基于變分模態分解算法的隧道爆破振動信號光滑降噪模型

彭亞雄，劉廣進，蘇 瑩，劉運思，張 超

(1.湖南科技大學 巖土工程穩定控制與健康監測湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大學 土木工程學院，湖南 湘潭 411201)

爆破是一種有效的巖體開挖方法，在隧道工程中廣泛使用。炸藥爆炸產生的地震波會引起隧道圍巖及結構振動，對隧道穩定性及鄰近建(構)筑物造成不利影響[1]。準確分析爆破振動特征及衰減規律是有效控制爆破振動有害效應的基礎。由于復雜的工程環境、電磁干擾和監測儀器誤差等因素的影響，實測爆破振動信號中包含大量高頻噪聲，導致信號失真。為了準確分析隧道爆破振動特性，必須對實測信號進行降噪處理。

信號降噪過程包括信號分解和去噪兩個部分，目前最常用的信號分解方法有小波類(小波[2]、小波包[3]、平移不變小波[4])和經驗模態分解類(經驗模態分解(empirical mode decomposition，EMD)[5]、集合經驗模態分解(ensemble empirical mode decomposition，EEMD)[6]、互補集合經驗模態分解(complementary ensemble empirical mode decomposition, CEEMD)[7]。為了獲得更好的降噪效果，還可以與獨立成分分析[8]和排列熵[9]等優化算法結合，這些方法已經在爆破振動信號降噪處理中得到了較好地應用。小波類降噪方法是基于小波變換算法，具有良好的時頻局部化特性，但在降噪過程中小波基函數和分解層次難以確定[10]，使得這類方法的自適應性不強，降噪效果難以保證。EMD是一種具有較好自適應能力的信號分解方法，對爆破振動信號分解有較好的適應性，但存在端點效應和模態混疊問題。EEMD和CEEMD改進算法的提出在一定程度上解決了EMD算法的這兩類問題，信號降噪效果有所提高[11]，但其基本的分解模式并未得到根本的改變。

信號分解后的去噪方法包括強制降噪和閾值降噪。強制降噪是將具有高頻特征的信號分量認定為噪聲分量，直接去除后進行信號重構[12]。該方法降噪效果較好，但對分解算法精度要求高且人為因素影響較大。閾值降噪是對高頻分量進行閾值處理，將信號有效成分進行重構，去除無效的噪聲成分[13]。采用硬閾值方法會使得重構信號產生振蕩；而軟閾值方法的信號連續性較好，但其影響了重構精度[14]。

變分模態分解(variational mode decomposition，VMD)是由Dragomiretskiy等[15]提出了一種非遞歸的信號自適應分解方法，利用迭代搜尋變分模型的最優解，確定各分解部分的頻率中心及帶寬，能夠自適應地進行信號頻域劃分和分量分離。該方法克服了EMD遞歸分解產生的端點效應和模態混疊問題，具有較好的魯棒性。本文對爆破振動信號進行VMD分解，以分解得到的本征模態函數(intrinsic mode function，IMF)建立低通濾波算法；根據濾波算法重構誤差和光滑程度獲得最優光滑降噪模型，并應用于實測隧道爆破振動信號降噪處理。

1 VMD算法

VMD算法將模態估計轉變為變分問題，通過迭代尋找頻率范圍內的變分模態最優解，不斷更新各模態函數及中心頻率，得到若干具有一定帶寬的IMF。VMD算法將原始信號x(t)分解為K個中心頻率為ωk的模態函數uk，其中K為預設模態分量個數[16]。定義模態函數為調幅-調頻信號，即

uk(t)=Ak(t)cos(φk(t))

(1)

式中：uk(t)為第k個模態分量；Ak(t)和φk(t)分別為瞬時幅值和相位。

為了得到某帶寬的IMF，①對uk(t)進行希爾伯特變換，得到解析信號和單邊頻譜ψ；②對解析信號加入估計中心頻率，并將各模態頻譜轉換至基頻帶；③計算解析信號梯度的平方L2范數，估計各模態信號帶寬，得到約束性變分問題

(2)

式中：{uk}為信號分解得到的K個模態分量；{ωk}為各分量對應的中心頻率；δ(t)為脈沖函數。

(3)

(4)

(5)

將原始含噪信號進行VMD分解后得到K個IMF分量，I1～IK的主頻逐漸增加，而噪聲成分主要存在于高頻部分，因此從原始信號x(t)中由高頻向低頻逐步除去累積的IMF分量，即構建低通濾波算法，獲得多個低通信號，通過對比分析各低通信號特征，獲得最優降噪信號，達到去除噪聲的目的。

2 信號光滑降噪模型

2.1 濾波算法重構誤差

對原始信號x(t)進行VMD分解，以分解得到的IMF建立低通濾波算法，如式(6)所示

(6)

