線形-拱形組合梁式壓電俘能器振動特性研究

張旭輝，汪 林，左 萌，佘 曉

（1.西安科技大學機械工程學院，陜西西安710054；2.陜西省礦山機電裝備智能監測重點實驗室，陜西西安710054）

引言

無線傳感網絡的高速發展使無線傳感器在煤礦井下采掘設備的狀態監測中得到越來越廣泛的應用，但供能問題仍是限制其發展的關鍵因素［1］。壓電振動能量收集技術通過壓電效應將環境中的振動能采集并轉化成電能而備受關注［2-4］，利用壓電自俘能技術有望解決煤礦井下復雜環境中無線監測節點的供電難問題［5-6］。

由于傳統線性壓電俘能器工作頻帶窄，俘能效率低，且環境振源具有寬頻帶、多方向等特點，為此國內外專家學者提出多種壓電俘能器以適應環境特點，提升俘能效率。Nguyen等［7］提出一種具有兩自由度的雙穩態壓電俘能器，通過結構參數優化使各個自由度離散的共振頻率接近，從而形成共振頻率帶以拓寬頻帶。Zhou等［8］提出了一種改進式的三穩態壓電俘能器，通過調節底部兩個可調磁鐵的角度及間距能夠有效地拓寬壓電俘能器的響應帶寬，提高能量收集效率。Liu等［9］提出一種雙穩態壓電俘能器，并采用諧波平衡法對系統動力學方程求解，探討了系統阻尼、剛度等參數對俘能器性能的影響。對于環境激勵多方向的特點，劉祥建等［10］提出一種蒲公英式新型壓電式振動能量收集器，具有多方向振動敏感性。Yang等［11］提出了多束組裝的概念，設計了一種新的“MC-PEH”結構，采用彎曲的懸臂梁替代傳統直梁，能夠有效拓展工作帶寬，提高電壓輸出能力，但并未考慮系統輸出功率與外接負載間關系。

針對煤礦井下環境振動多方向、寬頻帶特點，本文提出一種線形-拱形組合梁式雙穩態壓電俘能器，通過磁化電流法建立磁場非線性模型，利用廣義Hamilton原理建立系統分布式參數模型并進行無量綱化處理，采用諧波平衡法求解系統無量綱化動力學方程，揭示俘能器在不同磁鐵間距、激振頻率、激勵幅值、阻抗等參數下幅頻響應及功率輸出的規律，最后進行實驗測試驗證理論結果的正確性。

1 壓電俘能器結構及理論模型

線形-拱形組合梁式雙穩態壓電振動俘能器的結構原理圖如圖1所示。該結構主要由基座、組合梁、壓電薄膜和永磁體構成。其中，為增強系統對現實環境振動源的方向敏感性，懸臂梁采用線形和拱形組合而成。懸臂梁水平距離為L，永磁體A與對面固定端永磁體B磁極相反，磁鐵間距為d，調整永磁體間距d可以改變磁鐵間排斥力大小。在沿z軸外界振動激勵作用下，懸臂梁做上下振動，粘貼在懸臂梁上的壓電材料同時產生形變，從而利用壓電材料的正壓電效應將實際環境中的振動能量轉換成電能。

圖1 組合梁式雙穩態壓電俘能器結構原理圖Fig.1 Structural schematic diagram of the BPEH based on composed beam

1.1 磁場非線性模型

為構建永磁體A，B間磁場非線性模型，本文采用磁化電流法［12］對兩磁鐵間非線性磁力進行建模分析，永磁鐵間幾何關系如圖2所示。

圖2 磁鐵結構簡圖Fig.2 Magnet structure diagram

組合梁自由端磁鐵磁化強度為mA，固定端磁鐵磁化強度為mB，當組合梁處在水平位置時，以固定磁鐵B的中心為坐標原點建立坐標系，記磁鐵A上下表面中心點分別為O1和O2，磁鐵A與水平方向夾角為φ。組合梁長度為L；磁鐵A和B的長、寬、高分別為lA，lB，wA，wB，hA，hB；d為組合梁水平時兩磁鐵間距離。懸臂梁固定端記為點O，磁鐵中心A點在水平方向的映射記為點C。由于組合梁剛度很高，故近似認為組合梁為小角度振動，因此可近似得AO=L+lA2，懸臂梁與水平方向的夾角為φ，由幾何關系可以得到假設磁鐵產生的磁場在空間中分布均勻，依據磁化電流方法，磁鐵A與B間產生的磁力大小為

