基于參數線性規劃的電-氣綜合能源系統最優能量流算法

蔡杰，趙海彭，關欽月，郭婷，張迪，苗世洪

(1.國網湖北省電力有限公司經濟技術研究院，武漢市 430077；2.強電磁工程與新技術國家重點實驗室(華中科技大學電氣與電子工程學院)，武漢市 430074；3.電力安全與高效湖北省重點實驗室(華中科技大學)，武漢市 430074)

0 引 言

電-氣綜合能源系統(integrated electricity-gas system，IEGS)通過電力與天然氣系統耦合，充分發揮電-氣系統協同互補的優勢，能夠提高能源的利用效率和可再生能源的消納能力[1-2]。然而，隨著電-氣系統耦合程度的加深，系統間的相互影響也更為密切。為了保障各個系統的正常運行，同時充分發揮IEGS電力-天然氣的協同優勢，需要深入分析IEGS的安全經濟運行問題[3]。最優能量流(optimal energy flow，OEF)能夠反映IEGS相互作用機理，以及協同優化電力潮流和天然氣流，是研究IEGS安全經濟運行的基礎[4]。為此，有必要研究IEGS的OEF計算問題。目前，已有大量文獻針對OEF計算方法展開研究。根據計算框架的不同，最優能量流計算方法可劃分為統一式與分解式兩類[5]。

統一式最優能量流計算方法將綜合能源系統作為整體，通過構建統一的優化模型進行求解分析，得到綜合能源系統的最優能量流結果。在統一式OEF計算方面，文獻[6]提出了綜合能源系統的統一能路理論，基于一維流動過程的物理方程，推導了氣網的等值氣路模型，能夠實現IEGS能量流的聯合求解；文獻[7-8]基于內點法對統一式的IEGS能量流模型進行計算；文獻[9]采用牛頓法構建綜合能源網絡的統一雅克比矩陣求解IEGS統一式的能量流模型。

分解式最優能量流計算方法將綜合能源系統中各個子系統視作獨立個體，通過分別求解各個子系統的優化問題，并進行子系統間信息的交互，進而得到綜合能源系統的最優能量流。在分解式OEF計算方面，文獻[10]提出了多能源網絡的外端口等值方法，能在保護各能源系統隱私的前提下，解決多能源網絡聯合分析的難題，但模型較為復雜，難以應用于最優能量流計算；文獻[11-12]采用交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers，ADMM)對綜合能源系統進行分解式優化，并驗證了基于ADMM的分解式計算方法結果的精確性；文獻[13]基于廣義Benders分解將最優電-氣能量流問題分解為求解電力網絡與天然氣網絡的子問題，通過交換少量信息便可實現兩者協同優化；文獻[14]基于增廣拉格朗日松弛對IEGS進行分解式最優能量流計算。

上述研究已對綜合能源系統的OEF問題進行了深入的探討，但仍存在一定的不足。統一式OEF計算方法對綜合能源系統整體進行建模與求解，其結果準確地反映了綜合能源系統的最優能量流。然而，統一式OEF計算方法的模型維數較高，隨著系統規模的不斷擴大，其求解將變得困難；并且，統一式OEF計算方法需要各個子系統的全部信息，而各個子系統往往分屬不同運營主體，由于信息的隱私性問題，該方法難以施行。因此，統一式OEF計算方法難以得到實際應用，而往往將其求解結果用于驗證其他求解方法的正確性。相比之下，分解式OEF計算方法分別求解各個子系統的優化問題，模型維數較低，問題易于求解，且保護了子系統的隱私信息。但是，分解式OEF計算方法往往需要多次信息交互，反復求解子優化問題，計算效率較低，且算法的收斂性受系統耦合關系等因素的影響，容易出現難以收斂的問題。

