基于U模型的滑模增強控制方法

李文清，王志強

(航空工業西安飛機工業集團股份有限公司，陜西 西安 710089)

系統建模在基于模型的控制系統設計中發揮著至關重要的作用[1-2]。通常，實用新型和控制系統有兩個主要的重要考慮因素：① 面向控制性能，增強控制系統的準確性和魯棒性；② 面向控制結構，簡化控制系統的設計步驟和減少計算量。

對于第一個關注點，在實際情況下，即使在學術研究中，也很少有模型能夠準確地代表實際被控對象，因此基于模型的控制系統設計應考慮模型內部不確定性和外部干擾(例如系統擾動)[3]。滑?？刂芠4]已經被證明可以有效地用于處理可變結構系統(即涉及不連續控制動作的控制系統)中的不確定性。滑膜控制方法的優勢在于：首先可以通過選擇切換函數來調整系統的動態性能[4]；其次，即使系統存在外部干擾和被控對象模型內部不確定的參數項，滑?？刂品椒ㄒ部梢员３直豢叵到y的穩定性并具有很強的魯棒性。如今，滑模控制技術已經在各種領域中發展，例如積分滑模控制方法[5]、二階滑?？刂品椒╗6]、超扭曲滑?？刂品椒╗7]和自適應滑模控制方法[8-9]。

對于第二個問題，本研究中使用的關鍵思想是基于U模型的控制方法，簡稱U控制方法。U模型是一種面向控制的模型，它代表一類平滑系統，該系統使用時變參數和函數吸收系統輸入u及其相對高階導數項以外的所有其他項。通常，可以將這種新穎的U模型轉換并表達為單層和多層模型，即線性和非線性系統的多項式模型和狀態空間模型。朱全民等[10]首先提出了U型控制器的基本設計程序，通過使用牛頓-拉夫遜算法求解控制器輸出函數的根來直接獲得所需控制器輸出u。文獻[10]定義了U模型的多項式表達形式，并通過極點配置方法介紹了U控制系統的框架和設計步驟，還提供了從一般光滑線性/非線性系統到基于U模型的表達式的轉換方法。之后，U模型在當前控制項中擴展NARMAX(Nonlinear Auto-Regressive Moving Average with Exogenous Inputs)函數作為冪級數，從而允許將簡單的多項式根求解過程與控制器綜合。通常，U控制方法可以避免非線性系統建模過程中的線性化處理，從而優化了控制系統的設計步驟，減少了計算量。但是，基于U模型的動態反演和控制性能對被控對象模型內部不確定性以及系統控制擾動非常敏感，在這種情況下，降低U控制方法對不確定性的敏感度、提高其魯棒性成為當前研究的熱點。

近十年中，學者們對基于U模型的控制方法進行了大量研究，提出了基于U模型的極點配置控制系統設計方法[11]，用于控制復雜非線性動態系統的自適應U模型控制方法[12]和基于U模型的神經網絡增強控制方法[13]。但是，大多數U控制方法都要求精確的被控對象建模和完全匹配的可用系統。因此，基于U模型的魯棒控制方法在研究中是非常必要且具有挑戰性的。文獻[14]和文獻[15]使用內?？刂平Y構(Internal Model Control,IMC)增強U控制的魯棒性并對無人水下航行器進行控制且取得了良好的控制結果。但是因為精確非線性模型求逆困難，IMC的結構限制了這類控制方法應對強非線性系統的能力。同時，連續時間U控制系統的設計也很少有人參與[16]，這是因為受控系統的輸入和輸出的高階導數項在連續時間條件下的動態反演很難解決。

綜上所述，滑?？刂葡到y魯棒性能優越，但其設計結構復雜且運算量大，當滑?？刂葡到y需要參數調整時，需要重新設計滑模面或切換函數；同時現存的結合U模型的控制系統受限于內?？刂平Y構而無法應對強非線性。因此，本研究面對這兩個挑戰，嘗試結合U模型面向控制的特點和滑膜控制方法的強魯棒性，以開發出一種新的基于U模型的滑(Sliding Mode)模增強控制方法(以下簡稱U_SM控制)，旨在解決一類控制對象可逆且控制系統存在建模誤差和系統干擾的控制問題。

筆者基于U模型定義和U控制的實現方法，結合滑膜技術提出了一種基于U模型的滑模增強(U_SM)控制方法。該控制方法同時包含面向控制的模型結構和針對不完美匹配控制對象的強魯棒性，并在簡化的直升機俯仰角仿真控制案例中進行驗證，其結果證明了該方法可對開發的控制系統進行基礎測試。

