蓄力創生 厚植思想
——《集合》教學實踐與思考

文 夏向陽 張磊銘

【教材分析】

集合是現代數學的基本語言，可以簡潔、準確地表達數學內容。集合思想是數學中最基本的思想，甚至可以說集合理論是數學的基礎。學生從一年級學習數學時，就開始接觸集合的思想方法，具備了一定的認知經驗和知識技能。人教版教材在三年級上冊安排了教學集合思想的單元，介紹了維恩圖表示集合及交集、并集的方法，讓學生體會集合的概念及認識集合的交集、并集，學習用集合的思想方法思考和解決簡單的實際問題，為今后學習相關內容奠定扎實基礎。

【教學過程】

一、設疑導入，激活認知經驗

師：校運動會到了，三（1）班報名參加男生60米短跑比賽的有5人，男生100米短跑比賽的有4人。你覺得參加這兩項短跑比賽的男生一共有幾人？

生：9人。

師：除了9人，還有其他的可能嗎？

生：還有可能是8人。因為有1名男生同時參加了這兩項比賽。

師：誰聽懂了他的意思？

生：有1名男生既參加了60米短跑比賽，又參加了100米短跑比賽。

師：你真會思考，值得表揚。

師：除了9人、8人之外，你們覺得還有其他可能嗎？

生：7人、6人、5人。

師：7人、6人、5人又是怎樣的情形，等會兒我們繼續討論。

【設計意圖：以學生喜聞樂見的校運動會短跑比賽為教學情境，激活學生的認知沖突，初步感知生活中的集合現象，激發學生進一步探究的內驅力。】

二、聚焦本質，建構數學模型

1.自主探索，引出集合。

師：如果有8人參加比賽，請你思考怎樣的情況才能保證有5人參加60米短跑比賽，4人參加100米短跑比賽？

師：接下來請同學們用自己喜歡的方法表示出8人的情形。

師：大家看懂了嗎？

生：有1個男生參加了60米短跑和100米短跑兩個項目，并用文字加以說明，再寫上一共8人。

師：涂陰影的這兩個圓表示什么意思？

生：表示同一個人參加了這兩項短跑比賽。

師：下面我們來看這位同學的表示方法，她也是采用畫圖的方式。

師：這位同學的方法，你們看得懂嗎？

生：看得懂，中間的這一位同學參加了兩項比賽，這樣一共有8人。

師：你們覺得剛才兩位同學表示的方法有什么不同？

生：第一種方法同一位男生畫了兩個圓表示，然后用文字加以說明；第二位同學的方法把同一位男生只畫了一個圓來表示。

生：第二種方法還畫了兩個相交的橢圓，這樣看起來更加清晰。

師：我們再來看一位同學的方法。

生：這位同學的方法和第二位同學的方法差不多，第二位同學畫的兩個橢圓是上、下順序，而這位同學畫的兩個橢圓是左、右順序。

生：這位同學畫得更美觀，看起來更方便。

師：三位同學通過畫圖的方法，把參加兩項比賽的8人清晰地表示出來，像這樣的圖示法，數學上稱為“維恩圖”，由英國著名邏輯學家維恩第一個用這樣的圖來表示，所以稱為維恩圖。維恩圖又叫集合圖，今天這節課我們就來學習“集合”的相關知識。

【設計意圖：教師給予學生充足的時間和空間，讓學生用自己喜歡的方法進行表示。通過依次呈現學生原生態的作品，在象形圖的基礎上，進行不斷加工、改造，順利地經歷維恩圖的生成過程，從而豐富學生對維恩圖的認識，獲得有價值的數學活動經驗，并通過不斷比較和優化感受數學的簡潔和美觀。】

2.介紹集合，理解含義。

師：請同學們結合這幅維恩圖繼續思考，每一部分分別表示什么意思？

生：左邊的橢圓表示的是參加60米短跑這一項的人數，相交部分表示的是兩項都參加的人數，右邊的橢圓表示的是參加100米短跑這一項的人數。

師：那左邊的四個小圓又表示什么意思呢？

生：只參加60米短跑的人數。

師：那右邊三個小圓和中間的這個小圓又表示什么意思呢？

生：右邊三個小圓表示只參加100米短跑的人數，中間的這個小圓表示參加兩項比賽的人數。

師：為了更加清晰和完整，我們把剛才維恩圖中的每一部分所表示的意義在同一幅圖上依次表示出來。

【設計意圖：借助維恩圖這一形象的表征方式，使學生深入感知維恩圖的結構以及每一部分所表示的意義。在對比教學中深刻理解集合的概念，并能整體把握維恩圖的互異性和無序性的特征，初步體會交集、并集的意義。】

