高階非線性剛度的調諧質量阻尼器控制性能分析

孫 毅，李蘆鈺

（大連理工大學建設工程學部智能結構系統研究所，遼寧大連116024）

引言

調諧質量阻尼器由于其具有結構簡單、無需耗能、穩定性好等優點，在土木工程結構振動控制方面得到了廣泛的應用［1-4］。例如美國波士頓的John Hancock大樓、澳大利亞的悉尼電視塔和日本明石海峽大橋的橋塔上均安裝了TMD裝置［5］，這些TMD裝置成功抑制了結構在地震荷載和風荷載作用下產生的動態響應。然而，在實際應用過程中，TMD由于其過大的位移或者限位裝置的應用而表現出非線性特性［6-7］。因此，研究非線性調諧質量阻尼器（NTMD）的控制性能具有實際的工程意義。

近些年來，關于NTMD的研究已經取得了極大的進展。作為NTMD的一種形式，非線性能量阱（Nonlinear Energy Sinks，NES）得 到 了 廣 泛 的 研究［8-10］。相較于線性TMD，NES能夠與結構的任意階模態產生共振現象，因此具有更寬的有效控制頻率范圍［11-14］。此外，NES能夠從低階模態到高階模態分配結構的輸入能量，并且使得能量從結構到NES單向、不可逆地傳遞，進而抑制結構的振動［15］。但是，非線性TMD也存在不穩定現象及結構響應幅 值 被 放 大 的 問 題［16-17］。Alexarder等［18］和Djemal等［19］通過實驗，證明了非線性TMD存在跳躍現象。Alexarder等［18］指出，只有消除或減小非線性TMD產生的高幅值周期解，系統的穩態響應才會優于線性TMD控制下系統的穩態響應。為了消除高幅值的周期解，Starosvetsky等［20］提出了半主動的分段二次黏性阻尼器。數值分析表明，這種阻尼器能夠消除被分離的高幅值周期解。此外，Eason［21］通過在NTMD系統上附加一個可調剛度的單擺，同樣能夠有效地消除共存的高幅值周期解。

在NTMD參數優化方面，一些學者根據不同的性能指標和優化方法對NTMD參數優化做了研究。其中Habib等［22］利用Den Hartog的等峰值方法研究了NTMD的參數優化問題，并給出了參數優化的解析 形式。Fallahpasand等［23］對非 線 性 單 擺 式TMD的控制性能進行了分析，利用H∞和H2方法對TMD進行參數優化，得到了TMD設計的最優參數值。陳勇等［24］進行了基于NES的高聳結構減振分析，獲得了非線性模態的解析解，并給出最優參數計算的經驗公式。

本文考慮TMD的五次剛度非線性對結構的控制性能進行分析，并結合Li等［25］提出的NTMD改進的設計方法，提出一種適用于五次非線性剛度的NTMD的改進設計方法。然后，利用該方法對NTMD進行設計修正，并根據數值模擬的結果驗證了所提出的改進設計方法的有效性。

1 NTMD理論分析

1.1 系統運動方程

本文以有阻尼受迫振動為例，系統運動模型如圖1所示。可見，系統由線性主結構與耦合非線性TMD兩部分組成。其中非線性TMD的形式為五次剛度非線性，其力-位移關系可表示為Fd=k21x-k22x3+k23x5，其中k21為線性剛度系數，k22為三次軟化剛度系數，k23為五次硬化剛度系數，且以上剛度系數均大于零。系統的運動方程可表示如下：

圖1 系統受迫運動示意圖Fig.1 Schematic diagram of forced movement of the system

式中m1，c1，k1，x1分別為結構的質量、阻尼、剛度和絕對位移；m2，c2，k21，x2分別為NTMD的質量、阻尼、線性剛度和絕對位移；系統的輸入假設為正弦激勵即u(t)=F0cosωt，其中F0為激勵幅值，ω為激勵頻率。

由方程（1），（2）可知，直接對系統的運動方程進行分析是非常困難的，為了將NTMD的分析從整個系統分離出來，可以認為在正弦激勵作用下，當系統的非線性較弱時，主結構的穩態響應可近似為一階諧響應x1=Acos(ωt+β)。在分析的過程中，忽略相角的影響，僅考慮穩態響應。則NTMD的運動方程可表示為

式中x=x2-x1為NTMD相對于主結構的位移；A為主結構的穩態振幅；F為NTMD的等效激勵幅值；ω為相應的激勵圓頻率，本文在設計過程中取ω為主結構的第一階固有頻率。

為了分析方便，引入無量綱參數：

則NTMD的運動方程可表示為無量綱形式

式 中q?表示ζ2和ω2分別為非線性TMD的阻尼比和線性頻率；α1和α2分別為NTMD的軟化非線性系數和硬化非線性系數；x0為NTMD的等效靜位移；q，τ0和Ω0分別為NTMD的無量綱位移、無量綱時間和無量綱頻率。