式中MA為磁鐵A的磁化強度，S為磁鐵A上下面表面積，z為組合梁自由端磁鐵A的垂直位移，Hx1和Hx2分別表示磁鐵B產生的磁場在磁鐵A的上表面和下表面中心處沿x軸方向上的磁場強度大小，其表達式為

通過曲線擬合方式，將磁力表達式簡化為關于位移u(L，t)的多項式表達式

圖3和4分別為不同磁鐵間距下的磁力曲線圖及雙穩態壓電俘能器系統勢能曲線圖。對比兩圖可知，當磁鐵間距d=10 mm時，磁鐵間相互作用力較大，系統勢能曲線出現兩個對稱的勢阱，系統呈雙穩態特性，此時勢阱較深，系統若要產生大幅阱內運動需要消耗大量能量，即需要獲得足夠大的外部激勵，否則系統只能做小幅阱內運動；隨著磁鐵間距增大（d=15 mm），磁鐵間相互作用力整體逐漸減小，磁場勢能減弱，雙穩態壓電俘能器勢阱變淺，此時系統僅需較小的外部激勵就能產生大幅阱內運動；繼續增大磁鐵間距（d=20 mm），此時磁鐵間磁力及磁場勢能進一步減弱，系統雙穩態運動特性向單穩態運動特性轉化。

圖3 變磁距磁力曲線圖Fig.3 Magnetic force curve under different magnet distance

1.2 壓電俘能器動力學模型

依據廣義Hamilton變分原理，壓電俘能器系統Lagrange函數的變分在任意時間段t1和t2內等于0，即系統滿足

式中T*為系統總動能，W*為系統內部電能，Wnc為系統外力虛功，U為系統總勢能，可分別表示為：

圖4 雙穩態壓電俘能器系統勢能曲線圖Fig.4 Potential energy curve of bistable piezoelectric energy harvester system

式中ρS為組合梁密度，As為組合梁橫截面積，ρp為壓電薄膜密度，Ap為壓電薄膜橫截面積，z(t)為外界基礎激勵為壓電應力常數，hp為壓電薄膜厚度，z為組合梁表面到中性層的距離，cp為壓電薄膜電容，Q(t)為系統產生電荷量，v(t)為壓電薄膜兩端電壓，Ys為組合梁彈性模量為壓電薄膜彈性模量，UMt為磁場勢能。

假設ω(X，t)為懸臂梁上某一點在t時刻沿z軸方向的位移，懸臂梁滿足Rayleigh-Ritz原理［13］，且低頻激勵下，組合梁的振動主要集中在一階模態，忽略二階及以上的模態函數，懸臂梁一階振動相對位移ω(X，t)及模態函數?1(X)分別表示為

依據壓電本構方程、基爾霍夫定律，結合式（4）-（9）得到系統的動力學表達式

式中M，C，K分別表示為系統的模態質量、模態阻尼和模態剛度；?，β分別為機電耦合系數和基礎激勵系數；r1(t)為懸臂梁振動位移；設z(t)=Asinωt；R為外接負載。

其中：

式中x為無量綱的振動位移；u為無量綱的輸出電壓；ζ1為無量綱的線性阻尼；κ1為無量綱的線性剛度系數；κ2為無量綱的非線性剛度系數；θ為無量綱的壓電耦合系數；e31表示壓電應力常數；f為基礎激勵系數，?1(x)為懸臂梁振動容許函數。

2 諧波平衡法求解動力學方程

對于非線性系統響應的近似解析方法較多，其中諧波平衡法是一種較為準確分析非線性系統頻響函數的近似解析方法，因此本文采用諧波平衡法對系統動力學方程進行解析，則式（11）的穩定解可以表示為

