次表面偏折裂紋尖端力學行為的分布位錯理論分析

張雪朋，李文俊，李楠，江曉禹

（西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031）

大多數情況下，材料斷裂是由于裂紋擴展導致的，這是一種非常危險的失效方式。裂紋在材料內部或表面萌生之后發生擴展，使得材料失效，甚至斷裂[1-2]。對于材料中的裂紋，其尖端部位最危險。裂紋中的主要應力集中在裂紋尖端[3]。材料的抗斷裂性和疲勞強度會受到裂紋幾何特征等方面的影響。當裂紋的尺寸與材料的特征長度相當時，這種現象尤其明顯（如金屬材料中的晶粒尺寸，脆性材料中的微空隙或夾雜物）。它可以用來量化材料的斷裂強度[4]。

在外部受到載荷或材料內部缺陷的影響下，裂紋擴展偏離其原始方向并出現偏折。偏折裂紋在裂紋擴展中經常出現，許多學者研究了偏折裂紋的力學問題[3]。G. R. MILLER[5]分析了表面壓載荷作用下水平次表面裂紋分支行為，其中包含埋置偏折裂紋。D. J.MUKAI[6]采用復雜變量二維彈性方程，分析了剛性圓柱壓頭下次表面偏折裂紋。H. G. BEOM 等[7]研究了不同各向異性材料在反平面變形作用下彎曲界面裂紋的漸近問題。K. K. LO 研究了包含偏折裂紋在內的非對稱分支裂紋、對稱分支裂紋和雙對稱分支裂紋等問題[8]。N. HALLB?CK 等人[9]分析了彈性半平面中存在多扭結裂紋的情況。XIE 等人[10]研究了在拉伸條件下裂紋偏折和分支的理論說明。CHEN[11]采用權函數法估算了偏折裂紋尖端應力強度因子。LI 等人[12]研究了拉伸載荷條件下的單裂紋、邊扭結裂紋和雙扭結裂紋。JIN 等人[13]研究了在移動赫茲作用下，用半無限平面內的多偏折次表面裂紋模擬充液地下裂紋生長規律的數值結果。JIN 等人[14]利用分布位錯的方法，解決了含有多邊裂紋的彈性半平面的數值解。LI等人[15]采用分布位錯，求解在拉伸條件下無限平面內微裂紋與主裂紋長度比對主裂紋擴展的影響。D. A.Hills[16]和LI[17-18]分析了在均勻拉伸作用下半無限平面內一個或多個角不連續的直段二維裂紋的應力強度因子，但是要求其裂紋必需保持全部張開，且裂紋都是在特定的角度下求解的。分布位錯法是解決裂紋問題的一種有效方法，其核心是用連續分布的位錯等價地替換裂紋[16]。

上述學者分別采用了復變函數法、權函數法以及分布位錯法解決各種裂紋問題，考慮了在無限平面內、半無限平面內、單個偏折裂紋、多重偏折裂紋、裂紋尖端應力場、塑性區等問題，多數研究是基于無限平面內裂紋。但在實際應用上不可能出現無限平面的情況，而在半無限平面內，關于偏折裂紋的研究相對較少。本文考慮了半無限平面內的埋入偏折裂紋在復雜載荷作用下裂紋尖端的力學性質以及偏折裂紋的擴展方向，對比裂紋長度比、埋置深度、載荷比對裂紋尖端應力強度因子以及偏折裂紋擴展方向的影響，為以后求解裂紋擴展方向及路徑提供參考。

1 理論求解

1.1 疊加原理

利用分布位錯方法和疊加原理可以將圖1 所示的裂紋轉化為兩個子問題：（1）在一個半無限平面內，沒有外載荷作用下，含有兩列位錯的問題；（2）只受均勻外載荷的平面應力問題[1]。通過疊加原理，將二者聯立，從而可求得其模型的應力組合狀態：

對問題進行求解，將偏折裂紋上的兩列位錯分別建立坐標系x-o-y和x?-o?-y?，分別表示為“1”和“2”，并利用d和α來表示它們之間的未知關系，d表示主裂紋中點到半無限邊界的距離，α表示偏折角度。將α的正方向設置為逆時針。其示意圖見圖2。