1.2 方程的近似解析解

本文采用平均化方法［26］求解NTMD的運動方程，假設TMD的位移響應為一階諧波響應，響應頻率為激勵頻率，即：

式中b為響應幅值；θ為對應相角。

將式（5）和（6）代入方程（4）中，得到：

對于穩態響應，響應幅值和相角隨著時間緩慢變化，方程（7）和方程（8）可以近似表示為一個周期內的積分均值，即：

對方程（9）和方程（10）在一個周期內積分平均可得：

對于穩態響應，有b?=θ?=0，消去方程（11）和方程（12）中的正弦項和余弦項，得到NTMD的頻響曲線方程

1.3 NTMD的幅頻關系分析

由頻響曲線方程可知，在確定的激勵頻率作用下，NTMD的響應幅值與阻尼比ζ2、非線性系數α1，α2和等效凈位移x0有關，表現在頻響曲線中如圖2所示。隨著阻尼比ζ2的增大，NTMD的最大響應幅值在減小，幅頻響應曲線向右偏移的程度減輕，非線性的影響越來越小；當固定軟化非線性系數α1，隨著硬化非線性系數α2的增大，幅頻響應曲線由向左偏移漸漸轉變為向右偏移，非線性的影響由軟化非線性效應轉變為硬化非線性效應；當等效凈位移x0增大，幅頻響應曲線向右偏移，NTMD的最大響應幅值在減小，非線性的影響越來越大。

圖2 非線性TMD頻率響應曲線Fig.2 Frequency response curve of nonlinear TMD

以硬化非線性效應下NTMD的幅頻響應為例。如圖3所示，從圖中可以看出，NTMD幅頻響應曲線存在多幅值解現象。穩定性分析表明，位于多幅值解區域的中間曲線是不穩定的，在實際中并不會出現。此外，NTMD幅值響應存在跳躍現象，圖中點A和點B為跳躍點，在跳躍點處，響應幅值會突然增大或減小。在多幅值解區域，系統的響應取決于該區域的初始條件。如果初始條件為0或者很小，跳躍現象將發生在點A；如果初始條件較大，跳躍現象將發生在點B。因此當初始條件一定的情況下，NTMD在跳躍點處具有最大的響應幅值。考慮到實際工程中，多數的結構處于靜止狀態，且風荷載的頻率變化較小，因此，可以認為跳躍現象發生在點A且此時NTMD的響應幅值為最大。

2 跳躍頻率求解

通過以上分析可知，在跳躍點處NTMD具有最大的位移響應，NTMD的最大位移響應對應最好的控制效果［25］。因此，新的分析設計方法將依據跳躍點處的頻率對NTMD進行設計修正，首先應求解跳躍點處的頻率。在跳躍點處，頻率響應曲線具有垂直的切線，若將跳躍頻率Ω0看成NTMD位移響應b的函數，即Ω0=Ω0(b)，則在跳躍點處有如下關系將頻響曲線方程（13）兩邊對b求導，得

當阻尼比ζ2較小時，近似地有此時λ可近似為

利用二次方程的求根公式解方程（16），得

可以發現二次方程（16）有以下兩個實根：

由伽羅瓦可解性判定準則可知五次及以上方程沒有固定的根式解，因此考慮用漸進展開式求得五次方程的近似解。

當ε≈0時，式（23）可簡化為

僅考慮實根，假定展開式

將展開式代入式（24），并使ε同次冪的系數等于零，可以得出：

因此：

通過上述過程，得到了跳躍點頻率的近似解析解，表1和2分別計算了不同靜位移x0和不同非線性系數α2下的跳躍頻率，通過對比可以發現近似解析解與數值解非常接近，且最大誤差不超過5%，說明近似解析解具有足夠的精度。

表1 跳躍頻率的數值解與解析解(ζ2=0.05，α1=5×10-3 m-2，α2=5×10-4 m-4)Tab.1 Numerical and analytical solutions of jump frequency(ζ2=0.05，α1=5×10-3 m-2，α2=5×10-4 m-4)

表2 跳躍頻率的數值解與解析解(ζ2=0.05，α1=5×10-3 m-2，x0=5 m)Tab.2 Numerical and analytical solutions of jump frequency(ζ2=0.05，α1=5×10-3 m-2，x0=5 m)

另外，在計算跳躍頻率解析解的過程中，忽略了阻尼比的影響，通過對比解析解與數值解的差異（見表1和2），可以認為這種假設是合理的。考慮到在0初始條件或較小的初始條件下，跳躍現象發生在A點，因此僅分析阻尼比對A點的跳躍頻率解析解的影響。當非線性系數α1，α2和等效凈位移x0保持不變時，分別取不同的阻尼比計算NTMD跳躍頻率的解析解。從表3可以看出，阻尼比從0變化到0.15，解析解變化小于0.03。所以，在小范圍內改變阻尼比的情況下，A點的跳躍頻率解析解可以視為不變。在研究阻尼比變化對于控制性能的影響時可以忽略阻尼比變化帶來的誤差，將其視為獨立的變量。