為此，本文提出一種基于參數線性規劃的電-氣綜合能源系統的分解式最優能量流計算方法，可通過單次的信息交互實現對電-氣綜合能源系統最優能量流問題的準確求解，有效減少信息的交互次數，并能夠保護系統中各個主體的內部隱私。首先，建立電-氣綜合能源系統最優能量流模型，具體包括：計及網絡有功損耗的配電網絡最優直流潮流模型，基于二階錐松弛的天然氣網絡最優潮流模型以及考慮燃氣發電機的能量耦合模型。其次，基于參數線性規劃理論，進行配電網絡最優直流潮流模型等效，并提出電-氣綜合能源系統的分解式最優能量流求解方法及相應求解流程。最后，通過算例分析驗證所提方法的有效性。

1 電-氣綜合能源系統模型

本文綜合能源系統由電力網絡與天然氣網絡耦合構成，其中涉及的電力網絡與天然氣網絡均為配網級別。系統的最優能量流模型包括電力網絡最優潮流模型、天然氣網絡最優潮流模型以及系統間耦合約束三部分。

1.1 電力網絡最優潮流模型

電力網絡的最優潮流模型以系統購電成本最小為目標，約束條件包括系統有功功率平衡約束、線路最大傳輸容量約束、電源出力上下限約束以及新能源出力上限約束，決策變量為電源出力、新能源機組出力以及耦合節點功率。電力網絡最優潮流模型中考慮了分布式新能源發電接入，并計及網絡有功損耗[15]，模型為：

(1)

(2)

有功網損采用基態潮流附近的一階泰勒展開式表示：

(3)

式中：Li為節點i的有功網損微增率因子；Plb為有功網損基值。

本文建立的計及網絡損耗的配電網絡直流潮流模型，是一個線性規劃(linear programming，LP)模型。在以經濟性為目標的最優潮流求解時，潮流計算可進行適當簡化，該模型計及了配電網絡的有功損耗，求解誤差較小，可以滿足要求。

1.2 天然氣網絡最優潮流模型

天然氣網絡最優潮流模型以系統購氣成本最小為目標，約束條件包括管道氣壓氣流約束、節點氣流量平衡約束、氣源產氣上下限約束、管道氣流傳輸容量約束、節點氣壓上下限約束，決策變量為氣源產氣量以及各節點氣壓參數。本文研究的對象為配氣網絡，由于其傳輸距離較短，故可忽略天然氣傳輸的慢慣性，現有針對IEGS經濟性的研究多采用天然氣系統穩態模型[16]，因此模型未考慮天然氣網絡的動態過程。天然氣網絡的最優潮流模型為[17]：

(4)

(5)

天然氣網絡中，管道氣壓氣流約束含平方項，為非凸非線性約束。為此，需要對天然氣網絡的管道特性Weymouth方程進行二階錐松弛。首先，對管道p引入0-1變量σp，將此約束轉化為：

(6)

(7)

(8)

(9)

結合式(8)，對式(6)進行二階錐松弛，可得：

(10)

整理成二階錐約束標準形式，即：

(11)

綜上，本文建立的天然氣系統最優潮流模型為混合整數二階錐規劃(mixed integer second-order cone programming，MI-SOCP)問題。

1.3 電-氣綜合能源系統耦合關系模型

電力網絡與天然氣網絡間通過燃氣發電機進行耦合連接，燃氣發電機模型為：

(12)

假定燃氣發電機k連接于天然氣網絡節點j與電力網絡節點i，則有：

(13)

2 基于參數線性規劃的OEF求解方法

2.1 基于參數線性規劃的電力網絡等效

在參數線性規劃研究模型中，參數連續變化時最優解的變化規律，是靈敏度分析的一種形式。對于式(1)、(2)所示的線性規劃模型，引入非負松弛變量將其中的不等式約束轉化為等式約束[18]，并將耦合功率項及常數項整理至約束右側，式(2)可以轉化為：

(14)

將耦合功率向量PC視作優化問題的可變參數向量，令向量x代表決策變量PG、PR與松弛變量的整體，式(1)及(14)可以表達為如下的標準參數線性規劃模型形式：

minf(PC)=cx

(15)

(16)

式中：f(·)為優化問題的最優解；c為成本系數向量；A為決策變量系數矩陣；b為常數向量；F為常數矩陣。對于包含nG個電源、nR個新能源發電機組、nC個電氣耦合節點以及nL條線路的系統，共有w=1+2nL+2nG+nR個等式約束條件，m=nC個參數。相應的PC為m×1維向量，F為w×m階矩陣。