3.列式解答，探究方法。

師：根據維恩圖，你能用一個算式進行解答嗎？

生：5+4-1=8（人）。

師：為什么還要減去1呢？

生：因為有1人重復算了。

師：是的。5+4我們把其中的一位同學算了幾次？實際上呢？所以為什么要減1呢？

生：把重復算的這1次減去。

師：說得真好，我們能否結合算式在維恩圖上指出來？

生：4+3+1=8（人）。

師：這個算式，誰能說一說它表示什么意思？

生：把只參加60米短跑和只參加100米短跑的學生相加，再加上兩項都參加的學生。

【設計意圖：鼓勵學生從不同角度觀察維恩圖，列出不同的算式，并對照維恩圖解釋所列算式，滲透算法多樣化的思想。】

4.拓展提升，發散思維。

（1）抽象成數。

（2）完善集合。

師：除了9人、8人，還有其他的可能嗎？

生：7人。

生：6人。

生：5人。

師：我們先用維恩圖表示7人的情況。

師：請你觀察，為什么參加60米和100米短跑的同學一共有7人？

生：2人同時參加了兩項比賽。

師：為什么參加兩項比賽的是6人？這又是什么道理？

生：有3人兩項比賽都參加了。

師：剛才有同學說到5人，那5人的情況你能畫出來嗎？嘗試在紙上畫一畫。

師：同學們，請你結合圖進行思考，為什么參加兩項比賽的人數是5人？

生：4人兩項比賽都參加了。

師：右邊空的部分表示什么意思？

生：沒有人只參加了100米短跑比賽。

師：也就是說參加100米短跑比賽的同學都參加了60米短跑比賽。同學們，既然這兒沒有人，那我們也可以把圖變一變。

師：外面的橢圓表示什么意思？里面的橢圓表示什么意思？這個小圓又表示什么意思？

生：外面的橢圓表示參加這兩項比賽一共有5人，里面的橢圓表示參加這兩項比賽的有4人，左邊的這個小圓表示只參加60米短跑的有1人。

師：同學們，那參加的人數一共是4人，有可能嗎？

生：不可能，因為參加60米短跑比賽的就有5人了，所以參加比賽的至少有5人。

師：剛才我們通過“參加這兩項短跑比賽的男生一共有幾人”這一問題，借助維恩圖和算式表示出了所有可能的情況，用維恩圖來解決問題的思想在數學上叫做集合思想。

【設計意圖：由形抽象到數，使學生完成數學化的過程，形成抽象的數學認知結構。同時，在不斷思考、多次表征這一問題的不同情況下加強學生的認知經驗，系統認識集合中相交、包含、相離三種關系，進而對集合形成正確、完整、深刻的認識。】

三、回顧總結，適時交流反思

師：通過今天這節課，你有什么收獲？

【教學思考】

一、學習材料和認知經驗是創生的引擎

本課中筆者巧用教學素材，讓簡單的素材盡可能發揮出最大的教學效果。以學生生活中的校運動會為情境，始終圍繞“參加這兩項短跑比賽的男生一共有幾人”這一核心問題展開教學，思路清晰，指向明確，引導學生重點掌握有重疊部分的相交關系，同時對其他情況進行有序思考，探索出集合中相交、包含、相離三種關系，建立了對集合關系的系統認知，實現了數學思維的拓展。同時，喚醒“重復的人數要減去”這一熟悉的認知經驗，運用學生的生成素材，放手讓學生自主表征，利用學生生成的資料展開交流，不斷完善，逐漸“創造”出維恩圖。做到學為中心，素養為先，使學生真正參與到課堂中，讓課堂的生成散發思維的火花。

二、思想方法和數學模型是創生的內核

本課在探究集合模型時，以學生原生態的表征為基礎，啟發引導、分享質疑、完善思考。從最初的兩個圓涂陰影表示重疊的學生到一個圓放中間表示這位學生，探索出維恩圖的雛形，再到圈一圈、移一移等方式優化維恩圖，學生在思維活動中經歷了較為完整的維恩圖形成過程，在自主探索和教師引導下不斷優化，使原本復雜、抽象的知識具體化、可視化、簡潔化，無形中滲透著集合思想、優化思想、分類思想和數形結合思想，建立了集合問題的基本模型，培養了學生的思維能力，提升了學生的數學核心素養。