原信號和單模態信號

表2 模態參數識別結果

表2中，模態參數識別方法對于自振頻率和阻尼比識別誤差均保持在5%以內。這表明此方法可以準確分離單模態信號，適用于振動衰減信號的模態參數識別。

模態試驗中，對結構施加短期沖擊荷載后，被激發的結構各階模態振動響應呈現衰減趨勢，各采集點的響應信號為多模態的振動衰減信號。由本節模擬算例的識別結果可知，本文方法可僅通過采集點的振動響應信號分析被激發模態的自振頻率和模態阻尼比，而不必采集激勵信號。

2 現場模態試驗

2.1 結構概況

對4個鋁合金空間網格結構進行了現場振動測試，結構的概況信息如表3所示。以表3中的結構1、結構2、結構3、結構4代表現場實測的4個鋁合金空間網格結構。4個結構的整體照片、節點形式和網格形式，如圖3所示。從圖3可知，各結構的網格形式均以三角形網格為主，結構1～結構3為有鋁板圍護的結構，結構4為無鋁板圍護的結構。測試在結構1～結構3施工完成后進行，測試時有屋面圍護結構；結構4為裝飾構件，本身沒有圍護結構。加速度傳感器均布置于結構的節點位置處。

表3 結構概況

圖3 單層鋁合金空間網格結構

2.2 現場測試

對鋁合金空間網格結構施加人工激勵并采集結構的衰減振動曲線。在每個激勵點激勵10次，同時采集10次結構的衰減振動曲線，采集時長為10 s，采樣頻率為256 Hz。現場測試時測試人員通過起跳方式對結構施加近似豎向激勵，采用橡膠錘對結構施加近似水平向激勵，部分現場照片如圖4所示。

圖4 現場測試

需要指出的是，限于現場情況，本文測試僅采用模態試驗中的沖擊激勵法，并且未對所有節點施加激勵并采集響應，因此測試中可能遺漏某些模態。后文的分析均基于現場測試中激發并采集到的數據。

對于結構1～結構3，對結構施加水平向激勵和豎向激勵采集結構響應，采集點和激勵點如圖5所示。測試方案如表4所示。從表4可知：A為施加豎向激勵；B為施加水平y向激勵；C為施加水平x向激勵；點1～點25為加速度傳感器放置點。例如，A1-1-3代表在點A1施加豎向激勵后，采集點1和點3的衰減加速度響應；A1A2-1-2代表在點A1和點A2同時施加豎向激勵后，采集點1和點2的衰減加速度響應。共采集了結構1的160條衰減振動曲線、結構2的360條衰減振動曲線、結構3的380條自由衰減振動曲線。

表4 結構1～結構3測試方案

圖5 結構1～結構3測點布置

對于結構4，由于結構規模巨大，無法明顯激勵出結構的水平向振型，故僅對結構4施加豎向激勵并采集結構響應。結構4的測點和采集點布置圖，如圖6所示。測試中采用單點激勵單點采集的方式。其中點A1～點A62為豎向激勵點，1～62為對應的采集點，測試中在A1處施加激勵，在點1處采集結構的振動響應，直至在A62激勵、點62處采集響應?，F場測試共采集了620條衰減振動曲線。

圖6 結構4測點布置

3 模態參數識別

3.1 單條振動曲線的模態參數識別

以結構1在點A1～點A3采集的一條振動衰減曲線為例，分離振動曲線的前6階單模態振動衰減曲線進行模態參數識別。振動時程曲線、幅值譜、分離的單模態時程曲線，如圖7所示。識別結果如表5所示。

表5 結構1的點A1～點A3模態參數識別結果

圖7 點A1～點A3振動曲線模態參數識別

采用相同方法對4個鋁合金空間網格結構的前6階自振頻率和模態阻尼比進行識別。分別對網殼1的160條自由衰減振動曲線、網殼2的360條自由衰減振動曲線、網殼3的380條自由衰減振動曲線和網殼4的620條自由衰減振動曲線進行了分析。

3.2 自振頻率識別結果分析

4個結構的自振頻率識別結果如圖8和表6所示。從圖8可知，橫軸代表實測衰減振動曲線數量，各結構的各階自振頻率的識別結果相差很小，故可取各階自振頻率的平均值作為識別結果。

圖8 自振頻率識別結果

對結構1～結構4的有限元模型進行模態分析，結構1～結構4的有限元模型幾何尺寸、構件截面、構件材料與實際結構相同，桿件采用梁單元模擬，非支座節點剛接，支座節點的邊界約束見表3。實測自振頻率和有限元模型自振頻率的對比結果，見表6。由于實測時每次激勵后僅采用2個加速度傳感器采集結構響應，因此無法測得結構的振型，故本文采用對比有限元模型和實測結構的自振頻率的方法來確認結構模態。