對于式(15)、(16)所示的參數線性規劃問題，在PC的可行范圍D內，f在D上為逐片線性的凸函數[19]。對于第z片區域，f與PC存在如下關系：

(17)

式中：kz,1,kz,2,…,kz,m，lz，tz,1,1,tz,1,2,…,tz,u,m，rz,1,rz,2,…,rz,u為常數系數；下標u為第z片區域Di所對應的邊界個數。

據此，可以通過求取電力系統潮流最優解f與耦合功率PC的關系，得到反映電氣耦合功率與電力系統優化結果的關聯函數。假設電力系統優化問題中，電氣耦合節點個數為m，f與PC線性關系區域片數為n，各片區域邊界數分別為u1,u2,…,un。基于式(17)，該函數可以表示為：

(18)

(19)

式中：Kz為1×m維常數向量；Lz為常數；Tz為uz×m階常數矩陣；Rz為uz×1維常數向量。電-氣耦合功率與電力系統最優解的關系如圖1所示。

圖1 電-氣耦合功率與最優解關系Fig.1 Relationship between electricity-gas coupling power and optimal solution

根據上述方法，考慮電氣耦合的電力系統最優潮流問題，可以等效為電力系統潮流最優解與耦合節點功率的關聯函數，且該函數中不再包含電力系統各個節點負荷、發電機出力等詳細信息，適合系統之間交互的隱私性要求。在對電力系統進行等效后，將n個K、L、T、R信息傳遞至天然氣系統。天然氣系統即可根據相關信息進行IEGS的聯合優化，求解OEF優化問題。

2.2 單次信息交互的OEF優化方法

在對電力網絡最優潮流模型進行等效后，得到了電氣耦合功率與電力系統潮流最優解的一一對應關系。電力系統將上述關系傳遞至天然氣系統側，而后天然氣系統進行IEGS的聯合優化，即可得到IEGS的OEF結果。

在獲得電力系統最優潮流信息后，天然氣系統的最優潮流模型進行如下調整：

1)天然氣系統目標函數：天然氣系統目標函數以IEGS整體成本最小為目標，即將電力系統潮流最優解信息補充至式(4)的目標函數中。

(20)

2)天然氣系統約束條件：天然氣系統優化模型需要補充電力系統潮流最優解與耦合功率關系約束，同時還需要考慮電氣耦合關系約束。因此，式(5)需要補充約束條件式(12)、式(13)與式(17)。其中，式(17)可以轉化為式(21)形式的混合整數線性約束，便于求解。

(21)

式中：M為近似無窮大的正數；z=1,2,…,n；δz為0-1變量，且其中僅有一項為1，當δz=1時，第z個約束條件與相應的f與PC關系成立，其他約束條件被松弛。

在進行上述調整后，天然氣系統優化目標即IEGS的聯合優化目標，天然氣系統優化結果也即IEGS聯合優化時天然氣系統側的OEF優化結果。通過天然氣系統優化得到耦合節點功率PC，將其傳遞至電力系統側。電力系統將PC代入式(1)、(2)所示的最優潮流模型中優化求解，也就得到了IEGS聯合優化時在電力系統側的OEF優化結果。基于參數線性規劃的電-氣綜合能源系統分解式最優能量流計算方法流程如圖2所示。

圖2 基于參數線性規劃的IEGS分解式OEF計算方法流程Fig.2 Process of IEGS distributed OEF calculation method based on parametric linear programming

由IEGS的OEF計算流程可知，求解過程中僅涉及到“電力系統→天然氣系統→電力系統”的一次信息交互，且交互內容不包含電力系統與天然氣系統的隱私信息。因此，與傳統反復多次信息交互的分解式求解方法相比，本文所提IEGS的OEF求解方法在實際應用中具有優勢。