式中a0表示系統的平衡位置為第i階模態位移的振幅為無量綱后激勵頻率。

式中A表示外界激勵加速度幅值。

根 據 式（21），（22）可 以 得 到b1和b2的 穩 態值，即

將b1，b2的值代入式（18）和（19）中，并左右兩邊平方相加可得

式中a0表示系統的平衡位置，由式（20）可得a0的穩態值a00=0或者將a0的值代入式（24），得到系統穩態振幅η0。

則雙穩態壓電俘能器輸出電壓及平均輸出功率分別為：

由于采用諧波平衡法求解得到的實數解中可能包括不穩定解，通常非線性系統的多解結果中，最大（高分支）和最?。ǖ头种В┙馐欠€定的，可以通過實驗得到驗證，而中間解是不穩定的［14］。

3 壓電俘能系統仿真結果與分析

3.1 雙穩態壓電俘能器幅頻響應特性

圖5所示為不同磁鐵間距下，組合梁式雙穩態壓電俘能系統幅頻響應特性曲線，選取激勵加速度幅值A=1.3g，磁鐵間距分別取d=［14，18，22］mm及無磁力狀態。圖5（a）為磁鐵間距d=14 mm時系統響應頻譜，頻譜圖向右傾斜，系統表現為漸硬特性，系統分別在Ωhigh=1.34和Ωlow=0.93處出現跳躍現象。在Ωlow＜Ω＜Ωhigh處，系統處于不穩定區域，存在多解現象，此時系統包含三個實數解，其中虛線段為不穩定解，實驗中無法進行觀測。隨著磁鐵間距的增大（圖5（b）和（c）分別對應磁鐵間距d=18 mm與d=22 mm），系統不穩定區域逐漸變窄，這說明在一定磁鐵間距范圍內，非線性磁力對系統的響應頻帶寬度會產生一定影響，并且隨著磁鐵距離的增加，頻帶寬度減小；繼續增大磁鐵間距，系統最后將處于無磁力狀態，如圖5（d）所示，且系統響應位移隨著磁鐵間距的增大略有增加。

圖5 變磁距系統幅頻響應曲線Fig.5 Amplitude-frequency response curve of the system under different magnetic distances

圖6所示為不同激勵加速度幅值A下，組合梁式雙穩態壓電俘能系統幅頻響應特性曲線，選取磁鐵間距d=16 mm，激勵幅值A=［0.1g，0.5g，1g，1.3g］。圖6（a）為激勵幅值A=1.3g時系統幅頻響應曲線，此時系統不穩定解區域寬度為0.41，隨著激勵幅值的減?。▓D6（b）和（c）中激勵幅值分別為A=1g和A=0.5g），系統非線性響應減弱，不穩定解區域變窄，且幅值減小，當激勵幅值A=0.1g時，如圖6（d）所示，此時系統響應幅值縮小5倍，表現為線性系統，這是由于激勵不足，難以使系統越過勢壘，系統作小幅阱內運動。這說明隨著外界激勵大小對雙穩態壓電俘能系統的響應頻帶寬度及響應幅值均會產生影響。

圖6 變激勵幅值系統幅頻響應曲線Fig.6 Amplitude-frequency response curves of the system under different excitation amplitudes

3.2 雙穩態壓電俘能器功率輸出響應特性

圖7給出了系統在大幅阱間運動時（磁鐵間距d=16 mm，激勵A=1g），俘能器的輸出功率隨負載阻抗變化的曲線關系，并比較了不同頻率（Ω=［0.8，1，1.2］）下的輸出功率。由圖可知，對于一定的外界激勵頻率Ω下，俘能器輸出功率隨著外接負載的增大先增大后減??；當Ω從0.8增加至1.2，俘能器輸出功率逐漸增大，這是由于激振頻率增大時，系統響應幅值增大，壓電薄膜形變變大；且系統最優阻抗值隨Ω增大逐漸減小，說明Ω對系統最優阻抗值影響很大。

圖7 變激勵頻率俘能器輸出功率隨負載變化曲線Fig.7 Curve of energy harvester output power with resistance under different excitation frequencies

圖8給出了系統在大幅阱間運動時（磁鐵間距d=16 mm，Ω=1），俘能器的輸出功率隨負載阻抗變化的曲線關系，并比較了不同加速度幅值（A=［0.8g，1g，1.3g］）下的輸出功率。由圖可知，在一定的外接負載R下，俘能器輸出功率隨外界激勵幅值A的增大而增大，但系統最優阻抗值不隨激勵幅值的增大而改變，維持在1.3 MΩ附近，說明A對系統最優阻抗值影響較小。

