考慮非線性環境因素影響的結構損傷預警方法研究

鄭 泓，段忠東

（哈爾濱工業大學（深圳）土木與環境工程學院，廣東深圳518055）

引言

土木工程結構在服役期間容易受到環境腐蝕、車輛荷載、自然災害等的共同作用而出現功能退化，嚴重時甚至會導致結構失效而引發災難性事故。為保證人員生命和財產安全，有必要對在役結構的狀態進行監測［1-2］。近幾十年來，基于振動的結構損傷預警方法已成為結構健康監測（Structural Health Monitoring，SHM）的重要手段［3-5］。該方法認為損傷會改變結構動力參數（如模態頻率等），通過比較損傷前后這些參數的變化可以識別損傷。但是，環境因素（如溫度、車載等）的改變也會引起結構動力參數的變化［6-9］，這種變化往往會掩蓋結構的真實損傷。如果不消除損傷預警過程中環境因素的影響，SHM的可信度將大打折扣。為此，考慮環境影響的損傷預警方法開始受到學者的關注。

國內外學者對這一問題開展了大量研究。Sohn和Farrar［10］將 消 除 環 境 因 素 影 響 的 過 程 稱 為“數據標準化（Data Normalization）”。根據是否需要測量環境信息，該過程分為基于模型的方法和非模型的方法。前者需要借助采集的環境信息建立結構動力參數與環境變量之間相互關聯的數學模型，以量化環境因素對結構動力參數的影響。Peeters和De Roeck［6］采 用ARX模 型 建 立 了Z24橋 的 環 境 溫度與模態頻率的關系；文獻［11-12］先后采用支持向量回歸模型（Support Vector Regression，SVR）和人工神經網絡（Artificial Neural Network，ANN）量化溫度對香港汀九橋模態頻率的影響。Yang等［13］采用線性回歸方法建立潤揚長江大橋的模態頻率和溫度的回歸關系。基于模型的方法為理解環境因素如何影響結構物理特性的機理奠定了基礎，但實際工程中某些環境變量很難測量，準確建立環境因素和結構動力參數之間的關系難度很大。非模型的方法無需利用環境信息，而是將環境變量當作隱藏變量，通過機器學習的手段從大量樣本中找出環境因素影響的內在規律［14］。基于主成分分析（Principle Component Analysis，PCA）的方法［15］假定環境因素改變是結構動力參數出現變化的主要原因，采用PCA可以將環境因素以主成分的形式分離出來。林友新等［16］認為結構模態頻率受環境源和損傷源控制，通過盲源分離（Blind Source Separation，BSS）將二者分開后，可以根據損傷源信號是否發生突變識別損傷。刁延松和任紅［17］對結構響應數據建立自回歸模型，利用因子分析（Factor Analysis）去除溫度對自回歸系數的影響。Santos等［18-19］采用改進的高斯混合模型學習結構模態頻率在不同環境條件下的概率分布規律，利用聚類后的簇群表示不同環境因素的影響。邱雷等［20］利用GMM建立導波監測特征參數在環境因素影響下的概率模型，采用KL距離衡量基準GMM和待測GMM的遷移趨勢，從而實現損傷預警。

近幾年，基于協整理論的損傷預警方法得到了快速發展。Cross等［21-22］最早對結構健康監測中的非平穩數據進行協整研究，發現模態頻率存在的協整關系不會因為環境條件的改變而發生變化，但損傷的出現會破壞這種均衡關系，通過協整殘差可以對損傷進行定量。刁延松等［23］提出基于自回歸模型系數和協整的結構損傷預警方法，并通過海洋平臺振動臺模型驗證該方法的有效性。Huang等［24］將結構模態頻率之間的協整系數作為卡爾曼濾波的狀態向量，通過觀察協整關系的改變實現在線損傷預警。李秀娟等［25］將協整理論引入到壓電阻抗法中，對溫度變化影響下的阻抗譜峰值頻率進行協整，利用協整殘差的突變識別損傷。基于協整理論的方法從非平穩時間序列分析入手，利用協整關系消除環境因素引起的數據非平穩性，相比于傳統復雜的數據分析算法具有原理簡單、易于實現的特點。然而，實際工程中的協整關系往往具有一定的非線性［21］，采用傳統的線性協整理論往往無法描述真實的協整關系，因此需要發展基于非線性協整的損傷預警方法［26-27］。

