圓環非線性隔振設計和動力學研究

顧棟浩，陸澤琦，丁 虎，陳立群

（1.上海大學上海市應用數學和力學研究所，上海200072；2.上海大學力學在能源工程中的利用重點實驗室，上海200072；3.上海大學力學與工程科學學院，上海200072）

引言

傳統線性隔振系統只有在激勵頻率大于系統固有頻率的2倍時才能有效。因此，盡可能降低隔振系統的固有頻率，可以顯著提高低頻隔振效果。考慮工程應用、制作成本等因素的限制，傳統線性隔振系統很難通過降低有效剛度和增大隔振器質量來實現低頻隔振。因此，利用非線性特性來提高隔振系統的性能，是一種有前景的振動控制方式。

彈性曲梁、彈性環、軸向移動梁、彈性曲板等彈性元件往往具有特殊形狀結構的力與變形的非線性關系［1］，對實現低頻隔振具有重要意義。屈曲荷載和后屈曲行為對結構設計具有重要意義，例如，將彈性環的屈曲狀態作為靜平衡狀態時，設計了彈性環低頻隔振器，從而降低了動態剛度［2］。

圓環的屈曲和后屈曲變形是Love提出的經典問題，主要研究圓環面內和面外彎曲的平衡和穩定性［3］。Love的研究引起了許多學者的關注，他們利用多種理論，嘗試解決圓環的大變形問題。Wu等［4］研究了在一些平衡點附近彎曲和扭轉彎曲環的彈性穩定性。Tse等［5］研究了正交各向異性對稱圓環非線性彈性行為，推導了力與位移的關系。Wu等［6］運用牛頓法和諧波平衡法，得出了圓環大變形的近似解析解。上述研究主要集中在靜力作用下圓環的平衡位置、穩定性和撓曲等方面問題。Lacarbonara等［7］在考慮材料非線性行為的影響下，研究了圓環在自由狀態下的非線性振動。Xu等［8］從理論上研究了功能梯度（FGM）環的自由振動，導出了FGM環自由振動的頻率方程，考察了靜平衡時的動剛度特性，得出了靜載質量引起的靜平衡偏差對隔振器的失穩有重要影響的結論。Liu等［9］通過在平衡位置處引入預變形歐拉屈曲梁來提供負剛度，抵消正剛度，降低隔振器的整體動剛度，并優化梁的結構參數提高隔振性能。Huang等［10］利用歐拉屈曲梁作為負剛度修正器，研究了非線性隔振器的隔振特性。Ding等［11］研究了具有垂直彈性支承邊界的黏彈性梁的振動。

此外，在平衡點附近的動態剛度特性是設計非線性隔振系統的關鍵因素。雖然，Lacarbonara等［12］論述了彈性繩索、三維實體、彎曲梁和板的靜態和動態特性。然而，研究僅限于對它們的振動分析，還沒有利用彎曲彈性體以提高隔振性能的研究。

由于高靜態低動態剛度能改善低頻隔振性能，同時不產生較大的靜態變形，近年來被廣泛采用［13］。實現高靜態低動態剛度的一種簡單方法是三彈簧結構非線性隔振器，即利用兩個水平預壓的彈簧和一個豎直彈簧構成隔振系統，系統在振動過程中由于幾何關系產生非線性剛度［14-15］。實現這一特性還有其他許多方法，見參考文獻［16-19］。此外，可以通過使用非線性阻尼元件來改進線性隔振系統，特別是為了在共振時抑制響應和在高頻時保持良好隔振性能［20-23］。與垂直阻尼相比，水平阻尼具有一些優勢，其隔振效果已與垂直線性彈簧結合考慮［24-25］。

本文的目的是研究如何將水平剛度和阻尼有效地應用于環形梁隔振系統中。其目的是將非線性剛度和非線性阻尼結合起來，綜合兩種結構的優點，提高隔振的頻率范圍，同時改善共振抑制和高頻隔振。將直接分離運動法用于推導所研究隔振器的位移傳遞率［26-27］，并比較解析與數值結果。