表6 實測自振頻率和有限元模型自振頻率

從表6可知，由于空間網格結構的模態密集、現場測試的激勵方式單一、激勵能量有限，且傳感器數量有限、未布置在所有節點上，故結構的所有模態未能在現場測試中被激發和采集，實測自振頻率的階數與有限元模型自振頻率的階數未能一一對應，但已對應的自振頻率誤差小于5%。

3.3 阻尼比識別結果分析

取每條衰減振動曲線對應的最大加速度幅值和前6階模態阻尼比，繪制了結構的模態阻尼比和加速度幅值之間的關系散點圖，如圖9所示。從圖9可知，橫軸標軸代表加速度幅值，采用了對數坐標；縱軸代表模態阻尼比。

圖9 阻尼比—加速度幅值關系

從圖9可知，結構的各階模態阻尼比呈現出3階段規律。階段Ⅰ：在加速度幅值較小的區間內，結構的模態阻尼比不隨加速度幅值發生較大變化，該階段結構阻尼比可取其平均值。階段Ⅱ：模態阻尼比隨加速度幅值的增加呈現一定的非線性增長趨勢。階段Ⅲ：在加速度振幅較大的區間內，結構的模態阻尼比不隨加速度幅值發生較大變化，該階段結構阻尼比取值也可取平均值(見圖9)。

以式(7)表示結構各階阻尼比的3階段變化規律。在圖9中，將式(7)以灰線繪制。式(7)中的各系數可根據實測數據擬合得到，擬合結果如表7所示。從表7可知，A1為結構1的第1階阻尼比，B2為結構2的第2階阻尼比，其余依次類推。式(7)描述了鋁合金空間網格結構各階模態阻尼比的加速度振幅相關性。

表7 式(7)的系數

(7)

結構1～結構3為有圍護結構，結構4為無圍護結構，根據式(7)和表7求得結構4與結構1～結構3的前6階模態阻尼比差值折線圖如圖10所示。圖10中：Δmax為結構4與結構1～結構3前6階模態阻尼比差值的最大包絡線；Δmin為差值的最小包絡線；Δave為差值的平均值。由圖10可知，有圍護結構與無圍護結構的前6階模態阻尼比差值的平均值為0.4%。在實際工程計算中，模態阻尼比0.4%的差值所引起的計算結果差異很?。还屎笪膶⒂袊o和無圍護的鋁合金空間網格結構的阻尼比進行合并分析。

圖10 結構4與結構1～結構3的模態阻尼比差值

繪制結構1～結構4有限元模型的累計質量參與系數，如圖11所示。圖11中：豎軸為結構在某方向上的累計質量參與系數；橫軸為結構的頻率比，即結構各階頻率與其基頻之比。圖例中：AZ為結構1的Z方向的累計質量參與系數；CY為結構3的Y方向的累計質量參與系數；依次類推。

圖11 結構累計質量參與系數-頻率比

結構1～結構4的質量參與系數較大的模態所對應的頻率比分布在1.0～1.5內，在此區間內結構的累計質量參與系數迅速累積到80%，在此區間外結構的累計質量參與系數積累速度較慢；可定義頻率比小于1.5的模態為結構的低階模態，大于1.5的模態為結構高階模態(見圖11)。由表7和圖11可得到結構1～結構4的低階模態阻尼比和高階模態阻尼比取值，如表8所示。從表8可知，由于低振幅下的低階模態阻尼比可能小于高振幅下的高階模態阻尼比；低階模態阻尼比的取值區間與高階模態阻尼比的取值區間出現了部分重合。

表8 鋁合金空間網格結構阻尼比取值

結構1～結構4的構件尺寸、節點數量、螺栓數量、支座形式不盡相同，但是表8中結構1～結構4的低階模態阻尼比和高階模態阻尼比取值區間十分接近。阻尼比是結構能量耗散的宏觀表現，在鋁合金空間網格結構的阻尼比取值時，可忽略構件尺寸、節點數量、螺栓數量、支座形式等因素的影響。