1 U模型和U控制

1.1 U模型的多項式結構

對于一個由(y,u,λ)組成的單輸入單輸出U多項式模型，定義如下：

(1)

式中，y(M)為控制平臺輸出y的M階導數；u(N)為控制器輸出u的N階導數。λj(YM-1,UN-1,Θ)∈R+是時變參數，吸收除輸入(u(N))j之外的其他項，如：YM-1=[y(m-1),y(m-2),…,y]∈RM,UN-1=[u(n-1),u(n-2),…,u]∈RN和系數Θ。

備注1：U多項式是經典多項式的替代表達，具有時變參數和面向控制的結構。

以經典的NARMAX多項式模型為例，其U模型實現過程如下：

(2)

其基于U模型的相對表達式為

(3)

通過觀察式(2)和式(3)，很明顯U多項式模型是經典多項式模型的直接實現。需要注意的是，U多項式模型在模型屬性上與其對應的經典多項式模型相同，但是對于控制系統設計，特別是復雜的非線性系統，U多項式模型的結構和表達方式較為簡潔[12]。

備注2：應用吸收規則[16]，可以將經典多項式模型轉換為U多項式模型，即用時變參數λj吸收所有與系統輸入u相關的函數關聯項。

備注3：在U多項式模型式(1)中，很明顯當階數J=1時，式(1)可以轉化為U多項式模型的線性結構：

y(M)=λ0+λ1(u(N)),M≥N

(4)

1.2 擴展的U多項式模型

擴展的U多項式模型也稱U-Rational(簡稱U_R)模型，可以定義為兩個U多項式模型的比值，其結構可表示為

(5)

式中，fnj和fdj分別為式(5)分子和分母項中吸收控制器輸出u(N)的平滑函數；λnj和λdj則分別為吸收式(5)分子和分母中除控制器輸出u(N)以外的所有其他項?？紤]一個簡單的復雜多項式模型以顯示其從經典模型到U模型的轉換過程：

(6)

因此，其U多項式拓展模型為

(7)

其中：

(8)

1.3 U狀態空間模型

U狀態空間(State Space)模型，簡稱U_SS，定義如下：

(9)

式中，λ**為U模型的時變參數，可以吸收除了控制器輸出u以外的所有其他項；而f**為一個基于u的函數。

備注4：由于U狀態空間模型(式(9))中的每一行都是一個U多項式模型(式(1))，所以U狀態空間模型本質上是多層的U多項式模型。

考慮一個簡單的非線性狀態空間模型：

(10)

根據式(9)中的吸收規則，將非線性狀態空間系統(式(10))轉換為U狀態空間模型：

(11)

1.4 基于U模型的控制系統框架[16]

‖GP(x1)-GP(x2)‖≤γ1GP‖x1-x2‖

?x1,x2∈Rn

(12)

式中，γ1和γ2為Lipschitz系數。

圖1 U控制系統設計框架

(13)

在這種情況下，系統輸出y將直接受被控對象建模比率k的影響。當閉環控制系統中Gc1很大時，系統擾動d的影響將被抑制。但是，如果系統存在高頻干擾，則不僅會影響控制系統的性能，還會由于共振而損壞控制系統。綜上所述，被控對象的建模不準確和系統擾動都將給U控制系統設計帶來巨大的困難和挑戰。

2 U_SM控制系統的框架和設計步驟

在第1節中，由于被控對象的建模不準確和系統擾動這兩個主要問題極大地降低了U控制系統的控制性能，因此本研究提出了一種新的滑模增強控制方法，即U_SM控制方法，該方法將U控制和滑膜控制相結合以增強U控制的魯棒性。U_SM控制系統框架如圖2所示。

圖2 U_SM控制系統框架

根據1.4節中的U控制系統設計框架，用實際被控對象模型GM替換U控制系統中的理想被控對象模型GP。因此，系統(式(13))可以轉換為

(14)

(15)

(3)設計不變控制器Gc1。

圖3 簡化的U_SM控制系統

Σ=(Gc1,1)

(16)

(17)

考慮一個單輸入單輸出連續狀態空間模型如下：

(18)

式中，u,y∈R分別為被控對象的輸入和輸出；X∈Rn表示所有的狀態變量；F∈R引入了狀態變量和被控對象輸入之間的關系；H∈R是將所有狀態變量映射到被控對象輸出的平滑映射。將此狀態空間模型(式(18))展開為多項式結構：