1 系統建模

圖1所示為一個添加水平彈簧和水平阻尼的圓環隔振系統，圓環上端是質量為m的水平平臺，下端固定在底座上，圓環的半徑為R，厚度為H，寬度為W，水平放置的彈簧kh和水平阻尼ch通過幾何變形使得整個圓環隔振系統產生非線性剛度和非線性阻尼。底座受到位移激勵xe的作用，研究非線性剛度和非線性阻尼的變化對位移傳遞率的影響，以此來評價隔振系統的性能。

圖1 非線性剛度、非線性阻尼的圓環隔振器示意圖Fig.1 Schematic of a circle ring isolator combined with nonlinear stiffness and damping

根據圓環結構的非線性特性，圓環在受到水平平臺預壓的前提下，在靜平衡位置力與位移的關系式可表示為

式中x0表示在預受壓狀態下圓環的靜變形，x表示離平衡位置的位移，Ai表示圓環力與位移的關系在受壓過程中三個不同變形階段的參數［5］。

圓環受壓階段1：

圓環受壓階段2：

圓環受壓階段3：

式中φB=sin-1(1/p2)，E22表示楊氏模量，I表示慣性矩，E（p，φB）和F（p，φB）分別表示第一類不完全橢圓積分和第二類不完全橢圓積分，p=表示構 造圓弧 半徑［5］，在位移激勵xe=Xecosωt作用下，系統的運動方程可寫為

式中xr=x-xe表示水平平臺與底座間的相對位移，Xe和ω分別表示位移激勵的振幅和激勵頻率。c表示圓環自身阻尼，cn表示由水平阻尼產生的非線性 阻 尼 項表 示 由 水 平彈簧產生的非線性剛度項，kn=2kh[1-l0(x2+l2)12]，l表示彈簧在水平位置的長度，如圖1所示。l0表示水平彈簧的自由長度，當位移很小時，非線性阻尼項和非線性剛度項可分別簡化為

2 位移傳遞率

2.1 直接運動分離法

利用直接運動分離法，研究系統的位移傳遞率，令方程（5）解的形式為

式中新的時間尺度T0=ωt，T1=εT0。ε表示小參量，α表示慢變量，ψ表示快變量，ψ(T1，T0)=0，將快慢運動分離得到：

考慮到ψ(T1，T0)是時間T0的周期函數，方程（8）的解可以設為

忽略含B2和θ2的項及更高次項，將式（9）代入式（8）可得：

式中k1=2Ai/x30，k2=3Ai/x40，k3=4Ai/x50。

穩定狀態下，慢變運動方程可得

快變運動方程可得：

由方程（15）得出穩態激勵頻率解

由系統的相頻關系可以得到

隔振器的位移傳遞率表達式可表示為

2.2 數值驗證

圓環隔振器的物理和幾何結構基本參數選取如表1所示，隔振系統參數如表2所示。在下面的案例分析中如果沒有特殊說明將采用表1和表2中的參數值。

表1 圓環的物理和幾何參數值Tab.1 Physical and geometrical properties of the ring

表2 隔振系統參數值Tab.2 Parameters of the vibration isolation system

圓環在質量m=0.20 kg作用下達到預屈曲階段1，k1=2.04 kN/m，k2=3.19×102kN/m，k3=4.43×104kN/m，令水平剛度kh=800 kN/m，水平阻尼cn=0.3 N·s/m，如圖2點劃線所示。在質量m=2.04 kg作用下達到預屈曲階段2，k1=0.165 kN/m，k2=2.09 kN/m，k3=23.44 kN/m，令水平剛度kh=80 kN/m，水平阻尼cn=0.3 N·s/m，如圖2虛線所示。在質量m=5.10 kg作用下達到預屈曲階段3，k1=0.051 kN/m，k2=0.204 kN/m，k3=0.72 kN/m，令水平剛度kh=20 kN/m，水平阻尼cn=0.3 N·s/m，如圖2實線所示。圖2中位移傳遞率小于1的部分為有效隔振區域。