表3 阻尼比對A點跳躍頻率的影響(α1=5×10-3 m-2，α2=5×10-4 m-4，x0=5 m)Tab.3 Influence of damping ratio on jump frequency at point A(α1=5×10-3 m-2，α2=5×10-4 m-4，x0=5 m)

3 NTMD設計方法

考慮五次剛度條件下NTMD可能產生的先軟化后硬化的非線性行為，在設計NTMD的過程中，對傳統的線性TMD設計方法進行修正，以減小NTMD在使用過程中非線性行為的不利影響。當TMD的位移響應最大時，TMD提供的彈簧力最大，相應的結構位移響應越小，TMD的控制效果越好［21］。因此，TMD的參數優化基于TMD的最大位移響應。已知NTMD在跳躍點A處有最大的位移響應，因此根據A點的跳躍頻率進行NTMD的參數優化設計。

參考無量綱化的過程可知，A點的跳躍頻率Ω0A=ω/ω2，結合式（31）則有

式中ω2為NTMD的最優設計頻率，此時NTMD具有最好的控制效果。當激勵頻率與結構頻率相同即共振條件下，NTMD與結構的最優頻率比為

從式（33）可以看出，NTMD的最優頻率比與跳躍頻率互為倒數關系，且僅與參數α1，α2，ζ2，x0有關。經過參數優化后要求設計前后的跳躍頻率是不變的，因此這里通過調整NTMD的質量來滿足其最優設計頻率，即

由此，在傳統線性TMD的設計基礎上通過修正NTMD的質量來減小NTMD非線性行為的不利影響。對于硬化非線性效應下的NTMD，其跳躍頻率總是大于1的，因此最優頻率比小于1，經過參數優化后NTMD的質量增大。下面通過計算一個實例以驗證改進設計的控制效果。

4 NTMD控制性能

4.1 設計算例

以單自由度結構為例，結構的參數為m1=1 kg，c1=0.1 N?s/m，k1=1 N/m，結構采用余弦激勵，其幅值為F0=0.5 N，激勵頻率為ω。取質量比μ=0.05，按照線性TMD方法進行設計［27］，計算得最優頻率比γopt=0.9404，最優阻尼比ζopt=0.1098。因此，TMD的參數為：m2=0.05 kg，c2=0.0103 N?s/m，k21=0.0442 N/m，k22=k23=0。由于調諧質量阻尼器在實際應用的過程中產生的非線性行為，假設非線性系數α1=5×10-3m-2，α2=5×10-4m-4。則NTMD的 實 際 參 數 為：m2=0.05 kg，c2=0.0103 N?s/m，k21=0.0442 N/m，k22=2.21×10-4N/m3，k23=2.21×10-5N/m5。實 際 彈簧的非線性本構方程根據實際測量的結果確定，這里僅假設一種形式。

當考慮非線性時，TMD的控制效果將發生變化，如圖4所示。從圖中可以看出，產生非線性效應后TMD的控制效果在結構共振頻率附近被惡化。當非線性系數α2=0，結構處于軟化非線性效應時，在頻率小于1范圍內NTMD控制效果優于線性TMD，但是在頻率大于1范圍內TMD的控制效果變差；當非線性系數α2=5×10-4m-4，結構處于硬化非線性效應時，在頻率大于1范圍內NTMD控制效果優于線性TMD，但是在頻率小于1的范圍內對結構的控制效果嚴重惡化，結構響應幅值顯著增大。

圖4 TMD的非線性行為對控制性能的影響Fig.4 Influence of nonlinear behavior of TMD on control performance

針對線性TMD產生非線性效應后的不利影響，下面按照NTMD參數優化方法對NTMD進行改進設計。為了設計NTMD參數，等效激勵幅值需要被確定。已知等效激勵幅值F=m2ω2A，其中，A為結構響應幅值，ω為結構響應頻率。考慮在共振條件下，此時ω=1 rad/s，結構穩態響應幅值A=1.7464 m，則等效激勵幅值F=0.0873 N。計算跳躍頻率所需的四個參數值分別為：ζ2=0.1098，α1=5×10-3m-2，α2=5×10-4m-4，x0=F/k21=1.9748 m。由公式（31）可求得跳躍頻率Ω0A=1.1858，最優頻率比γopt=1Ω0A=0.8433。通過調整TMD的質量來滿足其最優頻率比，經過修正設計后TMD的參數為：m2=0.0622 kg，c2=0.0115 N?s/m，k21=0.0442 N/m，k22=2.21×10-4N/m3，k23=2.21×10-5N/m5。