本文結合高斯混合模型的聚類算法和協整理論進行非線性環境因素影響下的損傷預警研究。該方法以結構模態頻率作為協整變量，利用高斯混合模型對不同環境條件下的頻率樣本進行概率分布擬合，然后依據高斯后驗概率將這些樣本分為不同的簇群；根據分段線性化思想，如果簇群的數量（聚類數）取值合理，那么相同簇群里的樣本近似滿足線性協整關系，采用Johansen檢驗可求出各個簇群的協整方程；對于待測樣本，同樣采用高斯后驗概率確定其簇群歸屬，之后代入相應的協整方程求出協整殘差，通過X-bar控制圖［28］實現結構損傷預警。

1 高斯混合聚類

高斯混合模型是高斯模型的簡單擴展［29］。假設隨機向量x∈Rl×1服從多元高斯分布，其概率密度函數可由均值向量μ∈Rl×1和協方差矩陣Σ∈Rl×l決定，具體表達式為

由此可以定義GMM的概率密度函數為

式中m代表高斯分量的個數；αi代表第i個高斯分量的混合系數，滿足代表第i個高斯分量的概率密度函數，其均值向量和協方差矩陣分別為μi和Σi。

GMM聚類算法［29］采用多個高斯分布的線性組合作為數據分布的概率密度函數，通過概率模型對應的后驗概率確定簇群的劃分。如果樣本集X=[x1x2…xs]由式（2）所表示的GMM生成，引入新的隨機變量zj∈{1，2，…，m}代表生成樣本xj的高斯分量，顯然其先驗概率p(zj=i)=αi。根據貝葉斯定理，zj的后驗概率可以表示為

采用期望最大（Expectation Maximization，EM）算法求出GMM的未知參數后，可根據式（3）計算出后驗概率最大的高斯分量作為xj的歸屬。相比于傳統的K均值聚類，GMM聚類產生的簇群形狀可以是任意的橢圓，實際應用范圍更廣。

2 協整理論

協整最早用于解決非平穩時間序列建模時引起的虛假回歸問題。其核心思想是利用多個非平穩變量之間存在的長期均衡（協整）關系，通過線性組合的方式將非平穩性時間序列轉化為平穩時間序列。

如果非平穩時間序列yt(t=1，2，…)經過d次差分之后剛好成為平穩時間序列，則稱yt具有d階單整性，記為yt～I(d)。顯然，平穩時間序列的單整性為I(0)。假定隨機向量yt={y1t y2t…ylt}T的每個分量都具有1階單整性［30］，而且存在l維向量β={β1β2…βl}T使得yt的線性組合變為平穩時間序列，即βTyt～I(0)，那么yt存在協整關系，其協整方程表示為

式中β為協整向量；εt為協整殘差。

目前，協整性檢驗主要分為EG（Engle-Granger）兩步法和Johanson法。EG檢驗［31］是以殘差為基礎的檢驗方法，首先采用最小二乘法對變量進行回歸建模，再通過回歸殘差的平穩性檢驗確定協整關系是否成立。以隨機向量yt為例，選擇y1t作為因變量建立如下回歸方程

Johanson檢驗［31］是以向量誤差修正（Vector Error Correction，VEC）模型為基礎的多變量協整性檢驗方法。VEC模型不僅包含變量間的長期協整關系，而且考慮了變量短期波動對協整方程的影響。因此，Johanson法在協整向量的估計精度上要高于采用簡單回歸分析的EG法。仍以隨機向量yt建立如下VEC模型