濾波算法的重構誤差采用降噪后信號與原始信號的均方根誤差ef表示，如式(7)所示。

(7)

2.2 濾波算法光滑程度

在其定義域內各點均具有一階連續導數的曲線為光滑曲線。光滑曲線上任一點的左導數和右導數存在且相等；對于兩條以上曲線構成的光滑曲線，兩條曲線交點處的導數存在且相等[17]。

因此，設曲線u(x)和v(x)相交于x0，且在該點連續可導，則有

(8)

若兩條曲線在x0處光滑，則應該滿足u(x)和v(x)在x0點的曲率相等，即

Ku|x=x0=Kv|x=x0

(9)

將式(8)代入式(9)，可得

u″(x0)=v″(x0)

(10)

根據導數的定義，u″(x)和v″(x)可以表示為

(11)

(12)

將式(9)和式(11)、式(12)代入式(10)，可得

v(x0+2h)-u(x0-2h)-2[u(x0-h)-u(x0-h)]=0

(13)

曲線u(x)和v(x)組成的f(x)在x0點處的光滑度可表示為

SN|x=x0=f(x0+2h)-f(x0-2h)-2[f(x0-h)-f(x0-h)]

(14)

式中，h為采樣間隔。曲線的SN值越小，說明曲線越光滑。

將曲線SN的均方根誤差定義為濾波算法的平整度，記為eS。該值反映了降噪后信號的光滑程度，計算時應注意去掉采樣樣本中兩個端點。

2.3 目標函數

對原始信號進行VMD分解得到IMF，建立低通濾波算法。考慮濾波算法的重構誤差和光滑程度，設置了一個權重系數μ，得到光滑降噪模型的目標函數

F=μ·ef+(1-μ)·eS

(15)

權重系數μ通常為0.3[18]。計算得到目標函數F值最小為最優解，最優解對應于最優濾波算法模型，其降噪效果最好。

2.4 降噪效果評價指標

信號在分解過程中會導致部分成分丟失，將原始信號與降噪后信號的標準差SD(standard deviation)作為評價處理信號失真情況的評價指標。并采用信噪比ξ、降噪后和原始信號的均方根誤差ef作為評價指標[19]，分析隧道爆破振速信號降噪效果。均方根誤差ef如式(7)所示，重構標準差r和信噪比ξ定義如下：

(1)重構標準差r

(16)

(2)信噪比ξ

(17)

ESD用于評估信號保真度，其值越小說明在分解過程中信號成分丟失越少。信噪比ξ反映原始信號和噪聲的能量關系，信噪比ξ越大表明降噪后信號更好的保留了原始信號特征。ef反映了噪聲的平均能量值，也體現了降噪后與原始信號的相似程度，通常其值越小效果越好。此外，除了采用定量參數客觀評價降噪效果，還應該分析降噪前后信號波形特征，確保特征波形的一致性和明顯噪點已去除干凈。

3 工程應用

3.1 實測信號降噪

以山東省煙臺市某地下水封石洞液化石油氣儲庫工程為依托工程，工程包括不同高程、不同位置的三種儲氣庫：LPG庫、丙烷庫與丁烷庫，均采用光面爆破開挖。現場采用TC-4850型測振儀進行測試。選取丙烷庫洞室爆破開挖的一條實測典型振動信號為研究對象，如圖1所示。該實測信號的采樣頻率為3 200 Hz，根據Nyquist采樣定理，實測信號頻率為1 600 Hz；采用時間為1 s，共采集3 200個采樣點。

圖1 實測爆破振動信號(s1)

使用VMD算法進行信號分解，需要預先設定的參數包括：模態分量個數K、懲罰因子α、保真度τ和收斂條件ε。保真度τ和收斂條件ε通常采用默認值[20]。經反復試算，懲罰參數確定為α=4 800，以保證分解過程的細節特征保留度。對于模態分量個數K，分別取K=2, 3, 4, …, 9對實測信號進行分解，各IMF的中心頻率如表1所示。當某K值分解的各IMF分量主頻保持相對穩定；而以K+1值分解，僅最后一個IMF分量主頻增大，認為K值最佳。由表1可知，K=8分解的各IMF分量主頻保持相對穩定；而K=9時，最后一個IMF分量主頻增加，因此該信號的本征模態函數的分量個數K設定為8，得到信號VMD分解的IMF分量如圖2所示。

表1 不同K值分解的IMF分量主頻

圖2 振動信號 VMD分解結果

由表1和圖2可知，采用VMD算法對實測信號進行分解共得到8個IMF分量，I1～I8主頻逐漸增加。構建低通濾波模型，如式(18)所示。分別計算各濾波模型的平整度、重構標準差和目標函數F值，各指標的結果如圖3所示。