基于改進設計前后結構的頻率響應曲線如圖5所示：從圖中可以看出，基于改進的設計方法能夠獲得更好的控制效果，極大地減小了結構共振頻率處的響應幅值，且頻率響應曲線位于左側的峰值降低。隨著激勵幅值的增大，TMD的控制效果越明顯。圖6（a）顯示了共振情況下結構位移-時程曲線，從圖中可以看出，改進設計方法能夠顯著降低非線性因素的影響，結構位移減小了34%。圖6（b）為在激勵頻率為1.05 rad/s時結構位移-時程曲線，由圖可知，結構在頻率為1.05 rad/s激勵作用下響應是不穩定的，所以仿真結果會出現兩個右側峰值的現象。

圖5 結構頻率響應曲線Fig.5 The frequency response curve of the structure

圖6 結構時程響應曲線Fig.6 The time-history response curve of the structure

4.2 阻尼比的影響

作為NTMD設計的另一個參數，阻尼比對TMD控制性能有較大的影響。圖7為阻尼比變化對NTMD幅頻曲線的影響，從圖中可知，隨著阻尼比的增大，共振頻率處的結構響應幅值增大，同時過小的阻尼比在非共振頻率處存在更高的峰值。所以在選擇NTMD阻尼比時，要綜合考慮阻尼比對控制性能的影響。因為阻尼比對于跳躍點頻率的解析解影響不大，可以將其忽略。所以，在研究阻尼比變化對控制性能的影響時，可以忽略其對NTMD設計頻率的影響，即在研究阻尼比變化對控制性能影響過程中把阻尼比視為獨立的變量。

圖7 阻尼比對非線性TMD控制性能的影響（F0=0.5 N）Fig.7 Influence of damping ratio on control performance of nonlinear TMD（F0=0.5 N）

4.3 等效幅值的影響

在對NTMD進行改進設計的過程中，要求參數α1，α2，ζ2和x0保持不變。這是因為跳躍頻率Ω0A是在確定的α1，α2，ζ2和x0值的情況下計算出來的，如果發生變化，會引起跳躍頻率發生變化，進而會影響到NTMD的設計頻率值。在實際的設計過程中，通過 改 變NTMD質量調整NTMD的頻 率，NTMD的剛度沒有發生變化，因此α1，α2保持不變。由前文分析可知，小范圍變化的阻尼比對于跳躍頻率影響很小，可以將其影響忽略，所以ζ2也可以視為不變量。在改進設計前后，結構的穩態位移幅值不同，必然會引起等效激勵幅值F隨之改變，相應的等效靜位移x0發生變化。從表4可以看出，當激勵幅值不超過0.5 N時，設計前后等效靜位移變化在0.5 m范圍內，跳躍頻率變化較小；當激勵幅值超過0.5 N時，設計前后等效靜位移變化增大，跳躍頻率變化明顯。所以，在激勵幅值較小時，設計前后等效靜位移x0可以視為不變量。

表4 設計前后等效位移幅值和跳躍頻率的變化Tab.4 The change of equivalent displacement amplitude and jump frequency before and after design

5 結論

線性TMD由于位移過大或限位裝置應用等會產生非線性效應，在考慮非線性彈簧引起非線性剛度的條件下，當TMD處于硬化非線性狀態時，TMD的控制性能在頻率小于或等于1范圍的內被惡化，對結構的控制產生不利的影響。針對線性TMD實際應用中可能產生非線性效應的問題，本文采用新的NTMD分析設計方法在TMD設計過程中對其進行設計修正。結果表明，經過設計修正的NTMD能夠降低五次剛度非線性效應的影響，共振頻率處的響應幅值和頻率小于1范圍內幅頻曲線的峰值顯著降低。當激勵荷載F0=0.5 N時，共振條件下結構的位移減小了34%。

阻尼比較小時，其對跳躍點頻率解析解影響較小，當阻尼比在較小范圍內變化時，阻尼比的變化對跳躍點頻率解析解影響可以忽略。阻尼比從0變化到0.15，跳躍點頻率值變化小于0.03。所以，在研究阻尼比對NTMD控制性能影響時，不考慮阻尼比變化引起NTMD設計頻率值的變化，將阻尼比視為獨立變量。隨著阻尼比的增大，共振頻率處的結構響應幅值增大，非共振頻率處的峰值降低，因此在選擇NTMD阻尼比時，要綜合考慮阻尼比對控制性能的影響。

當激勵幅值不超過0.5 N時，設計前后等效靜位移變化在0.5 m范圍內，跳躍頻率變化較小；當激勵幅值超過0.5 N時，設計前后等效靜位移變化變大，跳躍頻率變化明顯。所以，在激勵幅值較小時，設計前后等效靜位移x0可以視為不變量。