1.2 建立位錯密度積分方程

在半無限大平面內，位于坐標系x-o-y內的位錯產生的應力場可以表示為[18-23]：

式中：μ表示剪切模量[18]；κ是 Kolosov 常數[24]，κ= 3 - 4ν為平面應變狀態[24]，κ= (3-ν) / (1+ν)為平面應力狀態[25-26]；bx和by是刃型位錯博格斯矢量在x和y方向上的分量；Gijk表示影響函數，其中i表示博格斯矢量分量方向，j、k表示應力分量方向[16,27]，其表達式見式（4）。位錯列“1”處的位錯在位錯列“1”上產生的應力見式（5）。

其中，坐標轉換后的影響函數推導過程如下[16]：

令y? =0 ，可以得到位錯列“1”處的位錯在位錯列“2”上產生的應力，其公式為：

2 數值求解位錯密度積分方程

將式（10）—（11）代入式(12)，建立積分方程，但積分方程較難求解，因此改用高斯切比雪夫求積法[19-20]來進行數值求解。將積分區域[d-a,d+a]和[-b,b]無量綱化到[-1, 1]，其推導過程根據文獻[16]的推導方法：

其中N個離散積分點SI、和N-1 個相應的配置點tk、可以從文獻[16]中得到，其具體情況如文獻[16]中情況一，主裂紋兩端都是奇異的，同理，偏折裂紋也是如此。故根據文獻[16]得到：

將偏折裂紋當成是由幾段直裂紋組成的，只需保證拐點處的連續性即可，這樣的簡化已經被證明是合理的[21]。兩段的每一端都是奇異的，位錯密度亦是，將Bi(s)當作基本函數主裂紋ω(s)與主裂紋未知函數?(s)的乘積[22]，從文獻[16]中得到位錯密度函數：

其離散化線性方程組為：

偏折裂紋的拐點處需要保證其位移的連續性，因此在x、y兩個方向上分別建立方程：

方程數的個數與未知數的個數一致，通過計算軟件編寫4N×4N矩陣方程組，求解4N個數值解。為了讓精度更加準確，其中N=70 。相應的參量由此可得。

所求解的?i(si)（i=x,y,x?,y?）可用于求解應力強度因子，其求解方法可在參考文獻[16]中獲得，見公式（20）。

對于裂紋的擴展方向，選取最大周向應力判定。該方法可較好地判斷材料斷裂方向[23]。其原理是裂紋會向裂紋尖端周向拉應力最大的方向擴展[23,25]。裂紋的擴展方向可以用應力強度因子來進行計算，其公式為：

為方便進行集中處理以及更好地展示和分析，將文中所求的應力強度因子用*K來無量綱化，并進行歸一化處理：

3 結果驗證

利用軟件ANSYS 建模，以此來驗證其理論方法的正確性，有限元模型見圖3。將模型中復雜載荷簡化為拉伸載荷，分別選取d/a=1.5、b/a=0.1 及d/a=1.5、α=30o，在拉伸作用下，不同角度以及不同長度比下的理論數據與有限元模擬數據如圖4a—b 所示。在一定誤差下，對比數據相差無幾，模擬結果與理論結果計算誤差約為0.1%，故本文使用的分布位錯結果可靠。

圖3 有限元模型Fig.3 Finite element model

圖4 模擬與理論數據對比Fig.4 Comparison of simulation and theoretical data

分布位錯的方法也可以用于多段偏折裂紋，只需要保持每兩段之間偏折拐角處位移的連續性，沿著分支I和分支I+1 的位錯密度的值相等，同時保證每條裂紋均是張開狀態，也就是在x、y兩個方向上分別建立方程：

4 結果與分析

4.1 埋置深度對其兩端 KII 和 KI 的影響

取裂紋長度之比（b/a=0.1）以及載荷比（=1）為定值，在改變偏折裂紋埋置深度的情況下，裂紋兩端的KII和KI的變化如圖5 所示。

在裂紋長度之比（b/a=0.1）以及載荷比（=1）不變的情況下，其應力強度因子只受埋置深度的影響。由圖5 可知，裂紋兩端的KII和KI會隨著與主裂紋長度之比（d/a）的增大而減小。由圖5a 可知，偏折裂紋段尖端KII( +b) 隨著偏折角的增加，先呈一定比例增加，達到峰值后開始減小，其峰值在21o左右，此時裂紋最容易發生擴展。如圖5b 所示，偏折裂紋尖端KI( +b) 在偏折角度33o左右，其值約為0，可以看出裂紋的埋置深度對其閉合角的影響并不大，若超過此值，應考慮其閉合時對裂紋的影響。分別對比裂紋兩端的KII和KI，其中圖5c、d 的應力強度因子均大于圖5a、b，說明裂紋更容易向外部擴展而形成表面裂紋。