圖8 變激勵幅值俘能器輸出功率隨負載變化曲線Fig.8 Curve of energy harvester output power with resistance under different excitation amplitudes

圖9給出了系統在大幅阱間運動時（Ω=1，A=1g），俘能器的輸出功率隨負載阻抗變化的曲線關系，并比較了不同磁鐵間距（d=［16，18，20］mm）下的輸出功率。由圖可知，在一定的外接負載R下，俘能器輸出功率隨磁鐵間距d的增大而減小，但最優阻抗值不隨磁鐵間距的改變而變化，維持在1.3 MΩ附近，說明磁鐵間距d對系統最優阻抗值影響較小。

圖9 變磁距俘能器輸出功率隨負載變化曲線Fig.9 Curve of energy harvester output power with resistance under different magnetic distances

4 壓電俘能系統實驗驗證

為驗證系統參數對壓電俘能器幅頻響應及功率輸出的正確性，搭建實驗測試平臺進行實驗驗證，如圖10所示。通過調節壓電俘能器實驗樣機（如圖11所示）上的可調夾具來調節兩磁鐵間距離，進而調節磁力的大小。實驗中，將雙穩態壓電俘能器樣機放置在激振臺上，振動控制臺產生正弦信號通過功率放大器放大后作用于激振臺并帶動俘能器振動，通過示波器實時測得俘能器振動時輸出電壓。

圖10 俘能器性能測試實驗平臺Fig.10 Energy harvester performance testing experimental platform

圖11 俘能器結構圖Fig.11 Structural diagram of the BPEH

煤礦井下采煤機搖臂電機軸主要振動頻率范圍在10-30 Hz之間［15］，為了更好地得出在不同負載阻抗條件下壓電俘能器的輸出響應，實驗時通過掃頻與定頻相結合的方式。圖12為激勵加速度幅值A=1.3g，磁鐵間距分別取d=［14，18，22］mm及無磁力狀態下俘能器電壓輸出圖?？梢钥闯鰧嶒灉y得的俘能器輸出電壓隨頻率的變化規律與仿真結果中系統幅頻響應特性曲線一致，當磁鐵間距d=14 mm時（圖12（a）所示），系統大幅響應頻帶較寬，隨著磁鐵間距增大，系統大幅響應輸出帶寬隨之減小，最大輸出電壓略有增大，最大可達52.6 V，且系統共振點右移。當磁鐵間距增加至22 mm時（圖12（c）所示），系統幾乎處于無磁力狀態，大幅響應帶寬驟減，響應輸出與無磁鐵時類似（圖12（d）所示）；系統輸出正負電壓峰值出現不對稱現象，這是由于組合梁中拱形梁部分在變形過程中存在橫向與縱向形變，使得壓電薄膜的形變非對稱而產生電壓幅值不對稱。

圖12 變磁距俘能器輸出電壓掃頻圖Fig.12 Sweep diagram of energy harvester output voltage under different magnet spacings

圖13為磁鐵間距d=16 mm，A=1g時俘能器電壓輸出正向、反向掃頻圖。當俘能器做正向掃頻實驗，f＜18.6 Hz時，系統電壓輸出響應穩定，且峰值隨頻率增大緩慢遞增；當頻率增加至18.6 Hz時，系統穩態響應出現跳躍現象，響應輸出急劇下降，隨后隨頻率增加緩慢下降；當俘能器做反向掃頻實驗，f＞15.3 Hz時，電壓響應輸出穩定，且峰值隨頻率減小緩慢遞增，隨著掃頻頻率減小至15.3 Hz，俘能器輸出響應出現跳躍現象，響應輸出呈脈沖式升高，隨后隨掃頻頻率減小緩慢下降，與仿真結果規律保持一致。

