像移補償裝置運動學建模及解耦分析

盧明明， 金鈺博， 楊雪梅， 劉長青

(長春工業大學 機電工程學院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

像移補償裝置是一種檢測機載相機成像質量的設備，具有像移誤差補償功能。裝置由臺體和三個軸框架組成，可以近似看成三軸轉臺，是一個要求非常高的非線性系統[1]。目前，隨著三軸平臺技術的不斷發展成熟，不僅在國防和軍事領域占據首要地位，而且在人們日常生活中的作用也越來越突出，逐漸成為一個國家國防、經濟實力與軍事實力的重要標志[2-3]。同時，它也為一些機載設備的有效性驗證提供可靠的實驗平臺。隨著航天、航空工業的發展，像移補償裝置的應用范圍越來越廣。

像移補償裝置作為檢測機載相機成像質量的設備，具有像移誤差補償功能的優劣性直接關系到仿真和測試實驗的可靠性與置信度，是保證航空航天產品精度及性能的基礎[4]。

航空、航天相機拍攝時，由于載機的運動、相機的擺動、溫度等因素影響，曝光時目標物體與感光介質間存在相對運動，致使成像模糊和拖尾效應，即像移[5]。雖然將相機搭載于飛機上通過多次飛行測試相機的成像性能是最直接的方法，但由于完成一次飛行任務需要消耗巨大的人力、財力、時間和資源。為減少飛行次數、提高試驗效率、節省資源，進行實驗室內動態模擬成像試驗就顯得尤為重要[6-7]。

像移補償裝置通過對其三個軸架施以不同的運動來模擬飛機各種飛行動作和姿態，即橫滾運動、俯仰運動和偏航運動[8]。裝置運動時各個框架間存在慣量以及動力學耦合，直接影響控制的動、靜態指標以及系統的穩定性[9-10]。當裝置各軸架同時工作時，各軸架不僅受到自身框架產生的力矩，還會受到其他框架的干擾力矩，框架間存在非線性動力學耦合，會影響到控制系統精度和動態性能，嚴重時會導致整個控制系統的失控，因此需要進行解耦設計[11]。文中在分析像移補償裝置框架間耦合問題的基礎上，給出各軸架的運動學方程，利用李導數算子理論驗證了其可解耦性，并對其進行解耦；最后運用Matlab對轉臺系統進行系統仿真，證明了解耦的有效性。

1 像移補償裝置機械結構分析

像移補償裝置由臺體和三個軸架組成，三個軸架為橫滾軸架、偏航軸架與俯仰軸架。三個軸架的機械系統主要由俯仰、航向、橫滾軸系結構組成。其中，橫滾軸的結構是U形，俯仰軸與航向軸的結構是O形。光學系統安裝在航向軸系內，并能隨航向軸繞航向軸偏航；掃描鏡結構與俯仰軸系統一起繞俯仰軸旋轉；兩部分作為一個整體安裝在外框內，并與橫滾軸系統一起轉動。整體結構如圖1所示。

圖1 像移補償裝置整體結構

像移補償裝置三維視圖如圖2所示。

圖2 像移補償裝置三維視圖

由圖2可知，像移補償裝置的三個軸在運動過程中并不相互獨立，而是相互影響。因此，利用裝置運動學建模,并對其進行解耦具有非常重要的意義。

2 三軸架運動學建模

設定x,y,z為俯仰軸架所固連的坐標系，x′,y′,z′為偏航軸架所固連的坐標系，x″,y″,z″為橫滾軸架所固連的坐標系，φ、α、φ分別為三個軸電機轉角，M1表示偏航軸對俯仰軸作用力矩，M2表示橫滾軸對偏航軸作用力矩，M3表示偏航軸對橫滾軸作用力矩，其中M1,M2,M3在XYZ,X′Y′Z′,X″Y″Z″坐標系分別投影。

設定i,j,k和i′,j′,k′分別為俯仰軸XYZ和偏航軸X′Y′Z′坐標軸上的單位向量，當俯仰軸相較偏航軸轉動一個角度φ時，對自變量x做三角變換，sin(X)=sX,cos(X)=cs，根據i′,j′在XYZ內的投影，可求出i′,j′與i,j的關系為：

i′=icφ-jsφ,

j′=isφ+jcφ,

k′=k。

(1)