圖5 裂紋埋置深度對歸一化 KII 和 KI 的影響Fig.5 The influence of crack embedding depth on normalized KII and KI

4.2 長度比對其兩端 KII 和 KI 的影響

取裂紋埋置深度與主裂紋長度之比（d/a=1.1）以及載荷比（=1）為定值，在改變主裂紋與偏折長度大小的情況下，裂紋兩端的KII和KI的變化如圖6 所示。

在裂紋埋置深度與主裂紋長度之比（d/a=1.1）以及載荷比（=1）不變的情況下，其應力強度因子只受裂紋長度之比（b/a）的影響。由圖6 可知，隨著b/a的增加，裂紋兩端KII和KI的值逐漸增加。由圖6a 可知，偏折裂紋段尖端KII( +b)隨著偏折角的增加，先呈一定比例增加，達到峰值后開始減小，其峰值在16o左右，此時裂紋最容易發生擴展。由圖6b可知，偏折裂紋尖端KI(+b)在偏折角度30o～33o處，其值約為0，若超過此值，應考慮其閉合時對裂紋的影響。隨著偏折裂紋部分長度的增加，其應力強度因子KI( +b)接近于0 的角度逐漸變小。由此說明，偏折裂紋的偏折角受裂紋長度的影響較大。對比裂紋兩端KII和KI的變化，如圖6 所示，KII(-a)以及KI( -a)均大于KII( +b)和KI(+b)，說明裂紋更容易向外部擴展而形成表面裂紋。

圖6 裂紋長度對歸一化 KII 和 KI 的影響Fig.6 The influence of crack length on normalized KII and KI

4.3 載荷比對裂紋兩端 KII 和 KI 的影響

取裂紋長度之比（b/a=0.1）以及裂紋埋置深度與主裂紋長度之比（d/a=1.1）為定值，在改變載荷比的情況下，左、右兩端KII和KI的變化曲線如圖7 所示。

在裂紋長度之比（b/a=0.1）以及裂紋埋置深度與主裂紋長度之比（d/a=1.1）不變的情況下，其KII和KI只受橫剪載荷比()的影響，兩段裂紋的KII和KI大小會有所不同。由圖7 可知，在條件不變的情況下，隨著載荷比的增大，應力強度因子KII逐漸增大，應力強度因子KI逐漸減小，與在只有拉伸情況下應力強度因子KII和KI大小的變化曲線剛好相反，其原因在于，受到拉伸作用，增加剪切會減小應力強度因子KI。觀察圖7a 可知，隨著偏折角以及載荷比()的增加，偏折段裂紋尖端應力強度因子KII( +b)逐漸增大，其值變化增量逐漸減小，且載荷比越大，裂紋越容易發生擴展。觀察圖7b 可知，改變載荷比的大小，偏折紋閉合時的角度隨之有較大的變化，KI會隨著()的增大而逐漸減小。對比裂紋兩端KII和KI的變化，如圖7 所示，KII( -a)以及KI(-a)均大于KII( +b)和KI( +b)，說明裂紋更容易向外部擴展而形成表面裂紋。

圖7 載荷大小對歸一化 KII 和 KI 的影響Fig.7 The influence of load size on normalized KII and KI

4.4 裂紋埋置深度對裂紋擴展方向的影響

取裂紋長度之比（b/a=0.1）以及載荷比（=1）為定值，在改變裂紋埋置深度的情況下，裂紋左、右兩端擴展方向的變化曲線如圖8a、b 所示。

在裂紋長度之比（b/a=0.1）以及載荷比（=1）不變的情況下，其裂紋擴展方向只受埋置深度的影響，并隨著偏折角度的改變而變化。圖8a 為偏折裂紋部分擴展角度沿順時針走向，改變裂紋深度對其影響不大，其擴展方向隨著裂紋偏折角度的增加而逐漸增加。圖8b 為主裂紋部分發生擴展時的方向，改變裂紋深度會減小其擴展方向角度，并且偏折角度增加，其擴展角度也隨之增加。

