論電路齊次定理和疊加定理的關系

田社平，陳希有，張 峰

(1.上海交通大學 電子信息與電氣工程學院，上海 200240；2.大連理工大學 電氣工程學院，遼寧 大連 116023)

0 引言

齊次性(homogeneity)和可加性(additivity)是線性系統所具有的兩個基本性質。一切線性系統分析的理論和方法都是基于這兩個性質。對于線性電路，也具有齊次性和可加性這兩個性質，它們體現在齊次定理(對應于齊次性)和疊加定理之中[1-2]。筆者在教學中發現，一般電路教材對齊次定理和疊加定理都進行了表述[1-3]，盡管這些教材對齊次定理和疊加定理之間的關系(相互獨立性)沒有作明確的表述，但可以認為，這些教材將這兩個定理看作兩個平級的定理，它們都來自線性電路本身，不是相互證明的定理。有的教材則僅介紹疊加定理而忽略齊次定理[4]。也有教材明確指出，齊次定理是疊加定理的推論[5-6]。還有作者給出了證明：在實數域內, 如果已知系統具有可加性, 那么它一定同時具有齊次性[7]。另有教材認為，可加性是齊次性向多激勵源作用的線性系統引申的結果[8]。而一般線性系統理論教材則認為系統的齊次性和可加性是兩個獨立的性質[9-11]，認為齊次性和可加性是兩個彼此不可互相替代的概念[11]。

線性電路的齊次性定理(齊次性)和疊加定理(可加性)之間是相互獨立的，還是疊加定理包含了齊次定理，抑或疊加定理是齊次定理的引申？現行教材對這一問題存在不一致的觀點，應該加以厘清。本文基于筆者的教學實踐與思考，試圖對這些問題進行分析，以就教于大家。

下面的討論僅限定于實的非時變靜態系統或電路，即：系統或電路參數及其輸入、輸出均為實數，且系統或電路的輸入輸出關系為代數關系，用L表示這種關系。

1 齊次性與可加性之間的關系

1.1 線性系統的定義與性質

(1)

則稱該系統為線性系統[9-12]。

由上述定義，不難推出線性系統的兩個性質：

(2)

(3)

由式(2)、(3)可得

亦即，由式(2)、(3)可推出式(1)，因此，齊次性和可加性合在一起與線性性是等價的。

顯而易見，線性電路滿足定義式(1)，亦具有齊次性和可加性的性質。

1.2 單輸入系統的情況

定理1：對單輸入靜態系統，如果該系統滿足齊次性(可加性)，那么該系統一定滿足可加性(齊次性)。亦即系統是線性系統。

證明：由于系統是靜態的，因此輸入輸出關系可用某種函數L(·)來表示。

(1)假設系統滿足齊次性，則對任意實數c，系統在輸入cw下的輸出為

(4)

令c=0，可得L(0)=0。由式(4)兩邊對w求導可得

(5)

令w1=cw，有

(6)

(7)

這是正比關系，是最簡單的線性關系?？梢?，只要單輸入靜態系統滿足齊次性，那它就是線性系統，自然它也就滿足可加性。

(8)

對式(8)令w1或w2為0，可得L(0)=0。又由式(8)可得

(9)

由上式可得，

(10)

由定理1可知，對單輸入靜態系統，齊次性、可加性、線性性三者是等價的。

1.3 多輸入系統的情況

(11)

定理得證。

定理2表明，滿足齊次性的靜態系統，僅能保證系統在線性相關的輸入下是可加的，并不能保證系統在任意輸入下的可加性，亦即，由齊次性不能推導出可加性。下面舉例說明。

例1：圖1所示電路，三個非線性電阻的特性分別滿足

圖1 電路示例1

(12)

(13)

(14)

定理3：對多輸入靜態系統，如果該系統滿足可加性，那么，該系統一定滿足齊次性，即系統是線性系統。

(15)

由上式可得

(16)

因此，有

(17)

(18)

(19)

上式表明L為線性系統。定理得證。

定理3表明，對多輸入靜態系統，無論輸入是否線性相關，由可加性即可推導出齊次性。

2 齊次定理與疊加定理之間的關系

電路理論中的齊次定理和疊加定理是線性系統的齊次性和可加性在電路中的應用。齊次定理表達了單一激勵線性電路的齊次性性質，而疊加定理則是可加性在多個激勵電路中的應用。

2.1 單一激勵的電路情況

(20)

由定理1可以得出，對單一激勵的非時變電阻電路，只要電路滿足齊次性或可加性，電路就是線性的。或者說，對單一激勵的線性非時變電阻電路，它的線性性質只須用齊次性或者可加性來表達就足夠了。用齊次定理或疊加定理都可表達電路的線性性質。因此，現有電路理論教材中對單一激勵的線性非時變電阻電路，僅采用齊次定理來表述電路的線性性質是合理的，也是充分的。

2.2 多個激勵的電路情況

當電路存在多個輸入(激勵)時(在電路中使用疊加定理時，經常是這種情況)，電路的輸入組成輸入向量。對于多個激勵的線性非時變電阻電路，同樣滿足齊次性和可加性這兩個性質。由定理3可知，此時只須判斷電路的可加性是否滿足就可判斷電路是否是齊次的，是否是線性的。

(21)

例2：圖2所示電路，兩個非線性電阻的特性分別滿足

圖2 電路示例2

(22)

式中，f1()，f2()均為非線性函數。

(23)

(24)

(25)

可見

(26)

滿足式(21)，即該電路滿足疊加定理。

(27)

事實上，該電路也不滿足齊次性。因為，對非零常數c，有

(28)

(29)

因此，圖2電路是非線性電路。從這個例子可以看出，對一個電路，疊加定理與齊次性的因果關系和可加性與齊次性的因果關系是不同的：滿足可加性，則一定滿足齊次性，也滿足齊次定理；滿足疊加定理，不一定滿足齊次性或齊次定理。

3 結語

(1)對單一激勵的電路，如果該電路滿足齊次性或者可加性，那么，該電路一定是線性電路。現行教材用齊次定理表達單一激勵線性電路的線性性質是合理的。

(2)對多個激勵的電路，如果該電路滿足可加性，那么，該電路一定是線性電路。但是，如果電路僅滿足齊次性，則該電路不一定是線性電路。

(3)由于疊加定理和可加性的內涵是有所區別的，疊加定理是可加性的必要條件，但不是充分條件，不能通過電路是否滿足疊加定理來判定電路的齊次性。