(18)

由圖3可知，降噪后信號D1～D8的ef逐漸降低，而eS逐漸增加，說明降噪后信號與原信號的相似程度增加而光滑程度降低。D5的目標函數F值最低，其降噪效果最佳。比較目標函數F值，D4和D5的F值差異不大。因此，給出原始信號與去噪信號(D4和D5)的對比圖，如圖4所示。

圖4 原始信號與降噪后信號對比

由圖4可知，盡管D4與D5的目標函數F值相差不大，D5信號的降噪效果明顯更好。其在振動速度峰值處與原始信號相似度更高，D4存在明顯的降噪過度。

3.2 時頻能量分析

AOK時頻分析技術能較好地反映爆破振動信號的時頻特性[21]。為了進一步驗證VMD光滑降噪模型的效果，利用AOK時頻分析方法對原始信號和降噪后信號的時頻能量進行對比。信號的時頻能譜如圖5所示。圖5中：X為時頻能量峰值；Y為主頻。

圖5 原始信號與降噪后信號時頻能量譜

由圖5可知，信號時頻能量主要分布在0～300 Hz的頻率范圍和0～1 s的時間范圍內。原始信號在頻率500 Hz以上范圍存在明顯的噪聲成分，是造成原始信號失真的主要原因(見圖5(b)中方框)，利用VMD光滑降噪模型較好地去除了這些噪聲成分；且在0～300 Hz內，低頻能量分量沒有明顯降低。原始信號與降噪后信號的主頻均為139 Hz，時頻能量峰值均為233.4 cm2/s2。表明VMD最優光滑降噪模型不僅能成功地去除高頻噪聲能量，而且對低頻信號能量影響較小。

4 降噪效果對比分析

基于EMD、CEEMD算法同樣可以構造相應的光滑降噪模型。采用EMD、CEEMD和VMD光滑降噪模型對3組隧道爆破振動信號進行降噪處理，原始信號與降噪后信號如圖6所示。計算原始信號與重構信號的標準差ESD、信噪比ξ、降噪后信號和原始信號的均方根誤差ε，如表2所示。

表2 爆破振動信號降噪效果指標

圖6 原始信號與降噪后信號對比(EMD，CEEMD，VMD)

由圖6和表2可知，采用EMD，CEEMD和VMD光滑降噪模型對三組實測隧道爆破振動信號進行了降噪，均取得一定程度降噪效果，去除了部分高頻噪聲。3組實測信號分解與重構過程中，原始信號與重構信號的標準差ESD在0.011 1～0.023 4，說明三種模型均具有較好的保真性。其中EMD模型的重構標準差ESD均最大，而最小值則存在差異，說明EMD，CEEMD和VMD模型在處理不同實測信號時其保真性存在差異。對比三種光滑降噪模型的降噪效果評價指標，在3組實測信號降噪中VMD模型的降噪后信號信噪比ξ均最大，CEEMD模型略大于EMD模型；VMD模型的均方根誤差ε均最低，CEEMD模型略低于EMD模型。VMD光滑降噪模型相比于其他兩種模型，能夠更好的去除高頻噪聲信號，且降噪后信號的波形更接近原始信號。因此，基于VMD算法的光滑降噪模型在振動信號降噪方面具有一定的優越性，且能夠更好地保留隧道爆破振動信號中的有效信息。

此外，CEEMD作為基于EMD的改進算法，具有較好的信號分解效果，并在一定程度上克服了模態混疊現象，CEEMD光滑降噪模型的降噪效果優于EMD模型。

5 結 論

隧道爆破振動信號中存在較多高頻噪聲，導致實測振動信號中所包含的信息常被噪聲信號所掩蓋。針對這一問題提出了基于VMD算法的光滑降噪模型，用于隧道爆破振動信號降噪處理。

(1)利用VMD算法對隧道爆破振動信號進行分解，得到不同頻帶的IMF分量，進而構建低通濾波算法。考慮濾波算法的重構誤差和光滑程度構造目標函數，計算目標函數的最優值得到最優降噪信號。工程應用表明該方法達到較好地去除高頻噪聲的目的。

(2)利用AOK時頻分析技術，對比分析降噪前后振動信號的時頻能量譜，VMD最優光滑降噪模型不僅能成功地去除500 Hz以上的高頻噪聲能量，而且對低頻信號能量影響較小。

(3)將EMD，CEEMD和VMD光滑降噪模型進行對比分析，三種方法都具有較好的保真性和降噪效果，其中VMD模型的降噪效果指標均優于EMD，CEEMD模型，驗證了基于VMD算法的光滑降噪模型的有效性，對隧道爆破振動信號降噪及分析具有指導意義。