(19)

3.1 理想逆變器的設計

忽略狀態空間模型(式(19))中的控制干擾d，并將其轉換為多層U模型表達式(12)：

(20)

對式(20)中的y進行微分運算，得到：

(21)

y(m)=λ1(x1,x2,…,xn-1,xn)+λ2(x1,x2,…,xn-1,xn)ui

(22)

式中，λi為吸收所有狀態變量的時變參數。顯然，式(22)是通用U模型多項式表達式(式(1))的簡化形式。因此，理想的U模型動態逆變器輸出ui為

(23)

3.2 補償逆變器的設計

(24)

σ=c1e1+c2e2+…+cm-1em-1+em

(25)

根據式(25)，表面滑動函數的導數為

(26)

式中，ci∈R為指定的表面滑動函數的帶寬系數[4]。

(27)

(28)

(29)

在這種情況下，式(28)可以展開為

(30)

(31)

(32)

根據式(23)和U_SM控制系統框架(式(14))，除不變控制器Gc1外，U_SM控制器輸出應包含兩部分：理想逆變器輸出ui和補償逆變器輸出us，且us=ueq+usw。然后將U_SM控制器輸出us帶入式(30)：

(33)

≤-ρ|σ|-kσ2≤0

(34)

4 實驗仿真測試

在本節中，選擇簡化的二自由度直升機俯仰動力學模型來測試所提出的U_SM控制方法。使用Matlab/Simulink展示仿真結果。

4.1 簡化的直升機俯仰動力模型

實驗直升機實物模型如圖4所示，簡化的二自由度直升機模型[18]示意圖如圖5所示。因建模仿真計算過程只使用點積運算，因此將所涉及變量簡化為標量進行處理。簡化后的直升機俯仰動力學非線性模型可以由以下方程式描述：

圖4 直升機實物圖

圖5 直升機的簡化俯仰模型[18]

(35)

(36)

式中，x1為俯仰角θ；x2為俯仰角速度ω；Iyy為繞y軸的二階矩陣；mhel為直升機的質量；lcgx和lcgz分別為與機身水平和垂直的從旋轉關節B到質量中心點(圖5中的CG(Center of Gravity))的距離；FvM為俯仰阻尼；u為直升機主葉片繞y軸施加的控制扭矩；g為重力加速度。

4.2 設計不變控制器Gc1

系統(式(36))被設計為一個臨界阻尼系統，它可以使被控對象盡可能快地達到平衡狀態(期望的輸出)而不會產生超調。參照第2節中提出的U_SM控制系統設計步驟，本研究選擇系統阻尼率ζ=1和固有頻率ωn=2。因此，所需的閉環系統增益為

(37)

參考1.4節和2節，通過計算閉環傳遞函數(式(37))的逆函數來確定不變控制器Gc1：

(38)

4.3 設計理想逆變器

(39)

因此，原始系統(39)可以轉換為U模型表達式：

(40)

(41)

(42)

4.4 設計補償逆變器

根據3.2節，誤差方程設計為

(43)

其相應的滑動函數定義[4]為

σ=ce1+e2

(44)

根據式(43)和式(44)，求得滑動函數的導數：

(45)

將式(40)帶入式(45)，可以得到：

(46)

(47)

usw=-(εsgn(σ)+kσ)

(48)

(49)

為避免系統震抖[19]，如果系統滑入邊界ξ∈R+，則控制器輸出不應存在切換函數。定義開關函數為

(50)

(51)

4.5 測試完美匹配的直升機模型

基于文獻[18]，直升機實驗建模參數如表1所示。

表1 直升機特性的俯仰模型

對于U模型(式(40))，很明顯，基于U模型的時變參數為

(52)

應用U_SM控制方法設計的理想直升機模型控制系統框架如圖6所示；圖7顯示了基于U控制和U_SM控制方法控制的理想簡化直升機模型的比較結果；圖8顯示了補償逆變器的輸出。

圖6 理想直升機模型的U_SM控制系統框架

圖7 完全匹配的簡化直升機模型的控制結果比較

圖8 理想控制模型下U_SM補償逆變器輸出

4.6 魯棒性測試和比較

4.6.1 控制具有內部不確定參數的簡化直升機模型

在實際的控制系統操作中，閉環系統的輸出可能無法準確測量，并且可能與模型不完全匹配。因此，為了適應這種不準確性，系統(36)更改為

(53)