式中Π∈Rl×l代表長期均衡矩陣，與變量協整關系相關；Ψi∈Rl×l代表短期動態矩陣，與變量瞬時波動特征相關；Δyt∈Rl×1為yt的差分項；p為滯后階次；ut為l維白噪聲向量。矩陣Π由修正矩陣A∈Rl×r（協整殘差對Δyt的修正速度）和協整向量矩陣B∈Rl×r（每一列代表一個協整向量）組成，其中r代表矩陣Π的秩（r=0說明yt不存在協整關系）。因為yt～I(1)，則Δyt，Δyt-i～I(0)，式（6）中的所有變量都具有平穩性，采用極大似然法估計協整向量矩陣B，然后選擇第一列協整向量（對應特征值最大、平穩性最強［31］）建立協整方程。

3 結構損傷預警方法

結構各階模態頻率受環境因素影響存在協整關系［30］，損傷的出現將破壞這種關系而導致協整殘差出現突變，通過比較損傷前后的協整殘差可以實現損傷預警。但是，環境因素影響往往存在一定的非線性，協整變量間難以保證較好的線性協整關系，導致基于線性協整理論的損傷預警方法精度不高。為解決上述問題，本文根據分段線性化思想，利用GMM聚類將非線性協整關系轉化為多個線性協整關系，彌補協整理論無法處理非線性環境因素影響的問題。

3.1 幾何解釋

為說明GMM聚類結合線性協整理論具有處理非線性環境因素影響的能力，以模態頻率f1和f2組成的二維樣本為例。如圖1所示，由于環境因素的影響，f1和f2存在明顯的雙線性關系［32］，線性協整理論無法準確描述二者的非線性協整關系。本文采用GMM聚類將這些頻率樣本分割成簇群1和簇群2。根據分段線性化思想，假定聚類后每個簇群都不存在非線性特征，采用Johanson法建立兩個線性協整方程近似原來的非線性協整關系。

圖1 非線性環境因素影響下模態頻率f1和f2的散點分布圖Fig.1 Scatter plot of modal frequencies f1 and f2 under nonlinear environmental effects

對于損傷樣本點A0，計算其后驗概率可確定其簇群歸屬：如果A0屬于簇群1的概率較大，那么利用協整方程1求出協整殘差（線段A0A1的長度）作為損傷指標；反之，如果A0屬于簇群2的概率較大，那么根據協整方程2求得協整殘差（線段A0A2的長度）作為損傷指標。

3.2 損傷預警流程

土木工程結構可能產生的損傷千差萬別，而且在服役期間的大部分時段都處于正常狀態，缺少或很難建立起完整的損傷樣本庫，無法通過樣本匹配的方式確定未知樣本是否屬于某類損傷樣本。最常用的方法是將損傷樣本看作離群點，采用X-bar控制圖［28］實現損傷預警。針對正態分布的樣本總體，X-bar控制圖根據小概率事件原理確定警戒線，對異常事件進行實時監測和報警。

假定結構無損傷（參考）樣本的協整殘差滿足正態分布，根據99%置信度確定控制上限（Upper Control Limit，UCL）和 控 制 下 限（Lower Control Limit，LCL）分別為

式中CL和σ分別代表協整殘差的均值和標準差。當待測樣本的協整殘差落在上下控制限范圍之外，則說明結構出現損傷。

因為GMM聚類得到的不同簇群可能存在不同的離散程度（即不同簇群的樣本標準差σ存在差異），如圖1中簇群2的樣本離散性大于簇群1，導致根據式（7）確定的控制上下限也會出現不同：采用簇群2對應的X-bar控制圖進行損傷預警，由于其控制上下限之間的區域較寬，某些歸屬于簇群1的損傷樣本可能會被誤認為無損樣本；反之，采用簇群1對應的X-bar控制圖會導致某些歸屬于簇群2的健康樣本被誤判為損傷樣本。因此，需要消除不同簇群的樣本離散性對X-bar控制圖的影響，最簡單的方法是對歸屬于簇群i的協整殘差樣本進行標準化處理，處理后的協整殘差可表示為

式中σ()i為簇群i所有參考樣本的協整殘差標準差。理論上，標準化后所有參考樣本的協整殘差都滿足標準正態分布N（0，1），可采用統一的X-bar控制圖對不同簇群的待測樣本進行監測。