本文提出的電-氣綜合能源系統最優能量流計算模型中，電力網絡最優潮流模型為線性規劃問題，天然氣網絡最優潮流為混合整數二階錐規劃問題，采用MATLAB軟件的YALMIP工具箱調用CPLEX求解器進行求解。

3 算例分析

通過IEEE 33節點配電網[20]、IEEE 14節點配電網[21]與文獻[16]修改的Belgium 20節點配氣網耦合而成的電-氣綜合能源系統進行算例仿真分析，驗證本文所提方法的有效性。天然氣網絡與電力網絡之間通過燃氣發電機進行耦合，仿真系統拓撲如圖3所示。

圖3 算例系統拓撲Fig.3 Example system topology

圖3中，T1、T2為電網1與電網2各自連接的上級電網；DG1、DG2、DG3、DG4、DG5為分布式新能源發電機組；W1、W2為配氣網氣源；GT1、GT2與GT3為燃氣發電機。氣源出力范圍、上級電網功率范圍、燃氣發電機出力范圍、分布式新能源預測出力以及相關成本參數設置如表1所示。

表1 算例參數Table 1 The example parameter

本文設置如下3種場景：

場景1：電網1與氣網耦合；

場景2：電網2與氣網耦合；

場景3：電網1、電網2同時與氣網耦合。

通過本文提出的基于參數線性規劃的OEF求解方法(以下簡稱本文方法)、統一式OEF求解方法(以下簡稱統一法)以及基于ADMM的傳統分解式OEF求解方法(以下簡稱ADMM法)對IEGS的OEF進行求解。其中，統一法可用于驗證本文方法與ADMM法計算結果的正確性。

3.1 電力系統模型網損誤差分析

本文電力系統模型采用了計及網絡損耗的直流潮流模型，模型的計算誤差主要在于網絡損耗。為驗證所提方法的可行性，通過與交流潮流網損結果進行對比，分析本文模型的精度范圍。此處，定義網損誤差為交流潮流網損結果與本文模型計算結果的差值，并且引入最大誤差與最大誤差率2個評價指標對誤差精度進行評價。其中，最大誤差指網損誤差絕對值的最大值，最大誤差率指網損誤差絕對值占交流潮流網損百分比的最大值。在耦合功率可變范圍內，基于一階泰勒展開式近似的網損計算方法的最大誤差與最大誤差率指標，結果如表2所示。

表2 基于一階泰勒展開式近似的網損計算方法誤差指標Table 2 Error index of active-power loss calculation based on the first-order Taylor expansion approximation

由表2可知，與精確的交流潮流模型相比，本文模型計算的電網1與電網2的有功網絡損耗最大誤差率分別為2.218 0%與4.402 8%，均小于5%，該結果滿足工程要求[15]。因此，該模型保證了一定的計算準確性，能滿足本文IEGS的OEF計算要求。

3.2 耦合節點功率與電力網絡最優解關系

基于IEEE 33節點配電網與IEEE 14節點配電網的最優潮流模型與耦合節點出力范圍，可以求取兩者的潮流最優解與耦合節點功率關聯函數，相應的函數信息分別為：

(22)

(23)

(24)

(25)

圖4 IEEE 33節點電網潮流最優解與耦合功率關系Fig.4 Relationship between optimal power flow solution and coupling power in IEEE 33-node distribution network

圖5 IEEE 14節點電網潮流最優解與耦合功率關系Fig.5 Relationship between optimal power flow solution and coupling power in IEEE 14-node distribution network

為了直觀地展示電-氣耦合功率與電力潮流最優解的關系，算例中設置了含有單個與2個耦合節點的配電網絡進行驗證分析。但是，值得說明的是，本文方法適用于存在任意個數耦合節點的配電網絡等效問題。

通過上述分析，本文提出的基于參數線性規劃理論所獲取的電-氣耦合功率與電力潮流最優解關聯函數，合理地表示了調節耦合節點功率時電力網絡成本變化情況。該信息可傳遞至天然氣網絡，供其進行IEGS的聯合優化，且傳遞信息中已不再包含電力網絡的節點負荷、發電機出力以及線路傳輸功率等隱私信息，適用于IEGS的OEF分解式計算。