當偏航軸相對于橫滾軸轉過一個角度α時，i″,j″,k″為橫滾軸X″Y″Z″三個坐標軸上的單位向量，根據投影求出i″,j″與i′,j′的關系為：

i′=icα-k″cα,

k′=i″sα+k″cα,

j′=j″。

(2)

設定T為偏航軸的轉動慣量矩陣，T′為俯仰軸的轉動慣量矩陣，T″為橫滾軸的轉動慣量矩陣，其中T,T′,T″分別位于XYZ,X′Y′Z′,X″Y″Z″坐標系內，G1,G2,G3分別代表三個軸架所受的重力，G,G′,G″均位于X″Y″Z″坐標系內，俯仰軸的重心在XYZ坐標系內表示為(x1,y1,z1)，偏航軸的重心在X′Y′Z′坐標系內表示為(x2,y2,z2)，可得到以下矩陣：

2.1 俯仰軸架運動學建模

表示。

設

ω1=ωX1i1+ωY1j1+ωz1k1。

對ω1進行求導可得，

其中i,j,k向XYZ內投影后皆為零向量，所以有

根據剛體定點運動方程

推導出動力學模型，將式(1)、式(2)聯立代入可得

(3)

由于G1=G1K″，由式(1)、式(2)可有

G1=G1(-i′sα+k′cα)=

G1[-(icφ-jsφ)sα+kcα]=

-cφsαG1i+sφsαG1j+cαG1k。

所以將G1向XYZ投影可有

G1=-cφsαG1i+sφsαG1j+cαG1k=

(4)

根據式(3)可以得到

(5)

將式(5)代入式(3)后整理,可得俯仰軸運動微分方程

(6)

2.2 偏航軸架運動學建模

設

ω2=ωX2i′+ωY2+ωZ2k′。

對ω2求導可有

(7)

其中

由俯仰軸的剛體定點運動微分方程可知

將相應的參數代入后可得

(8)

又由G2=G2k″，所以由式(2)可有

G2=G2(-i′sα+k′cα)，

所以將G2向X′Y′Z′投影有

(9)

M1=MX1i+MY1j+MZ1k=

MX1(i′cφ+j′sφ)+MY1(-i′sφ+j′sφ)+MZ1k′=

(MX1cφ-MY1sφ)i′+(MX1sφ+MY1cφ)j′+MZ1k′=

將上式繼續整理：

(10)

聯合式(9)、式(10)可得

(11)

將式(11)代入式(8)可得偏航軸運動學微分方程

2.3 橫滾軸架運動學建模

設

ω3=ωX3i″+ωY3j″+ω23k″,

對ω3進行求導,有

由俯仰軸的剛體運動微分方程可得

代入后可得

(12)

M2=MX2i′+MY2j′+MZ2k′=

MX2(i″cα-k″sα)+

MY2j″+MZ2(i″sα+k″cα)=

(MX2cα+MZ2sα)i″+

j″+(-MX2sα+MZ2cα)k″=

所以有

(13)

可以得出

(14)

(15)

3 三軸架運動學耦合仿真分析

由上可知，像移補償裝置受驅動力矩作用，為驗證像移補償裝置存在耦合性，采取觀察一軸運動時對其余兩軸耦合情況進行分析的方法，即令一軸運動，通過仿真方法得到其余兩軸角度和角速度耦合曲線。

1)令偏航軸運動，觀察俯仰軸與橫滾軸運動時的耦合情況。

給定偏航電壓為40 V，俯仰軸與橫滾軸電壓為0 V，頻率為10 Hz，偏航、俯仰、橫滾軸架的初始位置分別為：φ=90°,α=0°,φ=0°，受到耦合驅動力矩作用下的角位置與角速度的變化曲線如圖3所示。