綜上，基于GMM聚類和協整理論（簡寫為GMM-CI）的損傷預警方法分為以下4步。

Step 1：模態參數識別。采集無損傷結構在不同環境條件下的振動響應數據，并采用運行模態分析技術［33］（如隨機子空間法、頻域分解法等）識別結構模態頻率作為協整變量。

Step 2：GMM聚類。將Step 1得到的頻率樣本作為參考樣本，利用GMM聚類對其進行聚類分析。其中，聚類數m，可根據貝葉斯信息準則［34］（Bayesian Information Criterion，BIC）確定，其表達式為

式中L（m）為似然函數；n(m)為待估計參數個數；s為參考樣本數量。隨著聚類數k的增加，BIC值會先減少后增大，選擇BIC最小值對應的m值作為最佳聚類數。

Step 3：估計協整方程。對聚類后相同簇群的參考樣本進行Johansen檢驗，選擇最大特征值對應的協整向量建立如式（4）所示的協整方程，同時獲得該簇群的協整殘差樣本。

Step 4：建立X-bar控制圖。計算每個簇群協整殘差樣本的標準差σ()i，并按照式（8）對樣本進行標準化處理，之后根據式（7）確定X-bar控制圖的控制上下限。

Step 5：損傷預警。對于結構未知狀態的振動響應，首先按照Step 1得到其頻率樣本，然后通過式（3）計算GMM后驗概率確定簇群歸屬，之后利用對應的協整方程求出協整殘差，最后根據式（8）對協整殘差進行標準化處理，如果標準化后的協整殘差沒有落在X-bar控制圖上下限的范圍內，則說明結構出現損傷。

4 試驗數據驗證

為驗證上述方法的有效性，將其應用于瑞士Z24橋的現場試驗數據。該橋為預應力混凝土箱梁橋，主跨30 m，兩邊跨均為14 m，如圖2（a）所示。為研究環境因素以及損傷對結構動力參數的影響，從1997年11月11日 到1998年9月11日，Z24橋 安 裝的健康監測系統采集了結構加速度響應數據和包括環境溫濕度、風速、風向等在內的環境數據。布置的16個加速度傳感器在監測過程中只有8個（編號3，5，6，7，10，12，14，16）保持正常工作，如圖2（b）和（c）所示。結構漸進破壞試驗持續了一個月（1998年8月9日到1998年9月9日），設置的損傷［32］依次是橋墩沉降、混凝土脫落、墩臺滑坡、混凝土鉸接失效、錨頭失效和鋼筋破裂。

圖2 瑞士Z24橋及其加速度傳感器分布［32］Fig.2 Switzerland Z24 bridge and the layout of acceleration sensors［32］

Peeters和De Roeck［6］采 用 隨 機 子 空 間 法 識 別Z24橋的前4階模態頻率，其變化如圖3所示。因為環境因素的影響，即使結構沒有出現損傷（樣本點1到3470），其模態頻率仍出現不同程度的波動，而且高階模態頻率的波動性明顯大于低階模態。漸進破壞試驗（樣本點3471到3932）導致結構各階模態頻率均呈現下降的趨勢。

圖3 瑞士Z24橋前4階模態頻率的變化趨勢Fig.3 Variations of the first four modal frequencies of the Z24 Bridge

Z24橋的模態頻率隨著橋梁路面瀝青層溫度的升高而降低，同時存在明顯的雙線性關系（如圖4所示），其原因［32］可解釋為：當溫度大于0℃時，路面瀝青的彈性模量改變對結構剛度的影響起主導作用，溫度越高彈性模量越低，導致結構模態頻率隨著溫度升高而降低；當溫度小于0℃時，結冰引起的結構邊界條件改變起主導作用，低溫增強了邊界約束，同時也增大結構剛度，出現結構模態頻率隨著溫度降低而增大的現象。從協整理論的角度看，以模態頻率作為協整變量至少存在兩種均衡關系，是一種非線性協整關系。

圖4 結構模態頻率和溫度的雙線性關系Fig.4 Bi-linear relationship between structural modal frequency and temperature