圖8 裂紋埋置深度對裂紋擴展方向的影響Fig.8 The influence of crack embedment depth on crack propagation direction: a)the extension angle of the deflection crack is clockwise , b)the direction of the main crack when it propagates

4.5 裂紋長度對裂紋擴展方向的影響

取裂紋埋置深度與主裂紋長度之比（d/a=1.1）以及載荷比（=1）為定值，在改變主裂紋與偏折裂紋長度比的情況下，裂紋兩端擴展方向的變化曲線如圖9a、b 所示。

在裂紋埋置深度與主裂紋長度之比（d/a=1.1）以及載荷比（=1）不變的情況下，裂紋裂紋擴展方向只受埋置深度的影響，并隨著偏折角度的改變而變化。圖9a 為偏折裂紋部分擴展角度沿順時針走向，在相同偏折角度的情況下，裂紋擴展角度隨著長度比的增大而增大，同時在相同長度比的情況下，隨著偏折角度的增加，裂紋擴展角度也隨之逐漸增大。圖9b 表示主裂紋部分發生擴展時的方向，與圖9a類似，在相同偏折角度的情況下，裂紋擴展角度隨著長度比的增大而增大，同時在相同長度比的情況下，隨著偏折角度的增加，裂紋擴展角度也隨之逐漸增大。

圖9 長度對裂紋兩端擴展的改變Fig.9 The change of length to the propagation of both ends of the crack: a)the extension angle of the deflection crack is clockwise, b)the direction of the main crack when it propagates

4.6 載荷比對裂紋擴展方向的影響

取主裂紋與偏折裂紋長度的比值（b/a=0.1）以及裂紋埋置深度與主裂紋長度之比（d/a=1.1）為定值，計算在改變載荷比的情況下，裂紋兩端擴展方向的變化，如圖10 所示。

在主裂紋與偏折裂紋長度的比值（b/a=0.1）以及裂紋埋置深度與主裂紋長度之比（d/a=1.1）不變的情況下，其裂紋擴展方向只受載荷比（）的影響。擴展方向會隨著偏折角度的改變而改變。裂紋的擴展方向由公式(21)可知，KII是造成偏折的主要因素，而KI則不會。圖10a 表示偏折裂紋部分發生擴展時的方向，其角度為順時針方向。由于載荷比不同，其擴展方向的初始值會發生變化。與只有拉伸的情況下相比，增加載荷比時裂紋的初始擴展方向及增加偏折角時裂紋的擴展方向均更大。圖10b 表示主裂紋部分發生擴展時的方向。在只有拉伸的情況下，隨著偏折角度的增加，其擴展角度逐漸增大。在存在載荷比的作用下，裂紋擴展角度也隨著載荷比的增大而增大，同時對于裂紋偏折角度的增加，裂紋擴展角度逐漸減小到趨于平緩。

5 結論

1）由以上理論推導可知，此方法進行推導裂紋是一種可靠且值得信賴的方法。同理可知，此方法可用于更加復雜的情況（多段偏折、微裂紋影響等）。

2）在復雜載荷作用下，埋置深度與主裂紋長度比逐漸增大，其應力強度因子的值逐漸減小，裂紋更容易在主裂紋方向朝表面擴展，其主裂紋擴展方向隨著深度的增加而逐漸減小，并隨著偏折角度的增加而逐漸增加。偏折裂紋部分的擴展方向不受深度的影響，并隨著偏折角度的增加而逐漸增加，裂紋兩端的擴展方向均是順時針。

3）在復雜載荷作用下，偏折裂紋與主裂紋長度比逐漸增大，其應力強度因子的值逐漸增大。裂紋更容易在主裂紋方向朝表面擴展，其主裂紋擴展角度隨著長度比的增大而逐漸增大，并隨著偏折角度的增加而逐漸增加；其偏折裂紋部分的擴展角度亦是如此，裂紋兩端的擴展方向均是順時針。

4）在不同載荷比作用下，其應力強度因子隨著載荷比的增大而逐漸增大。裂紋更容易在主裂紋方向朝表面擴展。隨偏折角的增大，主裂紋的擴展角會先減小，后漸進不變；其偏折裂紋部分的擴展角度，隨著載荷比的增加而逐漸增加，并隨著偏折角的增加而逐漸增大，裂紋兩端的擴展方向均是順時針。