3.3 不同方法求解效果對比

在各個場景下，不同OEF求解方法的優化結果對比如表3所示。由表3可知，本文所提的基于參數線性規劃的OEF求解方法與統一式OEF求解算法的優化結果基本一致，相對誤差在1.15×10-8以內。因此，可以說明本文所提方法計算結果的準確性。相比之下，基于ADMM算法的傳統分解式OEF求解方法的計算結果存在部分誤差。這是由于迭代式的優化方法只能逐漸逼近最優解，當其小于一定的誤差范圍認為其已收斂，所以結果與統一式OEF求解方法存在一定的誤差。

表3 各場景下的優化結果Table 3 Optimization results in different scenarios

基于場景3，對優化結果進行進一步分析。圖6為場景3下不同求解方法的電源、氣源與耦合節點功率出力情況。由圖6可知，在場景3條件下，3種求解方法的得到的氣源W1/W2氣流量、上級電網T1/T2輸入電功率、分布式電源DG1/DG2/DG3/DG4/DG5出力以及耦合燃氣發電機GT1/GT2/GT3出力結果基本一致，進一步驗證了本文所提方法計算結果的準確性。場景3中，氣源W1成本較低，其氣流量達到了上限。在此條件下，基于式(22)—(25)可知，GT1與GT3出力位于邊界處的1.277 0 kW與9.978 0 kW，繼續增加其出力對電力系統經濟性的提升較小，而氣網成本會因此提高；GT2并未取得邊界點值，這是受氣源W1出力的限制，由于在電力系統成本下降較快區域，GT1、GT2、GT3所對應的K1分別為-120.23、-120.08、-121.67，優化過程中將優先滿足GT3，其次是GT1，最后是GT2。因此，優化所得結果是合理的。

圖6 場景3下不同方法的電源/氣源/耦合設備出力Fig.6 Outputs of electric power source,gas source and coupling device by different solutions in scenario 3

本文所提方法與傳統分解式OEF求解方法相比的突出優勢為IEGS子系統間的信息交互次數減少。為驗證該特點，算例對比了各個場景下不同方法求解所需的計算時間與信息交互次數，如表4所示。統一式OEF求解方法隨著場景復雜程度提高，計算時間也相對更長。根據本文方法的求解流程，該方法僅需“電力系統→天然氣系統→電力系統”單次的信息交互，即可實現OEF問題的求解，因此交互次數為1。對比表4結果可知，ADMM法需要多次信息交互才能收斂得到優化結果，由此也造成了相應的計算時間更長，相比之下各場景所用時間分別為本文方法的13、24及98倍。并且，隨著場景復雜程度的提高，ADMM法的信息交互次數與計算時間會顯著增加。結合上文分析可以說明，本文所提方法在保證求解準確性的同時，有效減少了求解過程中系統間所需的信息交互次數，因此可以更加快速地計算IEGS的OEF。

表4 不同求解方法計算效果對比Table 4 Comparison of information interaction times of different solution methods

綜上所述，本文所提的OEF求解方法與統一式OEF求解方法的求解結果基本一致，并且相較于傳統基于ADMM的分解式OEF求解方法，通過單次信息交互實現OEF的求解具有突出優勢。

4 結 論

本文提出了一種電-氣綜合能源系統最優能量流計算方法。通過理論分析與算例驗證，得出如下結論：

1)基于參數線性規劃理論，根據配電網絡最優直流潮流模型，推導電-氣耦合功率與潮流最優解的關聯函數，該函數能夠準確反映調節耦合功率時電力網絡成本的變化情況。

2)采用本文所提方法進行OEF求解時，電、氣系統間信息交互不包含用戶隱私，并且在算例中，求解結果與統一式OEF優化方法的相對誤差在1.15×10-8以內，驗證了本文方法的有效性。

3)本文方法僅需單次信息交互即可實現電-氣綜合能源系統的OEF求解。與基于ADMM的傳統分解式OEF優化方法相比，本文方法無須多輪迭代計算，無收斂性問題，算例顯示該方法的計算效率提升10～90倍，更具優勢。