4.1 損傷預警結果

以f1和f2作為協整變量，將圖3中編號1到3000的樣本作為參考（訓練）樣本，編號3001到3932的樣本作為待測樣本（其中編號3001到3470的樣本是無損傷樣本，編號3471到3932的樣本是損傷樣本），采用本文所提基于高斯混合聚類和協整理論的損傷預警方法預報結構損傷。

首先采用BIC準則確定高斯混合聚類的最佳聚類數。如圖5所示，聚類數為3時的BIC值達到最小。因此，采用包含3個高斯分量的GMM對參考樣本進行聚類，其結果如圖6所示。根據各簇群樣本對應的環境溫度數據（見圖7）可知，簇群1（對應的環境溫度大于0℃）和簇群3（對應的環境溫度小于0℃）代表上述兩種由溫度主導的均衡機制；簇群2（既有大于0℃的樣本，也有小于0℃的樣本）可能是其他環境因素（風速或車載等）主導的均衡機制。

圖5 BIC準則確定GMM聚類數Fig.5 BIC criterion to determine the cluster number

圖6 參考樣本GMM聚類結果Fig.6 GMM clustering results of reference samples

圖7 各簇群模態頻率與溫度對應關系Fig.7 Relationship between modal frequencies and temperature in each cluster

對各簇群的參考樣本進行ADF檢驗，設定置信水平為5%置信水平，則p＜5%（或者t-統計量小于-1.941）代表變量是平穩時間序列。從表1可出，模態頻率f1和f2是非平穩時間序列，但其一階差分是平穩時間序列，即模態頻率f1和f2都具有一階單整性。

表1 模態頻率f1和f2及其一階差分的ADF檢驗結果（5%置信水平）Tab.1 ADF test for modal frequencies f1，f2 and their first differences（5% confidence level）

確定模態頻率f1和f2都滿足一階單整條件后，采用Johanson檢驗計算各簇群對應的協整方程，其表達式為

利用上式可得不同簇群參考樣本的協整殘差，之后根據式（8）對協整殘差進行標準化處理，最后確定X-bar控制圖的控制上下限。

對于待測樣本，根據式（3）計算其屬于不同簇群的概率，選擇最大概率值對應的簇群作為最終歸屬，之后將樣本代入式（10）中對應簇群的協整方程，求得協整殘差并按照式（8）對其進行標準化處理，最后通過X-bar控制圖進行損傷預警，結果如圖8所示。從圖中可以看出：參考樣本的協整殘差不存在明顯的變化趨勢（樣本點1500附近的異常突變與圖6中畫圈部分樣本的模態識別偏差有關），說明采用本文所提方法能夠有效消除非線性環境因素的影響；待測損傷樣本的協整殘差隨損傷的累積有變大的趨勢，說明協整殘差能體現損傷的相對嚴重程度。需要指出的是，待測樣本中有4.89%的無損傷樣本被誤判為損傷樣本，2.38%的損傷樣本被誤判為無損傷樣本。為進一步分析造成上述誤差的原因，圖9給出了歸屬于簇群1的參考樣本以及所有待測樣本的分布情況（待測樣本的聚類結果均為簇群1）。從圖中可以看出，出現誤判的待測樣本主要位于警戒線2附近：對于待測無損傷樣本，理論上99%置信度確定的X-bar控制圖會有1%的樣本均勻分布在兩條警戒線之外，而實際位于警戒線2以下的樣本有19個，位于警戒線1以上的樣本只有4個，其原因最有可能是局部樣本的頻率識別誤差過大，導致位于警戒線2以下的誤判樣本遠超過位于警戒線1以上的樣本；至于損傷樣本，由于漸進破壞試驗初期損傷引起的協整殘差變化不明顯，再加上測量噪聲引起的樣本不確定性，導致個別損傷樣本被誤認為無損傷樣本。

圖8 基于GMM-CI方法的損傷預警結果（以f1和f2作為協整變量）Fig.8 Damage alert results based on GMM-CI method（using f1 and f2 as cointegration variables）

圖9 參考樣本與待測樣本的散點分布Fig.9 Scatter distribution of reference sample and samples to be tested