圖13 俘能器輸出電壓掃頻圖Fig.13 Sweep diagram of energy harvester output voltage

圖14為磁鐵間距d=16 mm，激勵加速度幅值分別取A=［0.5g，1g，1.3g］時俘能器電壓輸出響應圖?？梢钥闯鰧嶒灲Y果與仿真結果規律一致，當激勵幅值A=0.5g時，外部激勵較小，系統無足夠大能量做大幅阱間運動，此時系統做小幅阱內運動，輸出電壓較低，隨著外部激勵增大（A=1g），系統做大幅阱間運動，輸出電壓變大，大幅響應頻帶變寬，繼續增加激勵（A=1.3g），此時系統響應帶寬及響應幅值略微增大，幅度較小，系統已達到飽和狀態。

圖14 變激勵幅值俘能器輸出電壓掃頻圖Fig.14 Sweep diagram of energy harvester output voltage under different excitation amplitudes

圖15 為磁鐵間距d=16 mm，激勵加速度幅值A=1.3g，激振頻率f=［15.8，16，16.2］Hz時，俘能器輸出功率隨外接電阻變化規律圖。由圖可知，f=15.8 Hz時，俘能器輸出功率隨著外接電阻阻值增大先增后減，最優阻抗值R=5.8 MΩ，此時最大輸出功率約為28.69 μW。隨著激振頻率的增大（f分別取16，16.2 Hz），俘能器輸出功率逐漸增大，最大值約為43.4 μW，且系統最優阻抗值隨激振頻率增大逐漸減?。╢=16 Hz時，最優阻抗為5.6 MΩ；f=16.2 Hz時，最優阻抗為5.32 MΩ），與仿真結果規律保持一致。

圖15 變激振頻率俘能器輸出功率響應曲線Fig.15 Energy harvester output power response curve under different excitation frequencies

圖16為磁鐵間距d=16 mm，激振頻率f=16 Hz，激勵加速度幅值A=［1g，1.2g，1.3g］時，俘能器輸出功率隨外接電阻變化規律圖。由圖可知，激勵加速度幅值A=1g時，俘能器輸出功率隨著外接電阻阻值增大先增后減，最大值約為30.2 μW，隨著加速度幅值增大（A分別取值1.2g，1.3g），俘能器輸出功率逐漸增大，最大值約為35 μW，且系統最優阻抗值不隨激勵幅值的改變發生明顯變化，維持在5.6 MΩ，與仿真結果規律一致。

圖16 變激勵幅值俘能器輸出功率響應曲線Fig.16 Energy harvester output power response curve under different excitation amplitudes

圖17為激振頻率f=16 Hz，激勵加速度幅值A=1.3g，磁鐵間距d=［16，18，20］mm時，俘能器輸出功率隨外接電阻變化規律圖。由圖可知，磁鐵間距d=20 mm時，俘能器輸出功率隨著外接電阻阻值增大先增后減，最大值約為30.6 μW，隨著磁鐵間距減小（d分別取18，20 mm），俘能器輸出功率逐漸增大，最大值約為35 μW，且系統最優阻抗值不隨磁鐵間距的改變發生明顯變化，與仿真結果規律一致。

圖17 變磁距俘能器功率輸出響應曲線Fig.17 Energy harvester output power response curve of different magnetic distances

5 結論

本文建立了組合梁式雙穩態壓電俘能器動力學模型并進行無量綱化，采用諧波平衡法研究俘能系統非線性響應特性，揭示了磁鐵間距、外界激勵及負載阻抗等參數對俘能器幅頻響應及功率輸出的影響規律，并通過實驗驗證了仿真結果的正確性，得到以下結論：

（1）通過改變磁鐵距離能夠使系統在雙穩態與單穩態之間切換，合適的磁鐵距離d可以使系統以較小的外界激勵實現大幅阱間運動。

（2）雙穩態壓電俘能系統幅頻響應特性曲線存在跳躍、多解現象，當d=16 mm，A=1g，系統分別在正向掃頻f=18.6 Hz、反向掃頻f=15.3 Hz時出現向上、向下跳躍現象；通過調節磁鐵間距、增大激勵幅值方式可使得系統獲得較高的響應輸出。

（3）磁鐵間距、激勵幅值、激振頻率對系統功率輸出大小均會產生影響，系統最優阻抗主要由外界激振頻率決定。當激勵加速度幅值A=1.3g，磁鐵間距d=16 mm，最佳負載R=5.6 MΩ，激勵頻率f=16.2 Hz時，系統最大輸出功率約為43.4 μW。