圖2 含有水平剛度阻尼圓環隔振器的位移傳遞率Fig.2 Displacement transmissibility with horizontal stiffness and horizontal damping in three stages

采用四階龍格庫塔法對圓環隔振器的位移傳遞率解析結果進行數值驗證，三個階段的解析結果和數值結果對比如圖3所示，兩者吻合良好。說明直接運動分離法能很好地捕捉非線性圓環隔振的動力學特性。

圖3 含有水平剛度阻尼圓環隔振器的位移傳遞率數值結果與解析結果對比Fig.3 Comparisons between numerical and analytical results of displacement transmissibility of circular ring isolators with horizontal stiffness and damping

在階段3時，對比研究了含有水平彈簧和不含有水平彈簧的圓環隔振器位移傳遞率，如圖4所示，圓環隔振器加上水平彈簧后，隔振頻率頻帶往低頻拓展。三個階段圓環剛度依次減小，因此，為了不出現負剛度，三個壓縮階段水平剛度最大取值也應該依次減小。水平剛度的引入是為了減小系統總剛度，進一步提高隔振帶寬。

圖4 在階段3時，含有水平彈簧和不含有水平彈簧的圓環隔振器位移傳遞率對比Fig.4 Comparison of the displacement transmissibility between with and without horizontal stiffness for stage 3

3 參數研究

研究了非線性剛度和非線性阻尼分別對圓環隔振器的影響，從動力學方程（5）中可以看出，水平非線性剛度kn和水平非線性阻尼cn的變化影響隔振性能。

首先，考慮水平剛度的影響，令水平非線性阻尼cn=0，在不同屈曲狀態，水平剛度系數選擇如圖5所示，可以看出隨著受壓屈曲變形增大，圓環隔振器的整體共振頻率下降，同時在單一受壓平衡狀態隨著水平剛度的增加，位移傳遞率的峰值減小，共振頻率值減小，系統隔振頻帶變寬，在高頻處，位移傳遞率曲線會逐漸翹起，隔振性能逐漸惡化。

圖5 剛度變化對圓環隔振器不同階段的影響Fig.5 Displacement transmissibility of the isolator with horizontal stiffness in three stages for different stiffness coefficients

考慮水平阻尼對圓環隔振器的影響，令第一階段kh=1200 kN/m，m=0.2041 kg；第二階段kh=120 kN/m，m=2.041 kg；第三階段kh=30 kN/m，m=5.102 kg。阻尼系數變化分別為0.3，30，300 N·s/m。得到響應的位移傳遞率如圖6和圖7所示。可以看出，隨著水平阻尼的增加，位移傳遞率的峰值減小，同時降低了隔振的初始頻率，也就意味著拓寬了隔振頻帶。與圖5相比較，阻尼系數的改變對拓寬隔振頻帶的能力不如剛度系數的變化，但是，在隔振頻域，水平阻尼不損害隔振器高頻隔振表現。因此，添加水平阻尼能夠很好地抑制共振峰值，同時在高頻隔振能夠表現很好。

圖6 在三個階段水平阻尼對位移傳遞率的影響總圖Fig.6 Effects of horizontal damping on the displacement transmissibility in three stages

圖7 水平阻尼對位移傳遞率各個階段影響圖Fig.7 Effects of horizontal damping on the displacement transmissibility in three stages for different damping coefficients

4 結論

針對圓環隔振系統，添加水平彈簧和阻尼產生非線性剛度和阻尼來實現低頻隔振。利用圓環自身的靜力學特性，將圓環隔振研究分為三個階段。運用直接運動分離法分析動力學方程，從而得到位移傳遞率，來評價隔振器性能。對位移傳遞率的解析結果進行數值驗證，兩者吻合良好。在此基礎上，研究了水平剛度和阻尼對位移傳遞率的影響。結論如下：（1）水平剛度能夠減小共振頻率，拓寬隔振頻帶，有效抑制共振響應；（2）水平阻尼能有效抑制共振，不改變系統的共振頻率，具有較好的高頻隔振表現；（3）同時利用水平阻尼和水平剛度能夠獲得更好的隔振性能。