4.2 不同協整方法比較結果

為比較不同協整方法的結果，圖10給出了傳統基于線性協整理論的損傷預警結果。由于線性協整模型無法完全消除非線性環境因素的影響，損傷樣本的誤判率高達41.77%，在識別精度上遠低于本文所提的基于GMM聚類相結合的協整理論的損傷預警方法。

圖10 基于線性協整理論的損傷預警結果Fig.10 Damage alert using linear co-integration theory

圖11為Shi等［31］提出的基于區制轉移的非線性協整方法的損傷預警結果。該方法利用環境溫度信息識別出模態頻率之間存在兩種協整關系（以0.98℃為界），通過待測樣本對應的溫度信息劃分其協整關系歸屬，之后根據對應的協整方程求得協整殘差作為損傷指標。由于考慮了溫度信息，基于區制轉移的非線性協整方法的誤判率（無損傷樣本為2.77%，損傷樣本為1.51%）均低于本文所提方法。但是，考慮環境因素的監測難度以及成本控制（比如邊界條件、車載等），本文所提方法無需借助環境信息，更易于實際應用。

圖11 基于區制轉移的非線性協整方法得到的協整殘差（利用f1-f4和溫度數據）Fig.11 Cointegration residuals based on regime-switching cointegration approach（using f1-f4 and temperature data）

4.3 聚類個數對損傷預警結果的影響

BIC準則作為理想的模型選擇方法，在實際應用中易受樣本分布和測量噪聲的影響，很有可能產生錯誤的結果，有必要研究不同聚類數對損傷預警精度的影響，并提出合理的聚類數建議。如圖12所示，當聚類數取2時，待測損傷樣本的誤判率較大，出現欠擬合現象；當聚類數取3，4和5時，損傷預警的誤判率均處于5%附近。顯然，欠擬合會大大降低本文所提方法的損傷預警能力，必須設法避免聚類數取值過小導致損傷預警失效。

圖12 不同聚類數對損傷預警精度的影響Fig.12 Influences of different cluster numbers on damage alert accuracy

考慮GMM聚類的目的是將非線性協整關系轉化為多個線性協整關系的組合，因此聚類數的選擇理論上應保證聚類后各個簇群都不存在非線性特征。圖13（a）中，簇群2由于聚類數不足仍具有非線性特征，采用線性協整理論進行建模必然會有誤差。根據分段線性化思想，簇群數越多（分段數越多）越能近似非線性特征，比如圖13（b）簇群1，4和5相比于圖13（a）簇群1有更多細節上的線性特征，因此聚類數取4或5仍能較為準確地預警損傷。但是，聚類數取值太大不僅會造成過擬合現象，而且嚴重影響GMM聚類的計算效率和精度。所以本文建議在BIC準則的基礎上，借助交叉驗證［35］方法產生多個備選聚類數，選擇較大者作為最終聚類數。

圖13 不同聚類數對GMM聚類結果的影響Fig.13 GMM clustering results with different cluster numbers

4.4 多協整變量的損傷預警

高維數據一般存在多種協整關系，不同的協整關系對損傷預警精度的影響很大。實際應用中可以采 用 主成分分 析［36］（Principle Component Analysis，PCA）將高維數據進行降維處理，通常以第一主成分和第二主成分作為新的協整變量，利用二維數據協整關系的唯一性特點避開高維數據協整關系的選擇難題。除此之外，降維不僅能夠簡化GMM聚類的復雜度，而且二維空間便于人工判斷BIC準則確定的聚類數以及GMM聚類結果是否合理。

以 模 態 頻 率f1，f2和f3為 例，同 樣 選 擇 圖3前3000個數據作為參考樣本，采用PCA對數據進行降維處理，將得到的第一主成分P1和第二主成分P2作為新的協整變量，然后采用GMM聚類對降維后的參考樣本進行聚類，其結果如圖14所示。相比于圖6，其簇群分布顯得更加緊湊，但依然能夠區分出3種協整關系。對于待測樣本，同樣需要經過PCA降維，再確定其簇群歸屬。