式中，Φ為系統不確定系數，其變化范圍為0.5～1，其變化頻率為1 Hz。圖9顯示了其變化曲線。

圖9 系統不確定系數變化曲線

備注5：Φ在其邊界內隨機變化。因為其變化范圍為0.5～1，所以該不確定系統與完全匹配系統的偏差為0%～50%。為了避免震抖，ξ應該設計的比之前大。令ξ=0.1，則此時的開關函數為

(54)

應用U_SM控制方法設計的具有系統不確定性的直升機模型控制系統框架如圖10所示；圖11顯示了使用U控制方法和U_SM控制方法對帶有內部不確定參數的簡化直升機模型控制的比較結果；圖12顯示了補償逆變器的輸出。

圖10 帶有內部不確定參數的直升機模型U_SM控制系統框架

圖11 帶有內部不確定參數的直升機模型控制結果比較

圖12 實際控制模型下U_SM補償逆變器輸出

4.6.2 控制具有系統擾動的不確定直升機模型

考慮一個更復雜和實際的控制情況：在實際建模過程中不僅存在系統內部不確定性，并且控制器與受控平臺之間的接口處存在系統噪聲。因此，為了適應這種誤差，系統(53)改進為

(55)

式中，d為系統擾動，其變化范圍為0～0.3，變化頻率為10 Hz。與系統(53)一樣，Φ的變化范圍為0.5～1，變化頻率為1 Hz。圖13顯示了系統擾動的變化曲線。

圖13 系統控制擾動的變化曲線

備注6：Φ和d在其邊界內隨機變化。在該系統中，基于圖7(d)所示的完全匹配情況下的U控制器輸出，很明顯，當控制器輸出較小時，系統擾動將極大地影響系統的穩定性和其控制性能。系統的邊界系數設計與系統(55)相同，令ξ=0.1，則開關函數為

(56)

圖14顯示了控制具有內部不確定參數和系統擾動的直升機模型的U_SM控制系統設計框架；圖15顯示了使用U控制方法和U_SM控制方法對其控制的比較結果；圖16顯示了補償逆變器輸出。

圖14 帶有系統擾動和內部不確定參數的直升機模型U_SM控制系統框架

圖15 帶有系統擾動和內部不確定參數的直升機模型控制結果比較

圖16 U_SM補償逆變器輸出

4.7 討論

對于控制完全匹配的直升機模型，從圖7(a)和圖7(b)中可以看出，兩種方法都可以使受控系統收斂并跟蹤所需的參考輸出信號。另外，從圖7(c)和圖7(d)中可以看出，在模型完全匹配的情況下，這兩個系統的控制器輸出也相同，即補償逆變器輸出為0，這同樣可由圖8看出并得到證明。補償逆變器輸出為零意味著補償逆變器僅在系統存在干擾時工作，如果被控對象建模準確且控制系統中沒有干擾，則U_SM控制方法將具有與U控制方法相同的受控能力和性能。

從圖11(a)和圖11(b)可以看出，為了控制存在內部不確定參數的直升機模型，在跟蹤能力上，U_SM控制方法的性能優于U控制方法。從圖7(d)和圖11(d)可以看出，在完全匹配和不匹配的情況下U控制器的輸出幾乎相同，但是由于被控對象的差異，不匹配直升機模型的控制性能會下降。

關于參數調整，在不變控制器Gc1中，不同的阻尼比ξ和固有頻率ωn可以令控制系統實現不同的追蹤性能；系統的魯棒性則主要由基于滑模技術的補償逆變器決定，即式(32)中的ε，其中ε與系統魯棒性和控制器輸出震抖幅度均成正比關系。

5 結束語

介紹了一種新的滑模增強U模型控制方法(U_SM控制)。在信號跟蹤方面，該方法在對于不確定模型和存在系統擾動的控制中展示出強大的穩定能力?；Ｔ鰪奤控制方法的總體方案基于U控制結構，通過結合滑模控制與U控制引入動態補償逆變器以增強U控制的魯棒性。這項工作能夠將滑?？刂品椒ǖ膹婔敯粜耘cU控制的模型獨立性設計理念相結合，以提供全面的簡單的不確定擾動系統控制方案。

對于未來的研究工作，首先，應該對所提出的U_SM控制方法進行進一步的分析與測試，以找出其控制優勢和劣勢。同時，本研究中的U_SM控制方法僅面對控制單輸入單輸出系統，對于多輸入多輸出(MIMO)系統的研究還不足。尤其對于欠驅動和過驅動系統，逆變器的設計與實現存在明顯的困難與挑戰。