(a) 滾轉角度

(b) 滾轉角速度

(c) 俯仰角度

(d) 俯仰角速度圖3 偏航軸驅動力矩作用下俯仰軸與橫滾軸變化曲線

由圖3可知，橫滾軸的耦合角度比較顯著，已經超過0.6°；俯仰軸的耦合角度也達到了1.5°。

2)令俯仰軸運動，觀察偏航軸與橫滾軸運動時的耦合情況。

給定俯仰軸電壓為24 V，偏航軸與橫滾軸的電壓為0 V，頻率為10 Hz，俯仰、偏航、橫滾軸架的初始位置分別為：φ=90°,α=0°,φ=0°，受到俯仰軸驅動力矩作用下偏航軸與橫滾軸變化曲線如圖4所示。

(a) 橫滾角度

(b) 橫滾角速度

(c) 偏航角度

(d) 偏航角速度圖4 俯仰軸驅動力矩作用下偏航軸與橫滾軸變化曲線

由圖4可知，耦合引起的橫滾軸滾轉角速度誤差可達10%，而且偏航軸角度與角速度的耦合都比較明顯。

3)令橫滾軸運動，觀察偏航軸與俯仰軸運動時的耦合情況。

給定橫滾軸電壓為30 V，偏航軸與俯仰軸的電壓為0 V，頻率為10 Hz；俯仰、橫滾、偏航軸架的初始位置分別為：φ=0°,α=0°,φ=90°，受橫滾軸驅動力矩作用下偏航軸與俯仰軸變化曲線如圖5所示。

(a) 偏航角度

(b) 偏航角速度

(c) 俯仰角度

(d) 俯仰角速度圖5 橫滾軸驅動力矩作用下偏航軸與俯仰軸變化曲線

由圖5可知，偏航角度誤差可達50°，俯仰已達到60°，而且偏航角速度整體偏向負方向，俯仰角速度明顯加快，耦合明顯。

從圖3～圖5可以看出，給任意一軸施加驅動力矩時，另外兩個軸都受耦合影響，以上可以證明像移補償裝置各軸系之間存在嚴重耦合現象。所以要想實現像移補償裝置的精密控制，就要找到抑制外界干擾對像移補償裝置系統性能影響的辦法，因此需要對像移補償裝置進行解耦。

4 解耦仿真分析

基于李導數解耦后得出如下三個SISO系統，即俯仰軸、偏航軸、橫滾軸。

同樣在像移補償裝置受到驅動力矩的情況下，三個軸架在施加驅動力矩作用下仿真得到的系統耦合關系分別如圖6～圖8所示。

(a) 俯仰

(b) 橫滾圖6 偏航軸驅動力矩下的俯仰耦合與橫滾耦合曲線

圖6仿真結果顯示，單獨給偏航軸施加驅動力矩時，對于解耦后的等效系統而言，橫滾軸和俯仰軸的角位置與角速度幾乎為零，由此可知，橫滾軸和俯仰軸并未受到偏航軸的耦合影響。

(b) 俯仰圖7 俯仰軸驅動力矩下的偏航耦合和俯仰耦合曲線

從圖7可以看出，對于解耦后的系統而言，單獨給俯仰角施加驅動力矩指令時，偏航軸的角度與角速度在0處波動，橫滾軸的角度與角速度也同樣在0處波動，由此可知，俯仰軸并未對偏航與橫滾軸帶來影響，即耦合消失。

(b) 俯仰圖8 橫滾軸驅動力矩下偏航耦合與俯仰耦合曲線

從圖8可以看出，單獨給橫滾軸施加驅動力矩指令時，對解耦后的系統來說，俯仰的角度與角速度在0處波動，偏航的角度與角速度也同樣在0處波動，由此可知，橫滾軸并未對偏航與橫滾軸產生影響，即耦合消失。

5 結 語

針對像移補償裝置運動時存在耦合情況，對裝置進行耦合分析，提出了李導數解耦，并對解耦后的系統進行仿真分析。

根據李導數算子完成了解耦控制器的設計，最后對解耦后的系統進行仿真，在對系統進行解耦后結果表明，無論單獨給哪個軸施加驅動力矩，另外兩個軸幾乎沒有變化。由此表明，解耦之后各軸之間干擾消失，解耦狀況良好，實現了三個軸之間的相互獨立運動，不再相互影響。