圖14 PCA降維后參考樣本的GMM聚類結果Fig.14 GMM clustering results of reference samples after PCA

表2為各聚類參考樣本的ADF檢驗結果。從表中可以看出，主成分P1和P2是非平穩時間序列，但其一階差分是平穩時間序列，說明PCA分析得到的P1和P2都具有一階單整性。

表2 主成分P1和P2及其一階差分的ADF檢驗結果（5%置信水平）Tab.2 ADF test for principle components P1，P2 and their first differences（5% confidence level）

確定主成分P1和P2都滿足一階單整條件后，采用Johanson檢驗計算出各簇群對應的協整方程，其表達式為

之后的損傷預警參考4.1節。

圖15和16分別給出了未采用PCA和采用PCA后本文所提方法的損傷預警結果。前者以最小特征值對應的協整向量建立各簇群的協整方程，無損傷樣本和損傷樣本的誤判率分別為3.40%和2.60%；后者利用PCA降維技術避開協整向量的選擇問題，無損傷樣本和損傷樣本的誤判率分別為2.98%和3.03%。二者誤判率相差不大，說明采用PCA對多維協整變量進行降維處理對損傷預警精度的影響不大。

圖15 基于GMM-CI方法的損傷預警結果（最小特征值對應的協整向量）Fig.15 Damage alert results based on GMM-CI method（using the cointegration vector corresponding to the smallest eigenvalue）

圖16 基于PCA-GMM-CI方法的損傷預警結果Fig.16 Damage alert results based on PCA-GMM-CI method

最后，圖17給出了基于線性協整方法的損傷預警結果。由于未采用GMM聚類對非線性協整關系進行線性化處理，其損傷樣本的誤判率仍有42.64%。需要說明的是，無論是基于GMM-CI的方法，還是基于線性協整的方法，都存在協整向量的選擇問題。如果選擇最大特征值對應的協整方程進行損傷預警，兩種方法的損傷樣本誤判率均高達90%以上。其原因可解釋為：雖然最大特征值對應的協整方程平穩性最強，但也說明這種協整狀態很難被損傷打破（或者說對損傷不敏感），比如基于線性協整的方法中對應于最大特征值的協整方程為

圖17 基于線性協整方法的損傷預警結果（最小特征值對應的協整向量）Fig.17 Damage alert results based on linear cointegration method（using the cointegration vector corresponding to the smallest eigenvalue）

根據圖3可知，f2對損傷最為敏感，但式（12）中其權重只有0.73，導致損傷引起的協整殘差εt變化過小而被噪聲覆蓋。

5 結論

為解決傳統線性協整理論無法消除非線性環境因素影響的問題，本文將高斯混合聚類引入到基于協整的損傷預警方法。該方法以結構模態頻率的協整關系為基礎，采用高斯混合聚類對存在非線性協整關系的協整變量進行分段線性化處理，聚類后相同簇群的樣本便可采用線性協整理論進行建模。對于待測樣本，先通過計算GMM后驗概率確定其簇群歸屬，再根據對應的協整方程求得協整殘差，最后利用X-bar控制圖監測協整殘差是否出現異常進行損失預警。

通過Z24橋的長期監測數據和破壞試驗對上述方法進行驗證，得到以下結論：（1）采用高斯混合聚類將協整變量間的非線性關系轉化為多個線性關系的集合，從而將基于協整理論的損傷預警方法擴展到非線性協整理論；（2）利用主成分分析對協整變量進行降維處理可以在保證損傷預警精度的前提下，避開高維數據協整關系的選擇問題，同時簡化高斯混合模型的復雜度；（3）本文所提方法不需要測量環境信息，能夠有效消除實際工程中非線性環境因素對損傷預警的影響，降低損傷預警的誤判率。

GMM聚類采用EM算法估計模型參數，聚類結果易受EM算法的初值影響，導致損傷預警結果產生顯著變化，如何提高GMM聚類的精度和穩定性是未來重點研究方向。

致謝感謝比利時魯汶大學的Guido De Roeck教授提供Z24橋的模態頻率和環境溫度數據。