將圖9中4個鋁合金空間網格結構的前6階阻尼比-加速度幅值的擬合線同時繪制在圖12中。根據圖12可得到結構各階模態阻尼比的變化規律。

圖12 阻尼比-加速度幅值擬合曲線

當鋁合金空間網格結構的加速度響應幅值小于0.024 m/s2時可認為結構處于階段Ⅰ，當結構的加速度響應幅值大于0.35 m/s2時可認為結構處于階段Ⅲ，加速度響應幅值在0.024～0.35 m/s2內處于階段Ⅱ。當結構處于階段Ⅰ時，結構的振幅很小，各構件交界面間僅產生了較小的相對運動，構件間摩擦滑動幅度很小或幾乎不滑動；此時由摩擦產生的阻尼可以忽略，結構的阻尼性能主要來源于鋁合金材料本身，阻尼比保持為一個較低的常數。結構處于階段Ⅲ時，大量構件間發生一定程度的摩擦滑動，摩擦滑動幅度到達上限，摩擦作用得到充分發揮，由摩擦引發的能量損耗不隨振幅增長而變化，此時結構的阻尼性能處于充分發展階段，阻尼比保持為一個較高的常數。在階段Ⅰ和階段Ⅲ中可取固定阻尼比描述結構的阻尼特性。當結構處于階段Ⅱ時，發生摩擦滑移的結構構件不斷增加，隨著振幅的增加，結構構件間的摩擦滑移不斷變大，摩擦產生的結構阻尼隨著振幅增長得到了充分發揮，在宏觀上表現為結構的阻尼比隨振幅增加呈現非線性增加，結構在階段Ⅱ振動時應考慮振幅大小導致的結構阻尼特性變化。

對于階段Ⅰ和階段Ⅲ，可認為在此階段中結構的阻尼比不隨振幅的變化而變化，該階段模態阻尼比均值與頻率和基頻之比的關系，如圖13所示，同時在圖13中繪制擬合線。圖13中的擬合線可用式(8)和式(9)表示，階段Ⅰ結構的阻尼比可由式(8)求得，階段Ⅲ結構的阻尼比可由式(9)求得

圖13 階段Ⅰ和Ⅲ阻尼比—頻率比

ξi=0.020 6e-0.644fi/f0+0.012

(8)

ξi=0.060 9e-0.938fi/f0+0.017

(9)

式中：ξi為結構的第i階模態阻尼比；fi為結構第i階自振頻率；f0為結構的基頻。

對于階段Ⅱ，根據式(7)中階段Ⅱ的公式，繪制其參數m和n與頻率和基頻之比的關系，如圖14所示。圖中同時給出了散點圖的擬合線。從圖14可知，式(7)中的m和n呈指數衰減形式，可用式(10)和式(11)表示

圖14 系數m,n-頻率比

mi=0.011 04e-0.713fi/f0+0.001 06

(10)

ni=0.088 5e-1.078fi/f0+0.019

(11)

式中：fi為結構第i階自振頻率；f0為結構的基頻。

綜合式(8)～式(11)，可得鋁合金空間網格結構的阻尼比計算式(12)

(12)

式中：ξi為結構的第i階模態阻尼比；fi為結構第i階自振頻率；f0為結構的基頻；A為結構振動的最大加速度響應幅值，m/s2。

式(12)表現了此類結構在不同振幅下各階模態阻尼比的變化規律。由于結構的加速度響應和自振頻率可在現場實測中方便地獲取，已知結構的自振頻率和加速度振動響應即可求得結構的阻尼比，可用于類似鋁合金空間網格結構的阻尼矩陣的構造、工程設計和動力分析。

4 結 論

本文對4個鋁合金空間網格結構進行現場實測，采集各測點的自由衰減振動響應。采用解析模態分解法識別鋁合金空間網格結構的自振頻率和阻尼比，分析了鋁合金空間網格結構的阻尼特性變化規律，為類似結構的動力分析和工程設計提供阻尼比取值參考。得到如下結論：

(1)鋁合金空間網格結構的阻尼比呈現3階段變化特性：第1階段為阻尼性能初步發展階段，在加速度幅值較小的區間內，結構的模態阻尼比不隨幅值發生較大變化；第2階段為阻尼性能迅速發展階段，阻尼比隨振幅的增加呈現非線性的增長趨勢；第3階段為阻尼性能充分發展階段，在加速度振幅較大的區間內，結構的模態阻尼比不隨振幅發生較大變化。

(2)根據有限元模態分析得到的累計質量參與系數定義了高階模態和低階模態，頻率比小于1.5的模態為低階模態，頻率比大于1.5的模態為高階模態。并給出了低階模態和高階模態的阻尼比建議取值區間。

(3)由于外界輸入的能量更容易激發出低階模態，低階模態對振動貢獻較大，低階模態阻尼比到高階模態阻尼比呈現非線性衰減趨勢。

(4)當結構處于微振動階段時，第1階模態阻尼比可取2.3%，高階模態阻尼比可取1.2%；當結構處于阻尼性能充分發展階段時，第1階段模態阻尼比可取4.1%，高階模態阻尼比可取1.7%；當結構的阻尼性能處于阻尼性能發展階段時，應考慮結構振幅對阻尼的影響。